1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°

Her innfører vi en ny definisjon av de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens som gjelder selv om vinklene blir større enn 90°.

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Vinkel

Vi starter med en vinkel v som er mindre enn 90°. Vi oppretter så motstående katet slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for a og b.

Vi får

sinv=b1=b og cosv=a1=a
enhetssirkelen

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs x-aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen.

Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til v for P.

Punktet P har koordinatene (a, b).

Vi ser da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, cosv=a og at sinus til v blir lik andrekoordinaten til P, sinv=b.
Det betyr at P=(cosv, sinv).

Vi ser også at tanv=ba=sinvcosv når cosv0.

Ettersom avstanden fra origo til P er lik 1, har vi også at kvadratet av sinv pluss kvadratet av cosv er lik 1.

sinv2+cosv2=1


Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel v.
enhetssirkelen
Plasser vinkel v i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren til høyre.

La P være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

Vi får
cosv = førstekoordinaten til P
sinv = andrekoordinaten til P

Vi får også at
tanv=sinvcosv når cosv0

Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.

Enhetssirkelen

Læringsressurser

Trigonometri 2