Pytagoras’ setning

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Tegn en trekant som er rettvinklet, og der de korteste sidene er 3 og 4 enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste siden. Blir denne 5 enheter lang?

Ta nå alle tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden $a$ er $a^2=5^2=25$.

Kvadratet av sidelengden $b$ er $b^2=3^2=9$.

Kvadratet av sidelengden $c$ er $c^2=4^2=16$.

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste siden. Hva ser du?

Vi ser at $25=9+16$. Det er det samme som $a^2=b^2+c^2$.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagoras' setning:

hypotenus² = katet² + katet²

$a^2=b^2+c^2$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har samme bokstav på hjørner og sider som står motsatt hverandre.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Lag et kvadrat med sidelengder $a+b$. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe ut av et stivt papir, eller du kan tegne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler $a$ og $b$, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten 4 like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du $c$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Det grå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde $c$ og areal $c^2$.

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du ei ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik $a+b$ .

Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at det grå arealet i de to figurene er like stort, altså at $a^2=b^2+c^2$. Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.