Tangens til en vinkel

Gitt $△ABC$ og $△DBE$ som vist på figuren ovenfor. Trekantene er formlike fordi $\angle B$ er felles i begge trekantene og $\angle A=\angle D=90°$.

Vi har derfor at

$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{DB}$.

Vi multipliserer med DE og dividerer med AB på begge sider av likhetstegnet.

$\begin{array}{rcl}\frac{AC}{DE}& = & \frac{AB}{DB}\\ & & \\ \frac{AC· DE}{DE·AB}& =& \frac{AB·DE}{DB·AB}\\ & & \\ \frac{AC· \cancel{DE}}{\cancel{DE}·AB}& =& \frac{\cancel{AB}·DE}{DB·\cancel{AB}}\\ & & \\ \mathrm{Stor} \mathrm{trekant} \to \overline{)\frac{AC}{AB}}& =& \overline{)\frac{DE}{DB}}\leftarrow \mathrm{Liten} \mathrm{trekant}\end{array}$

Forholdet mellom motstående katet til $\angle B$ og hosliggende katet til $\angle B$ er det samme uansett hvilken trekant vi bruker.

Vi kan lage flere trekanter ved å tegne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikhet vil da alltid forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet være det samme. Dette forholdet er altså konstant.

Prøv selv!

I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du utforske forholdet mellom sidene i to formlike trekanter av typen over. Dra i glidebryteren for å endre lengden på siden BD og se hva som skjer.

Vi får at forholdet mellom motstående katet DE og hosliggende katet BD til $\angle B$ er konstant, uansett hvilken lengde vi velger på den hosliggende kateten BD. Dette konstante forholdet gjelder så lenge $\angle B$ holdes fast, og derfor har dette forholdstallet et navn. Vi kaller det tangensverdien til $\angle B$, eller bare tangens til $\angle B$. I trekantene ABC og DBE er tangens til $\angle B$ lik 0,6. Vi skriver at

$\tan B=0.6$

Tangens til en vinkel

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel $v$ er

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{b}{c}$

I det interaktive GeoGebra-arket over hadde vi at$\tan B=0.6$. Hvor stor er $\angle B$ da? Dersom vi endrer på $\angle B$, vil også $\tan B$ endre verdi. Hvordan kan vi finne slike tangensverdier?

Oppgave

• Bruk papir, blyant og gradskive, eller bruk GeoGebra, og tegn en vinkel $v=15°$. Dette skal bli $\angle B$ i den rettvinkla trekanten ABC slik som på figurene over.
• Opprett en normal på det venstre vinkelbeinet til vinkel v. Fotpunktet til normalen svarer til punktet A i den rettvinklede trekanten ABC.
• Forleng om nødvendig linjene slik at du finner punktet C i trekanten.
• Mål og regn ut forholdet $\frac{BC}{AB}$.
• Lag gjerne flere trekanter hvor du varierer plasseringen av punktet A

Får du at dette forholdet er 0,27? Du har i så fall funnet at$\tan 15°\approx 0,27$.

Vi kan finne tangensverdiane til alle vinkler på denne måten. Men vi trenger ikke gjøre det, for andre har gjort det før oss. I gamle dager pleide man å slå opp tangensverdiar i tabeller. I dag bruker vi kalkulator eller GeoGebra.

Prøv selv!

Nedenfor kan du endre på $\angle B$ og få regnet ut tangensverdien til vinkelen.

Oppgaver

Bruk den interaktive figuren over og finn$\tan 15°, \tan 30°$og $\tan 45°$.

Bruk den interaktive figuren over og finn ut hvilken vinkel som har tangensverdi lik 0,6, som vi hadde i den første interaktive figuren lenger opp på siden.

GeoGebra

Med CAS i GeoGebra finner vi tangens til 15 grader ved å skrive "$\tan (15°)$". Vi må bruke parenteser og gradetegn. (Gradetegnet får vi med hurtigtast "Alt + O".)



$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(15°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 0.268\end{array}}$

For å gå motsatt vei, må vi skrive "$\text{atand}(0.268)$". Alternativt kan vi løse likningen$\tan B=0.268$.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(0.268\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx 15.003\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{B}°\right)=0.268\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{B}=15.003\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi må huske å skrive inn gradsymbolet sammen med B hvis vi skal bruke varianten med likningsløsning.

Hva kan vi så bruke tangens til? Vi skal gi noen eksempler.

Thales fra Milet (600 f. Kr) fant høyden til Keopspyramiden ved å bruke «skyggematematikk» (formlike trekanter).

På figuren ovenfor er pyramiden tegnet som en trekant. AB er skyggen av pyramiden målt fra midt under den. DE er skyggen av en 2 meter høy stokk DF. BC og EF er parallelle siden solstrålene er parallelle.

Thales fant høyden slik

$\begin{array}{rcl}\frac{AC}{2,0}& =& \frac{190}{2,6}\\ & & \\ AC& = & 73,08·2,0\\ & & \\ AC& \approx & 146\end{array}$

Pyramiden er ca. 146 meter høy.

Ved å bruke det vi nå har lært om tangens, kan vi finne høyden til pyramiden uten å bruke trekanten DEF. Vi kan med en vinkelmåler, gradskive eller litt mer avansert utstyr måle at $\angle B$ = 37,6°.

Høyden AC til pyramiden blir motstående katet til vinkel B. Avstanden AB langs bakken blir hosliggende katet.

Vi kan da sette opp en likning med tangens og løse den med GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$


$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(37.6°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{190}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=146.32\}\end{array}}$

Vi får at høyden på Keopspyramiden er 146 m.

Vi har nå en generell metode for å finne høyden på trær, bygninger osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken.

Vi ønsker å beregne avstanden fra badestranden Sjøsanden i Mandal og ut til Hatholmen.

Løsning

Vi lager en 100 meter lang linje langs strandkanten. Dette er siden AC på figuren. Linjen står vinkelrett på siktelinjen til Hatholmen fra punktet A. (Hvordan gjør vi det?) Ved hjelp av en vinkelmåler måler vi at$\angle C=87°$.

Motstående katet til vinkel C er avstanden AB ut til Hatholmen. Hosliggende katet er AC. Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel C og kan da sette opp og løse likningen

$\tan C=\frac{AB}{AC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(87°\right)=\frac{\mathrm{x}}{100}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{x}=1908\}\end{array}}$

Det er omlag 1 900 m ut til Hatholmen.

Ved hjelp av bedre instrumenter til å måle vinkler kan vi få større nøyaktighet. Sjekk hvilket utslag det gir om vinkelen hadde vært en halv grad større.

Vi har nå en generell metode for å finne avstander ut til ut til øyer, over elver osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken der vi er.

Du sitter i en båt utenfor Lindesnes fyr og lurer på hvor langt det er inn til land. Du vet at toppen av fyrlykten er 40 meter over havflaten. Du tar fram gradskiven og måler at siktevinkelen til toppen av fyrlykten er 5 grader, som vist på tegningen. Finn ut hvor langt det er inn til land.

Løsning

Motstående katet til den målte vinkelen blir høyden til toppen av fyrlykten. Hosliggende katet blir omtrent lik avstanden inn til fyrlykta, dvs. inn til land. Vi har kalt denne avstanden for x.

Vi bruker definisjonen på tangens og setter opp og løser likningen

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(5°\right)=\frac{40}{\mathrm{x}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{x}=457\}\end{array}}$

Det er ca. 460 m inn til land.

Vi har da en generell metode for å finne avstander til steder hvor vi har objekter vi kjenner høyden eller bredden til. Dette kan for eksempel være nyttig i orientering i skog og mark.

Her ser vi på en metode for å finne ukjente vinkler.

En snekker trenger å vite takvinkelen v. Se figur.

Motstående katet til takvinkelen v blir høyden på 3,3 m oppunder mønet. Hosliggende katet blir avstanden på 5,0 m fra ytterkanten på loftet inn til midten.

Vi bruker definisjonen på tangens og setter opp og løser likningen (husk gradetegnet ved løsning i GeoGebra)

$\tan v=\frac{3,3}{5,0}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{v}°\right)=\frac{3.3}{5.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{v}=33.4\}\end{array}}$

Takvinkelen er 33,4°.