Rasjonale uttrykk som inneheld tredjegradspolynom

Vi ser på dette gjennom to døme.

Vi ønskjer å forkorte brøken

$\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x^2-4x}$

Nemnaren kan faktoriserast ved å setje felles faktor utanfor parentes

$\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x^2-4x}=\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x(x-2)}$

Dersom brøken skal kunne forkortast, må teljaren innehalde minst ein av faktorane i nemnaren. Vi ser først at teljaren ikkje blir null når vi set inn $x=0$. Det tyder at teljar ikkje er deleleg med $x$.

Vi undersøkjer så om teljaren er deleleg med $x-2$.

Dersom teljaren er deleleg med $x-2$, vil polynomet $x^3-x^2-4x+4$ vere lik 0 når $x=2$.

Vi set inn $x=2$ og reknar ut

$2^3-2^2-4·2+4=0$

Svaret vart 0. Då vil følgjande polynomdivisjon «gå opp».

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& x^3& -& & x^2& -& 4& x& +& 4& )& :& (& x& -& 2& )& =& x^2+x-2 \\ -(& x^3& -& 2& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & x^2& -& 4& x& +& 4& & & & & & & & & \\ & & -& (& x^2& -& 2& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & -& 2& x& +& 4& & & & & & & & & \\ & & & -& (& -& 2& x& +& 4& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Vi har då faktorisert tredjegradpolynomet i teljaren og funne at

$x^3-x^2-4x+4=\left(x-2\right)\left(x^2+x-2\right)$

Vi kan no forkorte brøken

$\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x^2-4x}=\frac{\cancel{\left(x-2\right)}\left(x^2+x-2\right)}{2x\cancel{\left(x-2\right)}}=\frac{x^2+x-2}{2x}$

Vi ønskjer å forkorte brøken

$\frac{x^3-3x^2-x+3}{x^2-1}$

Nemnaren kan faktoriserast ved bruk av tredje kvadratsetning.

$\frac{x^3-3x^2-x+3}{x^2-1}=\frac{x^3-3x^2-x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Dersom brøken skal kunne forkortast, må teljaren innehalde minst ein av faktorane i nemnaren.

Vi undersøkjer først om teljaren er deleleg med $x-1$.

Dersom teljaren er deleleg med $x-1$, vil polynomet $x^3-3x^2-x+3$ vere lik 0 når $x=1$.

Vi set inn $x=1$ og reknar ut

$1^3-3·1^2-1+3=1-3-1+3=0$

Svaret vart 0. Då er polynomet deleleg med $x-1$ . Vi undersøkjer så om teljaren er deleleg med $x+1$. Vi set inn $x=-1$ og reknar ut

${\left(-1\right)}^3-3·{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+3=-1-3+1+3=0$

Svaret vart 0. Då er polynomet også deleleg med $x+1$.

Sidan polynomet er deleleg både med $x-1$ og $x+1$, må det vere deleleg med produktet $\left(x+1\right)\left(x-1\right)=x^2-1$.

Vi utfører divisjonen

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}& x^3& -& 3& x^2& -& x& +& 3& )& :& (& x^2& -& 1& )& =& x-3 \\ -(& x^3& & & & -& x& )& & & & & & & & & & \\ & & -& 3& x^2& & & +& 3& & & & & & & & & \\ & -& (-& 3& x^2& & & +& 3& )& & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & & & \end{array}$

Vi har no faktorisert tredjegradspolynomet fullstendig

$x^3-3x^2-x+3=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$

Vi kan då forkorte brøken

$\frac{x^3-3x^2-x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{\cancel{\left(x-1\right)}\cancel{\left(x+1\right)}\left(x-3\right)}{\cancel{\left(x-1\right)}\cancel{\left(x+1\right)}}=x-3$

Kvifor veit vi at vi ha kome fram til sluttsvaret med sjølve polynomdivisjonen i dette dømet?

I CAS i GeoGebra bruker vi knappen for faktorisering og får

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Faktoriser} \left(\frac{{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^2-1}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \to x-3\end{array}}$