Oppgave

Tre ulike typer utvalg

Ved å løse disse oppgavene kan du lære mer om kombinatorikk.

4.2.50

I hvert av tilfellene nedenfor skal du avgjøre om vi har et ordnet utvalg med tilbakelegging, et ordnet utvalg uten tilbakelegging eller et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Husk å tenke nøye over hvorfor du velger som du gjør.

a) En kodelås består av tre tall mellom 0 og 9. Hvert tall kan brukes flere ganger.

Løsning

I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Vi kan også bruke tallene mellom 0 og 9 flere ganger. Vi har et ordnet utvalg med tilbakelegging.

b) En kodelås består av fem bokstaver. Hver bokstav kan bare brukes én gang.

Løsning

I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Vi kan ikke bruke bokstavene mer enn én gang. Vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging.

c) Et bilnummer består av to bokstaver og fem siffer.

Løsning

I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Vi regner med at vi kan bruke tall og bokstaver mer enn én gang. Vi har et ordnet utvalg med tilbakelegging.

d) I klassen din skal det trekkes ut én leder, én festansvarlig og én økonomiansvarlig. Den første som blir trukket ut, blir leder, den neste som blir trukket ut, blir festansvarlig, og den siste som blir trukket ut, blir økonomiansvarlig.

Løsning

I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Den samme personen kan ikke trekkes to ganger. Vi har dermed et ordnet utvalg uten tilbakelegging.

e) I klassen din skal det trekkes ut fire elever som skal ta ansvar for en klassefest.

Løsning

I dette tilfellet har ikke rekkefølgen noe å si. Den samme personen kan ikke trekkes to ganger. Vi har dermed et uordnet utvalg uten tilbakelegging.

4.2.51

En kodelås består av fem tall mellom 0 og 9. Det samme tallet kan brukes flere ganger.

a) Hvor mange ulike koder kan du lage?

Løsning

Her har vi et ordnet utvalg med tilbakelegging. Vi har 10 valgmuligheter hver gang vi skal velge et tall.

Vi får altså $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{5} = 100 000$ mulige koder.

b) Hvor mange ulike koder kan du lage dersom du ikke kan ha to like tall etter hverandre?

Løsning

Her har vi et utvalg som ikke følger noen av mønstrene vi har sett på. Vi tenker på den samme måten som i a), men husker at vi ikke kan bruke det tallet som står foran om igjen. På plass nummer 1 har vi 10 valg, mens vi på plass nummer 2 kan velge alle de 9 tallene som ikke står på plass nummer 1. Likedan har vi 9 valg på plass nummer 3, 4 og 5.

Vi får altså $10 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 10 \cdot 9^{4} = 65 610$ mulige koder.

4.2.52

a) Et bilnummer består av to bokstaver og deretter fem tall mellom 0 og 9. Det kan velges mellom 20 ulike bokstaver. Det første tallet kan ikke være 0. Hvor mange ulike bilnummer kan vi lage?

Løsning

Vi kan her velge mellom 20 bokstaver. Det første tallet i bilnummeret velges blant 9 ulike tall, mens de fire siste velges mellom 10 ulike tall.

Vi får $20^{2} \cdot 9 \cdot 10^{4} = 36 000 000$ mulige bilnummer.

b) Et annet bilnummer består av tre bokstaver og deretter fire tall mellom 0 og 9. Det kan velges mellom 20 ulike bokstaver. Det første tallet kan ikke være 0. Hvor mange ulike bilnummer kan vi lage?

Løsning

Her kan vi velge mellom 20 bokstaver. Det første tallet i bilnummeret velges blant 9 ulike tall, mens de 3 siste velges mellom 10 ulike tall.

Vi får $20^{3} \cdot 9 \cdot 10^{3} = 72 000 000$ mulige bilnummer.

4.2.53

Stefania, Dina, Joar, Jon og Henrik skal løpe en skolestafett. De trekker ut hvem som skal løpe de ulike etappene.

a) Hvor mange måter kan stafettlaget settes opp på?

Løsning

Dette er et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Her kan vi velge mellom 5 løpere til den første etappen, deretter 4 på den andre etappen og så videre.

Det gir $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ ulike måter å sette opp laget på.

b) Det er bestemt på forhånd at Henrik skal løpe den siste etappen. Hvor mange mulige stafettoppsett blir det nå?

Løsning

Nå har vi bare 4 løpere å velge mellom til den første etappen, 3 til den andre og så videre.

Det gir $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ mulige stafettoppsett.

4.2.54

En kode på 3 bokstaver skal bestå av bokstaver fra det norske alfabetet. En bokstav kan bare brukes én gang. Det er 29 bokstaver i det norske alfabetet. Hvor mange ulike koder kan du lage?

Løsning

Vi får $29 \cdot 28 \cdot 27 = 21 924$ ulike koder.

4.2.55

a) I et borettslag med 50 medlemmer skal det velges et styre med leder, nestleder og kasserer. Først velges leder, deretter nestleder og til slutt kasserer. Hvor mange måter kan styret settes sammen på?

Løsning

Styret kan settes sammen på $50 \cdot 49 \cdot 48 = 117 600$ ulike måter.

b) I et annet borettsslag som også består av 50 medlemmer, skal det velges ut tre medlemmer til en dugnadskomité. Hvor mange ulike komiteer er det mulig å sette sammen?

Løsning

Vi skal trekke ut tre personer av 50. Det gjør vi ved å regne ut $(\begin{matrix} 50 \\ 3 \end{matrix}) = n C r (50, 3) = 19 600$ .

Vi får altså 19 600 ulike muligheter for komiteen.

c) Forklar med dine egne ord hvorfor det blir langt færre muligheter i situasjonen som er beskrevet i b) sammenlignet med situasjonen i a).

Løsning

Det er mange ulike ordnede utvalg som utgjør det samme uordnede utvalget. Tenk deg at personene A, B og C er trukket ut. Dersom vi hadde tatt hensyn til rekkefølgen, ville vi ha hatt seks ulike muligheter, nemlig permutasjonene ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA. Når vi ikke tar hensyn til rekkefølgen, danner disse tre personene bare én kombinasjon. Vi får derfor seks ganger så mange muligheter i situasjonen som er beskrevet i a) sammenlignet med situasjonen beskrevet i b).

4.2.56

Det skal trekkes ut to personer fra ei gruppe på fire personer.

a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt.

Løsning

Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Rekkefølgen de to personene blir trukket ut i, betyr ikke noe. En elev kan heller ikke bli trukket ut to ganger.

b) Vi lar de fire personene få bokstavene A, B, C og D. Lag et program som kan skrive opp de ulike kombinasjonene og telle opp antallet. Husk å lage algoritme først.

Løsning – algoritme

1. Vi lager ei liste over de personene som er med.
2. Vi bruker en metode for å hente ut de ulike kombinasjonene.
3. Vi skriver ut de ulike kombinasjonene og antallet kombinasjoner.

Løsning – program

Python

1from itertools import combinations
2Personer = ["A","B","C","D"]    #lager ei liste med de aktuelle personene
3komb = combinations(Personer, 2) #generer alle kombinasjoner med to
4par = list(komb)                  #lager ei liste av alle parene
5for i in (par):
6  print(i)                        #lager pen utskrift
7print(f"Det er {len(par)} kombinasjoner.")  #finner antall kombinasjoner

c) Bruk formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegging, og finn antall ulike kombinasjoner.

Løsning

Antall ulike kombinasjoner er

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 6$

4.2.57

Du skal nå se på noen eksempler på forsøk som kan oppfattes som at vi legger n antall nummererte lapper i en hatt og trekker ut en lapp r ganger. Denne oppgaven har ikke løsningsforslag. Diskuter med medelevene dine dersom du er usikker. Tenk deg godt om før du spør læreren din.

a) Å kaste en terning kan oppfattes som å plassere 6 lapper, nummerert fra 1 til 6, i en hatt, og så trekke 1 lapp. Hvor mange mulige utfall finnes det?

b) Å spille lotto kan oppfattes som å ha 34 lapper, nummerert fra 1 til 34, i en hatt, og så trekke 7 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det?

c) Å velge to elever til elevrådet kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det?

d) Å velge leder og nestleder i klassen kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Den første som trekkes, blir leder. Hvor mange mulige utfall finnes det?

e) Å tippe fotballkamper kan oppfattes som å ha 3 lapper, nummerert fra 1 til 3, i en hatt, og så trekke en lapp 12 ganger. Hver gang legges lappen tilbake. Hvor mange mulige utfall finnes det?

f) Å lage en bokstavkode på 3 bokstaver kan oppfattes som å ha 29 lapper, nummerert fra 1 til 29, i en hatt, og så trekke 3 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det?

g) Å velge ut 11 spillere fra en stall på 18 kan oppfattes som å ha 18 lapper, nummerert fra 1 til 18, i en hatt, og så trekke 11 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det?

h) Å velge ut 4 skiløpere til et stafettlag fra en stall på 8 kan oppfattes som å ha 8 lapper, nummerert fra 1 til 8, i en hatt, og så trekke 4 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det?

i) Her har vi den samme situasjonen som i h), men vi tar også hensyn til hvem som skal gå de forskjellige etappene. Hvor mange mulige utfall finnes det?

j) Å få utdelt 13 kort når du spiller amerikaner, kan oppfattes som å ha 52 lapper, nummerert fra 1 til 52, i en hatt, og så trekke 13 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det?

4.2.50

4.2.51

4.2.52

4.2.53

4.2.54

4.2.55

4.2.56

4.2.57

Regler for bruk av teksten "Tre ulike typer utvalg"