Grunnleggende regneregler for integrasjon

$$ \int 7 dx=7x+C$$

$$ \begin{array}{rcl}\int x dx & =& \int x^{1}dx\\ & =& \frac{1}{1+1}{x}^2+C\\ & =& \frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int x^{6}dx & =& \frac{1}{6+1}{x}^{6+1}+C\\ & =& \frac{1}{7}{x}^7+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int 3x^{7}dx & =& 3·\frac{1}{7+1}{x}^{7+1}+C\\ & =& \frac{3}{8}{x}^8+C\end{array}$$

Vi har til nå vist fullstendig utregning av koeffisientene, videre vil vi ikke vise alle mellomregninger.

$$ \int \left(x^3-x^2+x\right)dx=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+C$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(-5x^5+3x^4-7x^2\right)dx & =& -5·\frac{1}{6}{x}^6+3·\frac{1}{5}{x}^5-7·\frac{1}{3}{x}^3+C\\ & =& -\frac{5}{6}{x}^6+\frac{3}{5}{x}^5-\frac{7}{3}{x}^3+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx & =& 4·\frac{1}{4}{x}^4+3·\frac{1}{3}{x}^3+2·\frac{1}{2}{x}^2+x+C\\ & =& x^4+x^3+x^2+x+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(\frac{1}{4}{x}^3+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^2-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}x\right)dx & =& \frac{1}{4}·\frac{1}{4}{x}^4+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}·\frac{1}{3}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}·\frac{1}{2}{x}^2+C\\ & =& \frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{9}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^2+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(x^{-5}\right)dx & =& \frac{1}{-5+1}{x}^{-5+1}+C\\ & =& \frac{1}{-4}{x}^{-4}+C\\ & =& -\frac{1}{4x^4}+C\end{array}$$

$$ \frac{1}{x^3}=x^{-3}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{x^3}dx & =& \int \left(x^{-3}\right)dx\\ & =& \frac{1}{-3+1}{x}^{-3+1}+C\\ & =& -\frac{1}{2}{x}^{-2}+C\\ & =& -\frac{1}{2x^2}+C\end{array}$$

$$ \frac{7}{x}=7·\frac{1}{x}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{7}{x}dx & =& \int 7·\frac{1}{x}dx\\ & =& 7\int \frac{1}{x}dx\\ & =& 7\ln \left|x\right|+C\end{array}$$

$$ \int 9e^{x}dx=9e^x+C$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(x^5-x^{-5}\right)dx & =& \frac{1}{6}{x}^6-\left(-\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)+C\\ & =& \frac{ 1}{6}{x}^6+\frac{1}{4}{x}^{-4}+C\end{array}$$

Skriv om $$ \sqrt{x}$$ til $$ x^{\frac{1}{2}}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\int \sqrt{x} dx & =& \int x^{\frac{1}{2}}dx\\ & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C\\ & =& \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$

$$ \int \left(e^{3x}-3e^x+e^3\right)dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}-3e^x+e^3·x+C$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(\sqrt{x^3}+\ln 3\right)dx & =& \int \left(x^{\frac{3}{2}}+\ln 3\right)dx\\ & =& \int x^{\frac{3}{2}}dx+\int \ln 3 dx\\ & =& \frac{1}{\frac{3}{2}+1}·x^{\frac{3}{2}+1}+·\ln 3+C\\ & =& \frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+x·\ln 3+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \sqrt[3]{x^2} dx & =& \int x^{\frac{2}{3}}dx\\ & =& \frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}+C\end{array}$$

Del brøken i to brøker.

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{2+x}{x}dx & =& \int \frac{2}{x}dx+\int \frac{x}{x}dx\\ & =& 2\int \frac{1}{x}dx+\int 1 dx\\ & =& 2\ln \left|x\right|+x+C\end{array}$$

Bruk regelen for konstant multiplisert med funksjon i kombinasjon med regelen for $$ \int a^{x}dx$$.

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(1 500·1,{12}^x\right)dx & =& 1 500\int 1,{12}^{x}dx\\ & =& 1 500·\frac{1}{\ln 1,12}1,{12}^x+C\\ & =& \frac{1 500·1,{12}^x}{\ln 1,12}+C\end{array}$$

Skriv om brøken som summen av tre brøker, og forkort om mulig før integrasjon.

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{3x^2-2x+1}{x}dx & =& \int \left(\frac{3x^2}{x}-\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}\right)dx\\ & =& \int \left(3x-2+\frac{1}{x}\right)dx\\ & =& \frac{3}{2}{x}^2-2x+\ln \left|x\right|+C\end{array}$$

$$ f\left(x\right)=x·\ln x-x$$

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 1·\ln x+x·\frac{1}{x}-1\\ & =& \ln x+1-1\\ & =& \ln x\end{array}$$

$$ \int \ln x dx=x·\ln x-x+C$$

Vi vet at $$ {\left(\ln \left|x\right|\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$. Da kan vi bruke kjerneregelen og få følgende resultater:

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right)& = & \ln \left(x+2\right)\\ h^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{x+2}·1=\frac{1}{x+2}\\ & & \\ i\left(x\right)& =& \ln \left(2x+3\right)\\ i^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{2x+3}·2=\frac{2}{2x+3}\end{array}$$

$$ \int \begin{array}{rcl}& & \frac{1}{x+2}\end{array}dx=\ln \left|x+2\right|+C$$

$$ \int \frac{2}{2x+3}dx=\ln \left|2x+3\right|+C$$

Vi ser at innholdet i parentesene i begge tilfellene tilsvarer nevneren i brøken, og at faktoren foran førstegradsleddet er telleren.

Vi foreslår derfor følgende løsning:

$$ \int \frac{3}{3x+1}dx=\ln \left|3x+1\right|+C$$

Vi kontrollerer løsningen ved å derivere høyre side:

$$ {\left(\ln \left|3x+1\right|+C\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{3x+1}·3=\frac{3}{3x+1}$$

Forslaget til løsning var riktig.

Erfaringene i de foregående deloppgavene gir at telleren "ideelt sett" skulle ha vært 4 for at vi skulle kunne følge samme framgangsmåte som tidligere. Vi omskriver derfor telleren:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{4x+1}dx & =& \int \frac{4·{\displaystyle \frac{1}{4}}}{4x+1}dx\\ & =& \frac{1}{4}\int \frac{{\displaystyle 4}}{4x+1}dx\\ & =& \frac{1}{4}\ln \left|4x+1\right|+C\end{array}$$

Vi kontrollerer løsningen ved å derivere høyre side:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\frac{1}{4}\ln \left|4x+1\right|+C\right)}^{\text{'}} & =& \frac{1}{4}·\frac{4}{4x+1}+C\\ & =& \frac{1}{4x+1}+C\end{array}$$

Forslaget til løsning var riktig.