Fagstoff

Brøkregning

Hva er en brøk?

Sirkel delt i åtte like sektorer. En av sektorene har merkelappen én åttendedel. Illustrasjon.

Vi deler en pizza i åtte like store deler. Hvert pizzastykke er da lik én åttendedel av hele pizzaen. Én åttendedel kan skrives som $1 : 8$ .

Vi velger en annen skrivemåte som vi kaller brøk.

1 : 8 skriver vi som $\frac{1}{8}$ . Divisjonstegnet (deletegnet) har blitt til brøkstrek, men betyr fortsatt divisjonstegn.

Tallet på topp, tallet over brøkstreken, kaller vi teller fordi det «teller opp» antall pizzastykker.

Tallet under brøkstreken forteller størrelsen, verdien, på pizzastykkene, og det kalles for nevner, på tilsvarende måte som kroner eller euro er benevninger på pengebeløp.

En sirkel delt i fem like sektorer. Fire av sektorene er grønne, den siste sektoren er hvit. Illustrasjon.

Hvis vi har $\frac{4}{5}$ av en pizza, betyr det at vi har delt en pizza i fem like store stykker og telt opp fire av disse.

Hva med $\frac{7}{3}$ , da? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykker og telt opp sju av disse. Er det mulig?

Ja, det er mulig, men da må vi ha mer enn én pizza!
Nedenfor ser du at vi må ha to hele pizzaer og et stykke utenom:

$\frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$

Tre sirkler som alle tre er delt i tre like store sektorer. I to av sirklene er alle sektorene farget grønne, i den tredje er bare én av sektorene farget grønn, de andre er hvite. Illustrasjon.

Addisjon og subtraksjon med brøker

Sirkel delt i åtte like sektorer. Tre sektorer er gule, en sektor er lyseblå og de fire siste sektorene er grønne. Illustrasjon.

De tre gule pizzastykkene på figuren, som utgjør $\frac{3}{8}$ av pizzaen, og det lyseblå stykket, som utgjør $\frac{1}{8}$ av pizzaen, må til sammen utgjøre fire åttendedeler av hele pizzaen.

Det må bety at $\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$ .

Motsatt, når vi fra fire åttendedeler trekker fra én åttendedel, så må vi sitte igjen med tre åttendedeler. Det betyr at $\frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$ .

Dette betyr at regelen nedenfor må være riktig.

Når vi legger sammen eller trekker fra brøker med samme nevner, så legger vi sammen eller trekker fra tellerne og beholder nevnerne.

Fra figuren ser vi videre at det lyseblå og de gule pizzastykkene utgjør halve pizzaen.

Det må bety at $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Det blir altså riktig om vi i brøken $\frac{4}{8}$ deler på 4 i teller og nevner. Vi får

$\frac{4 : 4}{8 : 4} = \frac{1}{2}$

Motsatt blir det også riktig når vi i brøken $\frac{1}{2}$ multipliserer (ganger) med 4 i teller og nevner. Dette gir

$\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$

Det er lov i en brøk å multiplisere med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller det å utvide en brøk.

Det er lov i en brøk å dividere/dele med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller det å forkorte en brøk.

Vi kan nå legge sammen (addere) og trekke fra (subtrahere) alle slags brøker.

Vi skal trekke sammen brøkene

$\frac{1}{2} + 3 - \frac{2}{3}$

Først skriver vi tallet 3 som en brøk. Tallet 3 endrer ikke verdi om vi deler på 1.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{1} - \frac{2}{3}$

Så utvider vi alle brøkene slik at de får like nevnere.

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{1 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Vi multipliserer så ut i teller og nevner i alle brøkene og får

$\frac{3}{6} + \frac{18}{6} - \frac{4}{6}$

Nå har brøkene samme nevner, og vi kan trekke sammen tellerne og beholde nevneren.

$\frac{3 + 18 - 4}{6} = \frac{17}{6}$

Til slutt må vi undersøke om svaret kan skrives på en enklere måte ved å forkorte bøken $\frac{17}{6}$ . Det er her ikke mulig siden ingen tall kan dele både 6 og 17. 17 er et primtall.

Multiplikasjon med brøker

Sirkel delt i åtte like sektorer. Fire av de åtte sektorene har hver sin merkelapp med brøken én åttedel. Illustrasjon.

Fire pizzastykker som hver utgjør $\frac{1}{8}$ av hele pizzaen, utgjør til sammen $\frac{4}{8}$ av hele pizzaen fordi

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{8} = \frac{4}{8}$

Det må bety at $4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$ . Når vi multipliserer et helt tall med en brøk, så må vi altså multiplisere det hele tallet med telleren for at det skal bli riktig.

$4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 1}{8} = \frac{4}{8}$

Siden det hele tallet også kan skrives som en brøk, får vi at

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 8} = \frac{4}{8}$

Vi får riktig svar når vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner.

Sirkel delt i tre like sektorer der den ene sektoren er flyttet litt i forhold til de to andre. Denne sektoren er videre delt i to like deler, hver med merkelappen én sjettedel. De to andre sektorene har hver sin merkelapp med én tredjedel. Illustrasjon.

Vi ser også at hvis vi tar halvparten av et pizzastykke som utgjør én tredjedel av en hel pizza, så må vi få én sjettedel av hele pizzaen. Det må bety at regnestykket nedenfor må være riktig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Det betyr at det også her blir riktig når vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner.

Regelen blir som følger:

Vi multipliserer to brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner.

Hele tall deler vi med 1 slik at de kan oppfattes som brøker.

Eksempel 1

$\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{6 \cdot 5}{8 \cdot 7} = \frac{30}{56} = \frac{30 : 2}{56 : 2} = \frac{15}{28}$ Husk å forkorte svaret!

Eksempel 2

$7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{14}{3}$ Her kan vi ikke forkorte svaret.

Divisjon med brøker

Kari hadde bursdagsselskap og ville servere pizza og brus. Hun kjøpte en svær beholder som inneholdt ti liter brus.

Kari ville helle brusen over i mindre flasker slik at gjestene kunne få én flaske hver. Hun tenkte først å bruke flasker som tok to liter. Hun satte opp et regnestykke og fant ut at da ble det nok til fem flasker med brus fordi

$10 : 2 = 5$

Det ble ikke nok til alle gjestene, så Kari tenkte derfor å bruke flasker som hver tok $\frac{1}{2}$ liter. Hun satte opp tilsvarende regnestykke for å finne ut hvor mange flasker det nå ble:

$10 : \frac{1}{2}$

Her fikk Kari et problem. Hvordan dele på en brøk? Nå måtte Kari bruke sunn fornuft. Det er klart at 20 flasker som hver inneholder $\frac{1}{2}$ liter til sammen må bli lik ti liter. Svaret på regnestykket er altså 20.

Men Kari ga seg ikke. "Det må da være mulig å regne seg fram til riktig svar!" tenkte hun. Kari fant ut at hvis hun snudde brøken hun skulle dele med på hodet og samtidig gjorde divisjon om til multiplikasjon, så fikk hun riktig svar.

$10 : \frac{1}{2} = \frac{10}{1} {\overset{⏞}{\underset{⏟}{: \frac{1}{2} = \frac{10}{1} \cdot \frac{2}{1}}}}_{\begin{matrix} Deletegn blir \\ til tegn for \\ multiplikasjon \end{matrix}}^{\begin{matrix} Brøken snus \\ opp ned \end{matrix}} = \frac{10 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{20}{1} = 20$

Regelen blir

Å dividere med en brøk er det samme som å multiplisere med den omvendte brøken.

Eksempel

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{5}} = \frac{7}{2} : \frac{3}{5} = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{35}{6}$

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 24.02.2021