Normalfordelingen

Vi sjekker først for $$ \mu $$:

Vi finner at graf 1 og graf 2 har toppunkt der $$ x=35$$, mens graf 3 har toppunkt i $$ x=5$$ og graf 4 i $$ x=45$$. Dermed må det være enten graf 1 eller graf 2.

Så sjekker vi for $$ \sigma $$:

Hvis vi fargelegger området mellom $$ x=30$$ og $$ x=40$$ i graf 1 og graf 2, ser vi at dette området dekker cirka 15 % i graf 1, mens det i graf 2 ser ut som det kan være omtrent 68 % prosent, slik det skal være i en normalfordeling.

Det vil si at graf 1 svarer til sannsynlighetsfunksjonen for en normalfordelt variabel med $$ \mu =25$$ og $$ \sigma =5$$.

To og to av grafene har lik form, men de er forskjøvet i forhold til hverandre. Det gjelder de grafene som har likt standardavvik. Vi legger også merke til at to og to grafer har toppunkt i samme $$ x$$-verdi, dette gjelder de grafene som har samme forventningsverdi.

Vi kan generelt si at dersom standardavviket er lite, vil grafene bli høye og smale, og hvis standardavviket er stort, vil grafene bli bredere og lavere.

Bruk eksempelet med håndballspillerne teorisiden "Normalfordelingen" og undersøk ved hjelp av GeoGebra!

1)
Vi legger inn $$ P\left(186-16\le X\le 186+16\right)$$ i sannsynlighetskalkulatoren:

Cirka 95,5 % ligger innenfor to standardavviks avstand fra forventningsverdien.

2)
Vi legger inn n $$ P\left(186-24\le X\le 186+24\right)$$ i sannsynlighetskalkulatoren:

Cirka 99,7 % ligger innenfor tre standardavviks avstand fra forventningsverdien.

Vi har at den generelle funksjonen for grafen til en normalfordelt variabel er $$ $ f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$$$.

Vi setter inn $$ \mu =186$$ og $$ \sigma =8$$ og finner integralet i intervallet $$ \langle -\infty ,\infty \rangle $$:

Svaret blir 1.

Vi bruker klassemidtpunktet som felles høyde for alle i hver klasse og løser i GeoGebra. Vi skriver inn følgende tabell i regnearket i GeoGebra og lager lister av de to kolonnene. Vi kaller listene for "Klassemidtpunkt" og "Frekvens".

Vi får følgende resultat i GeoGebra:

Vi får $$ \mu =186$$ og $$ \sigma =8$$, slik vi skulle vise.

Vi bruker at

$$ \mu =E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x·f\left(x\right)dx$$:

Vi får, som forventet, at forventningsverdien er 186.

I formelen for forventningsverdi i en diskret variabel har vi summen av produktene $$ x_i·P\left(X=x_i\right)$$ der $$ P\left(X=x_i\right)$$ finnes i sannsynlighetsfordelingen i form av en tabell. Når vi har en kontinuerlig stokastisk variabel, har vi kun en tetthetsfunksjon å ta utgangspunkt i. Vi kan bare spørre etter sannsynligheten for at $$ X$$ ligger i et bestemt intervall, vi kan ikke spørre etter når $$ X$$ har en bestemt verdi. Sannsynligheten for at $$ X$$ ligger i et bestemt intervall er arealet under grafen til tetthetsfunksjonen i det aktuelle intervallet.

Vi kan se for oss at vi deler opp arealet under grafen til tetthetsfunksjonen i mange små loddrette rektangler med bredde $$ ∆x$$. Vi tilnærmer videre og sier at den stokastiske variabelen $$ X$$ bare kan ha verdien $$ x_i$$ i rektangel nummer $$ i$$ der $$ x_i$$ er en $$ x$$-verdi i intervallet som utgjør bredden av rektangelet. Da lager vi en diskret sannsynlighetsfordeling for $$ X$$, og sannsynligheten for at $$ X=x_i$$ vil være tilnærmet lik arealet av rektangel nummer $$ i$$:

$$ P\left(X=x_i\right)\approx f\left(x_i\right)·∆x$$

Bidraget til forventningsverdien fra dette rektangelet vil være

$$ x_i·f\left(x_i\right)·∆x$$

Et tilnærmet uttrykk for forventningsverdien til $$ X$$ vil være summen av dette uttrykket for alle rektanglene, og vi får

$$ E\left(X\right)\approx \sum _i{x}_i·f\left(x_i\right)·∆x$$

Så tenker vi oss at vi lar $$ ∆x\to 0$$, det vil si at vi får uendelig mange tynne rektangler. Da vil hvert rektangel gi en bedre tilnærming til sitt bidrag til forventningsverdien. Ut ifra definisjonen til et bestemt integral får vi derfor

$$ E\left(X\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _i{x}_i·f\left(x_i\right)·∆x={\int }_{-\infty }^{\infty }x·f\left(x\right)dx$$

Kort sagt kommer vi fram til formelen for en kontinuerlig stokastisk variabel ved å ta utgangspunkt i en diskret fordeling.

Vi regner i CAS:

Vi får 1 siden et standardavvik alltid vil være positivt.

Vi bruker samme strategi som i d) og regner i CAS:

Vi får at integralet blir lik $$ \mu $$, som var det vi skulle vise.

Det betyr at fordelingen til de nyfødtes vekt faller sammen med grafen til en normalfordeling med $$ \mu =3 478$$ og $$ \sigma =627$$.

Vi løser først med sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra:

Det er 20,26 % sjanse for at en tilfeldig valgt nyfødt veier over 4 000 gram.

Forslag til løsning i Python:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 3478
5sigma = 627
6
7s = norm.cdf(4000, my, sigma)
8
9print(f"Sannsynligheten for at en nyfødt veier mer enn 4 000 g, er {1-s:.3f}.")

Når vi kjører programmet, får vi svarsetningen Sannsynligheten for at en nyfødt veier mer enn 4 000 g, er 0.203.

Vi løser i både GeoGebra og Python:

I GeoGebra finner vi $$ P\left(3 000\le X\le 3 500\right)$$:

Vi får at sannsynligheten for at en nyfødt veier mellom 3 000 og 3 500 gram, er 0,291 1.

For å finne den rette sannsynligheten må vi i Python finne $$ P\left(X\le 3 500\right)-P\left(X\le 3 000\right)$$.

1from scipy.stats import norm
2
3                              
4my = 3478
5sigma = 627
6
7s1 = norm.cdf(3000,my,sigma)
8s2 = norm.cdf(3500,my,sigma)
9
10print(f"Sannsynligheten for at en nyfødt veier mellom 3 000 g og 3 500 g, er {s2-s1:.3f}.")

Når vi kjører programmet, får vi svarsetningen Sannsynligheten for at en nyfødt veier mellom 3 000 g og 3 500 g, er 0.291.. Det betyr at andelen nyfødte som veier mellom 3 000 g og 3 500 g, er 0,291.

Vi velger løsning i Python.

Vi regner om tidene til sekunder og får at $$ \mu =800$$ og $$ \sigma =100$$. 15 minutter er 900 sekunder, så vi leter etter $$ P\left(X\le 900\right)$$.

Forslag til kode:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6
7s = norm.cdf(900,my,sigma)
8
9print(f"Andelen som løper under 15 minutter, er {s:.3f}.")

Vi får svarsetningen Andelen som løper under 15 minutter, er 0.841..

15 minutter er nøyaktig ett standardavvik unna forventningsverdien. Vi vet at 50 % av observasjonene er lavere enn forventningsverdien, og at cirka 34,1 % av observasjonene er innenfor intervallet $$ \mu +\sigma $$. Dermed vet vi at 84,1 % av guttene vil løpe fortere enn 15 minutter.

Vi modifiserer programmet fra a):

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6
7s = norm.cdf(600,my,sigma)
8
9print(f"Andelen som løper under 10 minutter, er {s:.3f}.")

Å kjøre koden gir oss Andelen som løper under 10 minutter, er 0.023..

Vi modifiserer koden fra a). Vi bruker ei while-løkke. Til slutt skriver vi om tida i sekunder til minutter og sekunder:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6
7x = 900
8
9while norm.cdf(x,my,sigma) > 0.200:
10    x=x-1
11    
12tid = x
13minutter = int(tid/60)
14sekunder = (tid-minutter*60)
15
16print(f"For å være blant de 20 % beste må du løpe under {minutter} minutter og {sekunder} sekunder.")

Når vi kjører programmet, får vi ut For å være blant de 20 % beste må du løpe under 11 minutter og 55 sekunder..

Det finnes også en metode i Python som finner svaret direkte ved å sette inn sannsynligheten. Denne motsatte funksjonen til "norm.cdf" heter "norm.ppf". Denne gir oss $$ x$$ der $$ P\left(X\le x\right)=p$$ med oppgitt sannsynlighet $$ p$$. Da kan programmet se slik ut:

1from scipy.stats import norm
2
3                               
4my = 800
5sigma = 100
6p = 0.200
7   
8tid = norm.ppf(p,my,sigma)
9minutter = int(tid/60)
10sekunder = int(tid-minutter*60)
11
12print(f"For å være blant de 20 % beste må du løpe under {minutter} minutter og {sekunder} sekunder.")

Vi har at det samlede integralet til tetthetsfunksjonen må være lik 1. Vi vet at $$ f\left(t\right)=0$$ for $$ t\le 0$$, så vi får:

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_0^{\infty }k·e^{-0,005t}dt& = & 1\\ \frac{k}{-0,005} {\left[e^{-0,005t}\right]}_0^{\infty }& =& 1\\ \frac{k}{-0,005}·(0-1)& =& 1\\ \frac{k}{0,005}& =& 1\\ k& =& 0,005\end{array}$$

Vi bruker at $$ P\left(T>400\right)=1-P\left(T\le 400\right)$$:

Det er 13,5 % sjanse for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer.

Vi finner forventningsverdien ved å regne ut $$ {\int }_{-\infty }^{\infty }t·f\left(t\right) dt$$:

Den forventede levetida til lyspæra er 200 timer.

I en normalfordeling har vi at cirka 68,2 % av observasjonene ligger innenfor ett standardavviks avstand i hver retning. Siden 2,5 ligger midt mellom 1,8 og 3,2, har vi at $$ \sigma =3,2-2,5=2,5-1,8=0,7$$.

Her skal vi ikke regne ut sannsynligheten for at en elev har mer enn 3 km skolevei direkte gjennom å bruke normalfordelingen, men vi skal simulere ved hjelp av å trekke tilfeldig en elev mange ganger for så å regne ut sannsynligheten.

Vi kan lage følgende program:

1import numpy as np
2
3#lager en generator
4rng = np.random.default_rng()
5N = 10000
6
7#generer en array for lengdene på skoleveien
8skolevei = rng.normal(2500,700,N)
9
10#teller opp antall skoleveier som er lengre enn 3 km
11gunstige = sum(skolevei > 3000)
12
13print(f'Sannsynligheten for at en elev har mer enn 3 km skolevei, er {gunstige/N}.')

1import numpy as np
2
3#lager arrays for grensene og antall i hver kategori 
4grenser = ["0 - 400","400 - 1 000","1 000 - 1 600","1 600 - 2 200","2 200 - 2 800","2 800 - 3 400","3 400 - 4 000"]
5N = 750
6
7#lager en rng for å generere hele datasettet
8rng = np.random.default_rng()
9M = rng.normal(2500,700,N)
10
11histogramgrenser = [M.min(),400,1000,1600,2200,2800,3400,M.max()]
12
13antall,nedregrenser = np.histogram(M,histogramgrenser)
14
15#skriver ut tabellen
16print("Lengde på skolevei ","Antall elever")
17for i in range (len(grenser)):
18     print(f"{grenser[i]:<20}{int(antall[i])}")

Merknad: Noen ganger vil dette programmet feile fordi den minste verdien vi genererer, er høyere enn 400 (som er den neste nedre grensa). Dette vil skje veldig sjelden i større datasett, men i et såpass lite datasett som dette vil det skje at det ikke havner noen i den laveste kategorien. Vi velger likevel å bruke M.min() så vi ikke risikerer å miste noen genererte verdier. Selv om vi i praksis ikke kan ha negative skolevei-lengder, trenger vi likevel å telle opp disse når vi simulerer.

Vi bruker numpy-kommandoene "mean()" og "std()" for å finne gjennomsnitt og standardavvik:

1import numpy as np
2
3
4#lager en rng for å generere hele datasettet
5rng = np.random.default_rng()
6
7N = 750
8
9for i in range(20):
10  M = rng.normal(2500,700,N)
11  print(f'gjennomsnitt = {np.mean(M): < 25} standardavvik = {np.std(M)}')

Når vi kjører koden, vil vi se at gjennomsnittet varierer mye. Ved en kjøring fant vi at gjennomsnittet varierte fra 2 449 til 2 533, mens standardavviket varierte fra 664 til 728. Denne variasjonen kan forklares med at utvalget er lite.

Variasjonen blir mindre, for vi har et større utvalg.