Blandede oppgaver om grenseverdi, vekstfart, kontinuitet og derivasjon

Her er det mye å ta av! Vi kan se på sammenhengen mellom topp- og bunnpunktet til $$ f$$ og nullpunktene til $$ f^{\text{'}}$$. Vi kan se på sammenhengen mellom fortegnet til $$ f^{\text{'}}$$ og retningen til $$ f$$. Kanskje kan du finne andre sammenhenger også?

Her kan du bruke numeriske metoder for å finne den deriverte. Husk at du må få programmet til å kjenne igjen funksjonen brukeren taster inn. Kanskje må du legge inn noen begrensninger på hva slags funksjoner programmet kan derivere, eller du kan få brukeren til å fortelle deg hva slags funksjon som tastes inn.

a)

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x^3-3x+1\right) & =& 2·2^3-3·2+1\\ & & \\ & =& 16-6+1\\ & & \\ & =& 11\end{array}$$$

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

b)

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-3x+2}$$

Vi prøver å sette inn $$ 2$$ for $$ x$$:

$$ \begin{array}{rcl}$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-3x+2} $& =& \frac{2-2}{2^2-3·2+2}\\ & =& \frac{0}{0}\end{array}$$

Siden vi får 0 i både telleren og nevneren, prøver vi å forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{lcl}$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-3x+2}$ & =& \underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)·1}{(x-1)·\left(x-2\right)} \\ & & \\ & = & \underset{x\to 2}{\lim }\frac{\cancel{\left(x-2\right)}·1}{(x-1)·\cancel{\left(x-2\right)}}\\ & & \\ & =& \underset{x\to 2}{\lim } \frac{1}{(x-1)}\\ & & \\ & =& \frac{1}{\left(2-1\right)}\\ & & \\ & =& 1\\ & & \\ & & \end{array}$$
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

c)

$$ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{16-x}-4}{x}$$

Vi setter inn $$ 0$$ for $$ x$$ og observerer at vi får 0 i både telleren og nevneren:

$$ \frac{\sqrt{16-0}-4}{0}=\frac{0}{0}$$

Vi bruker konjugatsetningen til å utvide brøken, slik at vi kan forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{16-x}-4}{x}·\frac{\left(\sqrt{16-x}+4\right)}{\left(\sqrt{16-x}+4\right)} & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{16-x-16}{x\left(\sqrt{16-x}+4\right)}\\ & & \\ & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\cancel{x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{16-x}+4\right)}\\ & & \\ & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(\sqrt{16-x}+4\right)}\\ & & \\ & =& \frac{-1}{4-0+4}\\ & & \\ & =& -\frac{1}{8}\end{array}$$

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

d)

Vi ser at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi dividerer telleren og nevneren med høyeste potens av $$ x$$: $$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-4x+1}{2-3x^2} & =& \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{x^2}}}\\ & & \\ & =& \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{2}{x^2}-3}}\\ & & \\ & =& \frac{1-0+0}{0-3}\\ & & \\ & =& -\frac{1}{3}\\ & & \end{array}$$

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

e)

Vi observerer at telleren og nevneren begge blir 0, og vi bruker konjugatsetningen for å forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to -\sqrt{2}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{x^2-2}& =& \underset{x\to -\sqrt{2}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\cancel{\left(x+\sqrt{2}\right)}}{\cancel{\left(x+\sqrt{2}\right)}\left(x-\sqrt{2}\right)}\\ & =& \frac{\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)}\\ & =& \frac{-\sqrt{2}-1}{-2\sqrt{2}}\\ & =& \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ & =& \frac{2+\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

f)

Vi observerer at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi deler på høyeste potens av $$ x$$:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2-5}{x^2-x+3} & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{5}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}\\ & =& \frac{2-0}{1-0+0}\\ & =& 2\end{array}$$

a)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x^2+5\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2x\end{array}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 5x^3-\sqrt{x}+4\\ & & \\ & = & 5x^3-x^{\frac{1}{2}}+4\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 5·3x^2-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\\ & & \\ & =& 15x^2-\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$$

c)

Vi bruker produktregelen. Det kan være lurt å begynne med å definere og derivere de to faktorene:

$$ \begin{array}{cc}u=2-x^2 & v=x+1\\ u=-2x& v^{\text{'}}=1\end{array}$$

Så kan vi gjennomføre derivasjonen:

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\\ & =& \left(-2x\right)·\left(x+1\right)+\left(2-x^2\right)·1\\ & =& -2x^2-2x+2-x^2\\ & =& -3x^2-2x+2\end{array}$$

d)

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & = & \left(x^2+3\right)x^3\\ & = & x^5+3x^3\\ g^{\text{'}}\left(x\right) & = & 5x^4+9x^2\\ & & \end{array}$$

a)

$$ \begin{array}{rcl}y\left(x\right) & =& \left(3x^2+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\\ y\text{'}\left(x\right) & =& {\left(3x^2+2\right)}^{\text{'}}\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(3x^2+2\right){\left(\sqrt{x}-1\right)}^{\text{'}}\\ & =& 6x\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(3x^2+2\right)\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & =& \frac{6x\left(\sqrt{x}-1\right)·2\sqrt{x}+\left(3x^2+2\right)}{2\sqrt{x}}\\ & =& \frac{12x^2-12x\sqrt{x}+3x^2+2}{2\sqrt{x}}\\ & =& \frac{15x^2-12x\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}\end{array}$$

Her har vi valgt en annen måte å føre på enn i 2.4.91 c). Finn ut hvilken måte som passer best for deg og bruk den.

b)

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& (3x+2)(4x^2-2x)\\ g^{\text{'}}\left(x\right) & =& (3x+2{)}^{\text{'}}·(4x^2-2x)+(3x+2)·(4x^2-2x{)}^{\text{'}}\\ & =& 3·(4x^2-2x)+(3x+2)·\left(8x-2\right)\\ & =& 12x^2-6x+24x^2-6x+16x-4\\ & =& 36x^2+4x-4\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right) & =& (x^2+1)(x+4+\frac{1}{x})\\ h^{\text{'}}\left(x\right) & =& (x^2+1{)}^{\text{'}}·\left(x+4+\frac{1}{x}\right)+(x^2+1)·{\left(x+4+\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}\\ & =& 2x·\left(x+4+\frac{1}{x}\right)+(x^2+1)·\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\\ & =& 2x^2+8x+2+x^2-1+1-\frac{1}{x^2}\\ & =& 3x^2+8x+2-\frac{1}{x^2}\end{array}$$

d)

$$ \begin{array}{rcl}i\left(x\right) & =& \frac{2+x^2}{x^2-x^{-2}}=\frac{u}{v}\\ i^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{u^{\text{'}}·v-u·v^{\text{'}}}{v^2}\end{array}$$

Vi velger her å først definere og derivere $$ u \mathrm{og} v$$ og regne ut $$ v^2$$:

$$ \begin{array}{cc}u=2+x^2& v=x^2-x^{-2}\\ u^{\text{'}}=2x& v^{\text{'}}=2x+2x^{-3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{v}^2 & =& {\left(x^2-x^{-2}\right)}^2\\ & =& {\left(x^2\right)}^2-2·x^2·x^{-2}+{\left(x^{-2}\right)}^2\\ & =& x^2-2+x^{-4} \end{array}$$

Nå kan vi finne $$ i\text{'}\left(x\right)$$:

$$ \begin{array}{rcl}{i}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{2x·\left(x^2-x^{-2}\right)-\left(2+x^2\right)·\left(2x+2x^{-3}\right)}{x^4-2+x^{-4}}\\ & =& \frac{2x^3-2x^{-1}-\left(4x+4x^{-3}+2x^3+2x^{-1}\right)}{x^4-2+x^{-4}}\\ & =& \frac{-4x-4x^{-1}-4x^{-3}}{x^4-2+x^{-4}}·\frac{x^4}{x^4}\\ & =& \frac{-4\left(x^5+x^3+x\right)}{x^8-2x^4+1}\\ & & \end{array}$$

a)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& e^{x^3+4x}\\ u & =& x^3+4x\\ u^{\text{'}} & =& 3x^2+4\\ f\left(u\right) & =& e^u\\ f^{\text{'}}\left(u\right) & =& e^u\\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& u^{\text{'}}·f^{\text{'}}\left(u\right)\\ & =& \left(3x^2+4\right)·e^{x^3+4x}\end{array}$$

b)

Her legger vi merke til at leddet $$ 5x$$ er en konstant, siden derivasjonsvariablen er $$ t$$:

$$ \begin{array}{rcl}g\left(t\right) & =& \ln \left(2t+5x\right)\\ u & =& 2t+5x\\ u^{\text{'}} & =& 2\\ g\left(u\right) & =& \ln u\\ g^{\text{'}}\left(u\right) & =& \frac{1}{u}\\ g^{\text{'}}\left(t\right) & =& u^{\text{'}}·g^{\text{'}}\left(u\right)\\ & =& 2·\frac{1}{2t+5x}\\ & =& \frac{2}{2t+5x}\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right) & =& 3{\left(4x^3+\ln x\right)}^3\\ u & =& 4x^3+\ln x\\ u^{\text{'}} & =& 12x^2+\frac{1}{x}\\ h\left(u\right) & =& 3u^3\\ h^{\text{'}}\left(u\right) & =& 9u^2\\ h^{\text{'}}\left(x\right) & =& u^{\text{'}}·h\text{'}\left(u\right)\\ & =& \left(12x^2+\frac{1}{x}\right)·9{\left(4x^3+\ln x\right)}^2\end{array}$$

a)

$$\begin{gathered} $ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{5e^x}{3e^x+1}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{\left(5e^x\right)\text{'}·\left(3e^x+1\right)-\left(5e^x\right)·\left(3e^x+1\right)\text{'}}{{\left(3e^x+1\right)}^2}\\ & & \\ & =& \frac{5e^x\left(3e^x+1\right)-\left(5e^x\right)·\left(3e^x\right)}{{\left(3e^x+1\right)}^2}\\ & & \\ & =& \frac{15e^{2x}+5e^x-15e^{2x}}{{\left(3e^x+1\right)}^2}\\ & & \\ & =& \frac{5e^x}{{\left(3e^x+1\right)}^2}\\ & & \end{array}$ \\ \end{gathered}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& \ln (2x+4)\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{2x+4}·2\\ & & \\ & =& \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}\left(x+2\right)}\\ & & \\ & =& \frac{1}{x+2}\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x\ln x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& x^{\text{'}}·\ln x+x·{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}\\ & & \\ & =& 1·\ln x+x·\frac{1}{x}\\ & & \\ & =& \ln x+1\end{array}$$

a)

Vi observerer at $$ k\left(x\right)$$ ikke er definert for  $$ x=1$$. For alle andre verdier av $$ x$$ er funksjonen kontinuerlig, siden alle polynomfunksjoner er kontinuerlige i hele $$ \mathrm{ℝ}$$. Funksjonen er altså kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde og er ikke diskontinuerlig i noen punkter.

b)

Vi undersøker om funksjonen er kontinuerlig i punktet, det vil si om $$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) \\ = f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) \end{gathered}$$:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& 2·0=0\\ f\left(0\right) & =& 2·0=0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \sqrt{0}=0\\ & & \end{array}$$

Vi har altså at $$ f$$ er kontinuerlig i punktet.

c)

Vi gjør de samme undersøkelsene for $$ g\left(x\right)$$:

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right) & =& 2·0^2+2·0+1=1\\ g\left(0\right) & =& 2·0^2+2·0+1=1\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right) & =& 2·0+1=1\\ & & \end{array}$$$

Her ser vi at funksjonen er kontinuerlig i punktet.

d)

Vi starter den samme undersøkelsen som i b):

$$ $ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }h\left(x\right) & =& 2·1+3=5\\ h\left(1\right) & =& 2·1+3=5\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }h\left(x\right) & =& 1^2=1\\ & & \end{array}$$$$

Her ser vi at funksjonen ikke er kontinuerlig i punktet.

a)

For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet:

$$ y=f\left(1\right)=1^2·e^1=e$$

Stigningstallet finner vi ved å regne ut $$ f^{\text{'}}\left(1\right)$$:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x^2·e^x\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& {\left(x^2\right)}^{\text{'}}·e^x+x^2·{\left(e^x\right)}^{\text{'}}\\ & =& 2x{e}^x+x^2{e}^x\\ & =& x{e}^x\left(2+x\right)\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& 1·e^1\left(2+1\right)\\ & =& 3e\end{array}$$

Så bruker vi ettpunktsformelen for å regne ut:

$$ \begin{array}{rcl}y-y_1 & =& a\left(x-x_1\right)\\ y-e & =& 3e\left(x-1\right)\\ y & =& 3ex-3e+e\\ y & =& 3ex-2e\end{array}$$

I CAS trenger vi bare to linjer:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

b)

For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet:

$$ y=f\left(1\right)=1^2·\left(\sqrt{1}+3·1\right)=1·4=4$$

Stigningstallet finner vi ved å regne ut $$ f^{\text{'}}\left(1\right)$$:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x^2·\left(\sqrt{x}+3\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& {\left(x^2\right)}^{\text{'}}·\left(\sqrt{x}+3\right)+x^2·{\left(\sqrt{x}+3\right)}^{\text{'}}\\ & =& 2x\left(\sqrt{x}+3\right)+x^2\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\ & =& 2x^{\frac{3}{2}}+6x+\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}\\ & =& \frac{5}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+6x\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& \frac{5}{2}·1^{\frac{3}{2}}+6·1\\ & =& \frac{17}{2}\end{array}$$

Så bruker vi ettpunktsformelen for å regne ut:

$$ \begin{array}{rcl}y-y_1 & =& a\left(x-x_1\right)\\ y-4 & =& \frac{17}{2}\left(x-1\right)\\ y & =& \frac{17}{2}x-\frac{17}{2}+\frac{8}{2}\\ y & =& \frac{17}{2}x-\frac{9}{2}\end{array}$$

I CAS trenger vi bare to linjer:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

c)

Vi følger den samme prosedyren som i a):

$$ g\left(2\right)=\frac{3·2+2}{2}=4$$

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{{\left(3x+2\right)}^{\text{'}}·x-\left(3x+2\right)·x^{\text{'}}}{x^2}\\ & =& \frac{3x-3x-2}{x^2}\\ & =& -\frac{2}{x^2}\\ g^{\text{'}}\left(2\right) & =& -\frac{2}{2^2}\\ & =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}y-y_1 & =& a\left(x-x_1\right)\\ y-4 & =& -\frac{1}{2}\left(x-2\right)\\ y & =& -\frac{1}{2}x+1+4\\ y & =& -\frac{1}{2}x+5\end{array}$$

Til hver av disse oppgavene finnes det uendelig mange løsninger. Diskuter med en medelev eller en lærer om dine forslag oppfyller kriteriene.