Proporsjonalitet handler om størrelser som henger sammen på en spesiell måte. Vi skal studere dette gjennom eksempler der du skal svare på spørsmål og finne ut mest mulig på egen hånd. Ikke se på løsningene før du har prøvd selv.
Eksempel: kilopris på epler
Eplene på bildet koster 30 kroner per kg. Vi skriver gjerne at kiloprisen er 30 kr/kg.
Hvor mye må du betale for 2 kg epler?
Pris for 2 kg epler
For 2 kg epler må du betale 2 ganger så mye som for 1 kg. Vi må derfor multiplisere kiloprisen med det antallet kg epler vi skal ha for å finne ut hvor mye vi skal betale.
Legg også merke til at når vi multipliserer enhetene, får vi "kr" til svar.
(Husk at skråstreken i kr/kg er det samme som brøkstrek, som igjen betyr divisjon.)
Fyll ut tabellen nedenfor.
| Mengde epler (kg) | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Prisen for eplene (kr) |
Pristabell
| Mengde epler (kg) | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Prisen for eplene (kr) | 30 | 60 | 120 | 180 |
Lag en ny rad i tabellen. Regn ut prisen per kg epler for de ulike mengdene epler i tabellen. Da sier vi at vi regner ut forholdet mellom prisen for eplene og antall kg epler.
Pris per kg epler
Vi lager en rad med overskriften "Pris per kg" og dividerer tallene i andre rad med tallene i første rad.
| Mengde epler (kg) | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Pris (kr) | 30 | 60 | 120 | 180 |
| Pris per kg (kr/kg) |
Det var sikkert ikke noen overraskelse at svaret ble 30 kr/kg overalt i den tredje raden. Når vi undersøker forholdet mellom to størrelser slik vi har gjort over og finner at dette forholdet er konstant, sier vi at størrelsene er proporsjonale.
Hvilke størrelser er proporsjonale her?
Størrelser som er proporsjonale
Det er størrelsene antall kg epler og prisen for eplene som er proporsjonale størrelser. (Det er disse to vi har regnet ut forholdet mellom.)
Det konstante forholdet kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Hva er proporsjonalitetskonstanten i dette eksempelet?
Proporsjonalitetskonstanten
Proporsjonalitetskonstanten i eksempelet er 30 kr/kg, det vil si den størrelsen vi kaller kiloprisen.
Grafisk framstilling av proporsjonale størrelser
Vi kan lage oss et koordinatsystem som på bildet. Der har vi valgt å ha antall kg epler på førsteaksen (-aksen) og prisen på eplene på andreaksen (-aksen). Da kan vi se på tallene i første rad i tabellene over som -verdier og tallene i andre rad som -verdier.
-verdien i første kolonne, 1, hører sammen med -verdien i første kolonne, 30. Dette kan vi se på som et punkt som vi kan skrive på koordinatform som . Vi kan tegne punktet i koordinatsystemet ved å gå fra tallet 1 på -aksen oppover til vi møter den vannrette linja fra 30 på -aksen, se bildet.
Skriv opp de tre andre punktene vi får fra tabellen.
Andre punkt fra tabellen
Vi får punktene og .
I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du dra i de fire punktene. Når du drar dem på rett plass i koordinatsystemet, blir de grønne.
Filer
Hvordan ligger punktene i forhold til hverandre når punktene er på rett plass i koordinatsystemet?
Svar
Punktene ligger på ei rett linje.
Hva er spesielt med denne linja?
Svar
Linja går gjennom origo.
En formel for hvor mye vi betaler for kg epler
Hvor mye må du betale for kg epler?
Pris for x kg epler
Vi gjør som vi har gjort lenger oppe: multipliserer antall kg med kiloprisen, som betyr at vi multipliserer med tallet 30. Hvis vi kaller prisen for eplene for , blir resultatet
Dette blir en formel for hvor mye vi skal betale i kroner for kg epler.
I formler tar vi sjelden med enheter fordi vi har andre bokstaver som er symboler for størrelser. Da unngår vi sammenblanding av enheter og symboler.
Vi kan tegne den rette linja med GeoGebra. Hvordan tror du denne linja ligger i forhold til de fire punktene? Finn svaret ved å skrive inn formelen for linja i algebrafeltet til venstre i dette GeoGebra-arket på nettet eller last ned GeoGebra-arket nedenfor. Innskrivingsfeltet er nederst til høyre ved plusstegnet, se bildet.
Får du ei linje som passer med de fire punktene?
Filer
Eksempel: butikkmedarbeider
Vilde jobber deltid i en dagligvarebutikk, og hver uke noterer hun ned i en tabell antallet timer hun jobber, og lønna hun får.
Ukenummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
Arbeidstid (timer) | 6 | 5 | 8 | 10 | 2 |
Lønn (kr) | 1 350 | 1 125 | 1 800 | 2 250 | 450 |
Undersøk om antall arbeidstimer og lønna er proporsjonale størrelser.
Tips til løsning
Gjør som i eksempelet med eplene over.
Resultatet av undersøkelsen
Vi lager en ny rad i tabellen og tar lønna for hver dag og dividerer på antall arbeidstimer den dagen.
Ukenummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
Arbeidstimer (timer) | 6 | 5 | 8 | 10 | 2 |
Lønn (kr) | 1 350 | 1 125 | 1 800 | 2 250 | 450 |
Lønn/arbeidstimer | 225 | 225 | 225 | 225 | 225 |
Vi får at lønna per arbeidstime er den samme, 225 kr/time. Da er lønna og antall arbeidstimer proporsjonale størrelser. Vi kan slå fast at Vilde har fast timelønn.
Hva er proporsjonalitetskonstanten?
Proporsjonalitetskonstanten
Proporsjonalitetskonstanten er 225 kr/time, det vil si den størrelsen vi kaller timelønna.
Lag ei grafisk framstilling av lønna til Vilde ved å bruke tallene i tabellen med antall timer og lønn. La antall timer være langs -aksen. Bruk GeoGebra.
Tips til den grafiske framstillinga
Vi må tegne punktene vi får fra tabellen, med antall timer og lønn i et koordinatsystem. I GeoGebra skriver vi inn punktene direkte i algebrafeltet. For eksempel skriver vi (6,1350) for det første punktet i tabellen og trykker enter.
For å få aksetitler kan du høyreklikke på en ledig plass i koordinatsystemet og velge "Grafikkfelt ...". Velg fanen "xAkse", og skriv aksetittelen inn i feltet "Navn på aksen:". Trykk enter. Velg så fanen "yAkse" og gjør det samme.
Grafisk framstilling
Fra tabellen får vi punktene
og
I GeoGebra skriver vi inn punktene i algebrafeltet direkte som de står. For eksempel skriver vi inn det første punktet ved å skrive (6,1350) og trykke enter.
For å få fram koordinatene til et punkt i stedet for navnet kan du gå til innstillingene for punktet ved å høyreklikke på punktet. Velg fanen "Basis", og i nedtrekksmenyen ved "Vis navn" velger du "Verdi".
Ligger punktene på ei rett linje?
Svar
Ja, det ser ut som punktene ligger på ei rett linje.
Vi kan bruke linjeverktøyet til GeoGebra (se bildet) til å tegne ei linje som går gjennom to punkter.
Vi velger linjeverktøyet.
Vi klikker på punktet med -koordinat lik 2 og deretter på punktet med -koordinat lik 10, altså de to punktene som er lengst fra hverandre.
Alternativ framgangsmåte: Dersom punktet med -koordinat 2 heter i algebrafeltet til GeoGebra og punktet med -koordinat 10 heter , kan vi i algebrafeltet skrive Linje(A,B).
Resultatet blir ei linje med formel , se nedenfor. Du kan se formelen for linja i algebrafeltet i GeoGebra. Linja går gjennom alle de fem punktene i tillegg til origo.
Lag en formel for lønna når Vilde jobber timer.
Formel for lønna
Vi har at lønna er lik timelønna multiplisert med antall timer. Vi får
Dette er, som vi kunne forvente, den samme formelen som vi fikk med linjeverktøyet over.
Kunne vi, da vi skulle sjekke for proporsjonalitet, ha delt antall timer på lønna i stedet for å dele lønna på antall timer?
Forklaring
Ja, vi kunne det. Da ville vi i stedet for den faste lønna per arbeidstime på 225 kr/time få det faste antallet timer per krone på 0,00444 time/kr. Men siden timelønn er den størrelsen som brukes, er det mest praktisk å gjøre det slik vi har gjort det.
Oppsummering
Ta stilling til påstandene nedenfor.