Tredjegradslikningar

CC BY-NC-SA

Bilete: Corbis, NTB scanpix

Ei tredjegradslikning er ei likning som kan ordnast slik at vi får eit tredjegradspolynom på venstre side av likskapsteiknet og null på høgre side. Ei generell tredjegradslikning ser då slik ut

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

På sida Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynom faktoriserer vi tredjegradspolynom når vi har eit kjent nullpunkt.
Då er vi også i stand til å løyse tredjegradslikningar med eit kjent nullpunkt.

Sidan $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$ der $x_1, x_2 \mathrm{og} x_3$ er nullpunkta til $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, blir løsninga av likninga

$\begin{array}{rcl} a{x}^3+b{x}^2+cx+d& = & 0\\ & & \\ a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)& =& 0\\ & & \\ x& =& x_1, x=x_2 \mathrm{eller} x=x_3\end{array}$

Vi faktoriserte tidlegare uttrykket $2x^3+7x^2+2x+3$, og fekk at

$2x^3-7x^2+2x+3=2\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)$

Tredjegradslikninga $2x^3+7x^2+2x+3=0$ kan då løysast slik

$\begin{array}{rcl} 2x^3+7x^2+2x+3& = & 0\\ & & \\ 2\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)& =& 0\\ & & \\ x& =& 3, x=-\frac{1}{2} \mathrm{eller} x=1\end{array}$

Vi tek med eit døme som viser heile framgangsmåten.

Vi skal løyse tredjegradslikninga $3x^3+2x^2=3x+2$.

Først ordnar vi likninga slik at vi får 0 på høgre side.

$\begin{array}{rcl} 3x^3+2x^2& = & 3x+2\\ & & \\ 3x^3+2x^2-3x-2& =& 0\end{array}$

I mange oppgåver vil vi kunne finne eitt av nullpunkta (ei av løysingane) ut i frå opplysningar som er gitt i oppgåva. Her må vi ved hjelp av prøving og feiling finne den første løysinga av likninga.

Det er ofte lurt å prøve med $x=1$ først. Da set vi $x=1$ inn i likninga.

Venstre side: $3·1^3+2·1^2-3·1-2=3+2-3-2=0$

Høgre side: $0$

Full klaff med ein gong! Vi har dermed vist at $\left(x-1\right)$ er ein faktor i uttrykket $3x^3+2x^2-3x-2$, og vi utfører polynomdivisjonen

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& 3x^3& +& 2& x^2& -& 3& x& -& 2& )& :& (& x& -& 1& )& =& 3x^2+5x+2 \\ -(& 3x^3& -& 3& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 5& x^2& -& 3& x& -& 2& & & & & & & & & \\ & -& (& 5& x^2& -& 5& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & 2& x& -& 2& & & & & & & & & \\ & & & & -& (& 2& x& -& 2& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Vi har altså

$3x^3+2x^2-3x-2=\left(x-1\right)\left(3x^2+5x+2\right)$

Vi finn så nullpunkta til $3x^2+5x+2$.

$\begin{array}{rcl}3x^2+5x+2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·3·2}}{2·3}=\frac{-5\pm 1}{6}\\ & & \\ x_1& =& -1 \vee x_2=-\frac{2}{3}\end{array}$

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl} 3x^3+2x^2& = & 3x+2\\ & & \\ 3x^3+2x^2-3x-2& =& 0\\ & & \\ 3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)& =& 0\end{array}$

og har altså løysingane

$x=1, x=-1 \mathrm{eller} x=-\frac{2}{3}$

Vi løyser også likningar med CAS i GeoGebra ved å skrive likninga rett inn i CAS-feltet. Dersom vi vil ha eksakte løysingar, klikkar vi så på knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2=3\mathrm{x}+2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løys}: \left\{\mathrm{x}=-1, \mathrm{x}=-\frac{2}{3}, \mathrm{x}=1\right\}\end{array}}$

For tilnærma løysingar klikkar vi på $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}\approx }$.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2=3\mathrm{x}+2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \left\{\mathrm{x}=-1, \mathrm{x}=-0.67, \mathrm{x}=1\right\}\end{array}}$