Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 1ChevronRight
  5. Tangens til en vinkelChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Tangens til en vinkel

Vi bruker at forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er konstant til å innføre den trigonometriske funksjonen tangens.

formlike trekanter

Gitt ABC og DBE som vist på figuren ovenfor. Trekantene er formlike fordi B er felles i begge trekantene og A=D=90°.

Vi har derfor at ACDE=ABDB.

Vi multipliserer med DE og dividerer med AB på begge sider av likhetstegnet.

ACDE = ABDBAC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABAC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABStor trekant ACAB=DEDBLiten trekant

Forholdet mellom motstående katet til B og hosliggende katet til B er det samme uansett hvilken trekant vi bruker.

Vi kan lage flere trekanter ved å tegne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikhet vil da alltid forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet være det samme. Dette forholdet er altså konstant.

Dette konstante forholdet identifiserer B entydig, og derfor gir vi dette forholdstallet et navn. Vi kaller det tangensverdien til B.

rettvinklet trekant

Tangens til en vinkel

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel v er

tanv=motstående katethosliggende katet=bc

Hvordan finne sammenhengen mellom tangensverdien og gradetallet til en vinkel?

  • Bruk papir, blyant og gradskive, eller bruk GeoGebra, og tegn en vinkel v=15°
  • Opprett en normal på det høyre vinkelbeinet til v slik at v svarer til A i den rettvinklede trekanten ABC
  • Mål og regn ut forholdet BCAB
  • Lag gjerne flere trekanter hvor du varierer plasseringen av punktet B

Får du at dette forholdet er 0,27? Du har i så fall funnet at tan15°0,27.

Du kan finne tangensverdiene til alle vinkler på denne måten. Men du trenger ikke gjøre det, for andre har gjort det før deg.

tangens til 15 grader.Foto.

Med CAS i GeoGebra finner du tangens til 15 grader ved å skrive tan(15°). Du må bruke parenteser og gradetegn. (Hurtigtast "Alt + O")

Tangens i GeoGebra

For å gå motsatt vei må du skrive atand(0.268).

Det er vanlig at vi tar med 1 desimal i gradverdien for en vinkel og 3 desimaler i tangensverdien.

Hva kan vi så bruke tangens til? Vi skal gi noen eksempler.

Eksempel 1

Thales fra Milet (600 f. Kr) fant høyden til Keopspyramiden ved å bruke «skyggematematikk» (formlike trekanter).

pyramide og trekanter

På figuren ovenfor er pyramiden tegnet som en trekant. AB er skyggen av pyramiden. DE er skyggen av den 2 meter høye stokken DF. BC og EF er parallelle siden solstrålene er parallelle.

Thales fant høyden slik


AC2,0=1902,6AC = 73,08·2,0AC146

Pyramiden er ca. 146 meter høy.

Gizapyramidene i Egypt
Gizapyramidene i Egypt

Ved å bruke det vi nå har lært om tangens, kan vi finne høyden til pyramiden uten å bruke trekanten DEF. Vi kan med en vinkelmåler, gradskive eller litt mer avansert utstyr måle B = 37,6°.

Vi kan da sette opp og løse likningen
tangens til 37 komma 6 grader \

Vi har nå en generell metode for å finne høyden på trær, bygninger osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken.

Eksempel 2

tegning av sjøsanden

Vi ønsker å beregne avstanden fra badestranden Sjøsanden i Mandal og ut til Hatholmen.

Løsning

Vi lager en linje AB=100 m i sanden. Linjen står vinkelrett på siktelinjen til Hatholmen fra punktet A. (Hvordan gjør vi det?) Ved hjelp av en vinkelmåler måler vi B = 87°.

tangens til 87 grader \

Vi kan da sette opp og løse likningen

Det er 1900 m ut til Hatholmen.

Ved hjelp av bedre instrumenter til å måle vinkler kan vi få større nøyaktighet. Sjekk hvilket utslag det gir om vinkelen hadde vært en halv grad større.

Vi har nå en generell metode for å finne avstander ut til ut til øyer, over elver osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken der vi er.

Eksempel 3

bilde av fyrtårn og robåt

Du sitter i en båt utenfor Lindesnes fyr og lurer på hvor langt det er inn til land. Du vet at toppen av fyrlykten er 40 meter over havflaten. Du tar fram gradskiven og måler vinkelen som vist på tegningen, til 5 grader. Finn ut hvor langt det er inn til land.

Løsning

tangens til 5 grader \

Vi kan sette opp og løse likningen

Det er 460 m inn til land.

Vi har da en generell metode for å finne avstander til steder hvor vi har objekter vi kjenner høyden eller bredden til. Dette kan for eksempel være nyttig i orientering i skog og mark.

Eksempel 4

Metode for å finne ukjente vinkler.

En snekker trenger å vite takvinkelen v. Se figur.

vinkler på hustak.Illustrasjon.
tangens til v grader \

Vi kan sette opp og løse likningen

(Husk gradetegnet)

Takvinkelen er 33,4°.

Læringsressurser

Trigonometri 1