Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel
Vi starter med en vinkel som er mindre enn , slik som på figuren over. Vi oppretter så motstående katet, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for og .
Vi får
Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs -aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen.
Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til 𝑣 for P.
Vi kaller videre koordinatene til punktet for .
Vi får da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, og at sinus til 𝑣 blir lik andrekoordinaten til P, .
Det betyr at .
Vi får også at .
Ettersom avstanden fra origo til er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras' setning at kvadratet av pluss kvadratet av er lik 1.
Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel .
Plasser vinkel i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren.
La være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.
Vi får
= førstekoordinaten til P
= andrekoordinaten til P
Vi får også at
Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.
Prøv selv!
Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer hva som skjer.
Filer
Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen
Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.
Oppgave 1
Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier?
Løsning
Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 alltid er større enn eller lik null. Dette gjelder så lenge vinkelen 𝑣 er innenfor intervallet fra 0 grader til 180 grader.
Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 180 grader.
Matematisk:
Oppgave 2
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.
Løsning
Oppgave 3
Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?
Løsning
Ved å dra i glidebryteren får vi at
Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.
Dette kan du finne ut mer om i artikkelen To vinkler – samme sinusverdi.