Article

Vekstfaktor og prosentvis endring

Vekstfaktoren kan spare oss for mye arbeid når vi regner med prosentvis endring.

Prosentvis vekst. Vekstfaktor

Et typisk eksempel på prosentvis vekst er en vare som stiger eller synker i pris med en viss prosent.

Dongerijakke. Foto. — Image: Werner Juvik / CC BY-NC-SA 4.0

Prosentvis økning

En jakke koster 800 kroner. Prisen skal stige med 15 %. Hva blir den nye prisen på jakken?

Vi kan løse denne oppgaven ved å først å bruke prosentfaktoren til 15 %, regne ut hvor mye 15 % av 800 kroner er, og til slutt legge svaret til 800 kroner.

$\begin{array}{rcl} 800 kr + 800 kr \cdot 0, 15 & = & 800 kr + 120 kr \\ = & 920 kr \end{array}$

Vi regner prosenten av 800 kroner, så det er det tallet som er 100 %, eller det vi kaller grunnlaget. Pristillegget på 120 kroner tilsvarer 15 %. Siden den nye prisen skal være den gamle prisen pluss 15 %, blir den nye prisen 115 %:

$\begin{array}{rcl} 800 kr + 120 kr & = & 920 kr \\ 100 % + 15 % & = & 115 % \end{array}$

Det betyr at vi kan finne den nye prisen ved å finne 115 % av 800 kroner. Prosentfaktoren til 115 % kaller vi her vekstfaktoren til en økning på 15 %. Vekstfaktoren er

$115 % = 1, 15$

Den nye prisen blir

$800 kr \cdot 1, 15 = 920 kr$

Prosentvis nedgang

En jakke koster 800 kroner. Jakken skal nå selges på tilbud med 15 % rabatt. Hva blir den nye prisen på jakken?

Vi gjør tilsvarende som i det forrige eksempelet. Den opprinnelige prisen på 800 kroner er fortsatt 100 %. For å komme fram til den nye prisen skal det trekkes fra 15 %, så den nye prisen tilsvarer

$100 % - 15 % = 85 %$

Prosentfaktoren til 85 % er 0,85. Det betyr at vekstfaktoren til en nedgang på 15 % er 0,85. Den nye prisen blir

$800 kr \cdot 0, 85 = 680 kr$

Finne endringen i prosent ut fra ny pris og gammel pris

Vi tar utgangspunkt i det andre eksempelet. Jakken, som tidligere kostet 800 kroner, selges nå til 680 kroner. Hvor stort er avslaget i prosent?

Vi løser dette ved å finne ut hvor mange prosent den nye prisen er av den gamle. Det gjør vi ved å dele den nye prisen på den gamle, siden det er den gamle (opprinnelige) prisen som er det vi kaller grunnlaget som prosenten skal regnes av.

$\frac{680 kr}{800 kr} = 0, 85 = 85 %$

Siden den nye prisen er 85 % av den gamle, har prisen blitt redusert med $100 % - 85 % = 15 %$ .

Prosentvis vekst i flere omganger

Vi tenker oss nå at prisen på jakken, som opprinnelig koster 800 kroner, skal stige i pris med 15 % hvert år framover i 5 år. Hva koster jakken etter 5 år med prisstigning?

🤔 Tenk over: Vi fant i det første eksempelet at vekstfaktoren ved 15 % stigning er 1,15. Hva blir vekstfaktoren for prisstigningen mellom det andre og det tredje året?

Løsning

Prisen skal stige med 15 % hvert år, så vekstfaktorene for prisstigningen mellom det andre og det tredje året må også være 1,15.

Det betyr at vi kan starte med 800 kroner, gange med 1,15 for å finne prisen det andre året, gange på nytt med 1,15 for å finne prisen det tredje året og fortsette slik til vi kommer til det femte året:

$\underset{Pris etter 5 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 4 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 3 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 2 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 1 år}{\underset{⏟}{800 kr \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}}$

Resultatet er at vi må gange 800 kroner med 1,15 totalt 5 ganger.

$\begin{array}{rcl} 800 kr \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 & = & 800 kr \cdot 1, 15^{5} \\ = & 1 609, 09 kr \end{array}$

Legg merke til at når vi skal gange med 1,15 fem ganger, kan vi skrive dette som en potens: $1, 15^{5}$ , som vi leser som "1,15 opphøyd i femte". Dette kan vi slå inn direkte på en kalkulator som har potensfunksjon.

Tilsvarende, dersom vi har prisen 1 609,09 kroner etter 5 prisoppganger på 15 %, kan vi regne oss tilbake til den opprinnelige prisen på 800 kroner ved å gjøre det motsatte, dele på vekstfaktoren opphøyd i 5:

$\frac{1 609, 09 kr}{1, 15^{5}} = 800 kr$

Vi kan generelt si at vi ganger med vekstfaktoren når vi går framover i tid og deler når vi går tilbake i tid.

I oppgave 6 på oppgavesiden "Vekstfaktor og prosentvis endring" kan du se hvordan du bruker vekstfaktor når veksten ikke er lik i alle periodene.

Formel for vekstfaktoren

Vi tar igjen utgangspunktet i jakka som koster 800 kroner der prisen skal stige med 15 %. Vi fant ut at vekstfaktoren når noe skal stige med 15 %, er 1,15. Vi ønsker nå å finne en formel for vekstfaktoren når noe skal stige med p prosent. Vi kan skrive vekstfaktoren 1,15 som

$1, 15 = \frac{115}{100} = \frac{100 + 15}{100} = \frac{100}{100} + \frac{15}{100} = 1 + \frac{15}{100}$

Vi kan derfor regne ut vekstfaktoren når noe skal øke med p prosent, som

$1 + \frac{p}{100}$

En alternativ måte å komme fram til formelen på er å sette opp utregningen for den nye prisen på jakken og vise at vi må gange den gamle prisen med uttrykket $1 + \frac{15}{100}$ for å få den nye:

$800 + 0, 15 \cdot 800 = 800 (1 + 0, 15) = 800 (1 + \frac{15}{100})$

🤔 Tenk over: Hvordan tror du formelen for vekstfaktoren ser ut dersom noe skal synke med p prosent?

Formel for vekstfaktor når noe synker med p prosent

$1 - \frac{p}{100}$

Du kan velge om du vil bruke formlene eller gjøre slik som i de andre eksemplene over når du skal finne vekstfaktoren. Formlene kan være nyttige i noen sammenhenger, for eksempel dersom du skal lage et program som skal regne med prosent.

Oppsummering

Når en størrelse øker med p %, er den nye verdien til størrelsen $(100 + p) %$ av den gamle. Dette gir vekstfaktoren $\frac{100 + p}{100} = 1 + \frac{p}{100}$ .

Når en størrelse minker med p %, er den nye verdien til størrelsen $(100 - p) %$ av den gamle. Dette gir vekstfaktoren $\frac{100 - p}{100} = 1 - \frac{p}{100}$ .