Sannsynlighet og kombinatorikk – blandede oppgaver

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

a) Se bildet til høyre.

b) Vi går inn i den nederste linja og finner plass nummer 2 (det vil si den tredje fra venstre), og vi ser at det er 6 måter å trekke ut 2 kuler på.

c) Vi går inn på plass nummer 3 (det vil si den fjerde fra venstre), og vi ser at det er 4 måter å trekke ut 2 kuler på.

d) Som i b) finner vi dette svaret på den siste raden, plass 2. Vi har at $$ \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=6$$.

Ved regning:

$$ \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!·2!}=\frac{\cancel{4}·3·2}{\cancel{2·2}}=6$$

a) Her skal vi trekke ut tre personer av ti, det vil si at vi kan finne antallet ved hjelp av binomialformelen:

$$ \left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=10C3=120$$

De kan altså få 120 ulike arbeidsutvalg.

b) Her må vi se på det som antall måter vi kan sortere (permutere) de 3 utvalgte representantene på. Det kan vi gjøre på $$ 3!=6$$ ulike måter.

c) Denne kan vi løse på (minst) to ulike måter. Vi kan enten bruke tallene vi har fra tidligere i oppgaven og se på at for hvert av de 120 ulike utvalgene kan vi få 6 ulike sammensetninger:

$$ 120·6=720$$

Eller vi kan finne det direkte, vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging:

$$ \frac{10!}{7!}=10·9·8=720$$

d) Også denne kan løses på to måter. Vi kan enten se på at alle i elevrådet har samme mulighet til å bli sekretær, altså $$ \frac{1}{10}$$.

Eller vi ser at hvis Ali skal bli sekretær, må en av de andre bli både leder og nestleder:

$$ \frac{9}{10}·\frac{8}{9}·\frac{1}{8}=\frac{\cancel{9·8}·1}{10\cancel{·9·8}}=\frac{1}{10}$$

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

Antall ulike mulige bilskilt er

$$ 20·9·10·10·10=180·{10}^3=1,8·{10}^5$$

b) Antall mulige bilskilt er

$$ 20·9·10·10·10·10=180·{10}^4=1,8·{10}^6$$

c) Antall mulige bilskilt er

$$ 20·20·9·10·10·10·10=3 600·{10}^4=3,6·{10}^7$$

d) Når det gjelder bokstavene, har han to muligheter: AR og RA. Når det gjelder sifrene, må det første være 1 eller større og det siste 9 eller mindre. Det gir 5 ulike muligheter når sifrene skal følge etter hverandre. Han har altså $$ 2·5=10$$ mulige valg, og bare ett av dem er riktig. Sannsynligheten blir da $$ \frac{\mathrm{antall} \mathrm{gunstige}}{\mathrm{antall} \mathrm{mulige}}=\frac{1}{10}.$$

a) Sannsynligheten er $$ \frac{\mathrm{gunstige}}{\mathrm{mulige}}=\frac{{\displaystyle 28 042}}{54 495}=0,514 5\approx 0,515$$.

b) Sannsynligheten blir $$ 1-0,515=0,485$$.

c) Sannsynligheten er

$$ 0,515·0,515=0,{515}^2=0,265 2\approx 0,265$$

d) Sannsynligheten er $$ 0,{485}^5·0,{515}^5=0,000 9\approx 0,001$$.

e) Dette kan vi se på som et binomisk forsøk med $$ n=10$$ og $$ p=0,485$$.

Vi har den stokastiske variabelen $$ J$$: antall jenter.

$$ P\left(J=5\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)·0,{485}^5·0,{515}^5=0,245$$

f) Vi bruker den samme modellen som i e), men setter $$ n=60$$:

$$ P\left(J=30\right)=\left(\begin{array}{c}60\\ 30\end{array}\right)·0,{485}^{30}·0,{515}^{30}=0,099 8\approx 0,100$$

a) Her kan vi bruke binomialformelen for å finne antall mulige kombinasjoner:

$$ \left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)=2 598 960$$

b) Her må vi gruppere de 52 kortene på ulike måter og bruke hypergeometrisk fordeling:

$$ P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}39\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)}=0,000 5$$

I GeoGebra sin sannsynlighetskalkulator velger vi hypergeometrisk fordeling med populasjon $$ =52$$, $$ n=13$$ og utvalg $$ =5$$ og finner $$ P(5\le X\le 5)=0,000 5$$.

$$ P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}26\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}26\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)}\approx 0,025 3$$ (populasjon $$ =52$$, $$ n=26$$ og utvalg $$ =5$$)

$$ P\left(C\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}44\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)}\approx 0,000 022$$

c) Det er nå 4 konger og 45 kort som ikke er konge igjen. Hun kan få konge enten en eller to ganger for å få minst en konge:

Vi bruker hypergeometrisk fordeling i GeoGebra med populasjon lik 45, $$ n=4$$ og utvalg lik 2. Vi finner at $$ P\left(1\le X\le 2\right)=0,158 2$$.

a) Vi bruker binomialformelen og får $$ \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)=15.$$

b) Vi bruker binomialformelen og får

$$ \left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)=\frac{12!}{8!·4!}=\frac{\cancel{12}·11·10·9}{\cancel{4·3}·2}=\frac{990}{2}=495$$

c) Hvert av de 495 lagene i c) kan ordnes (permuteres) på 4! måter, så vi får $$ 495·4!=11 880.$$

a) Vi har $$ \mathrm{100\%\; -\; 40\%\; =\; 60\%\; =}\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$$ som spiser frokost.

b) Vi får $$ {\left(\frac{3}{5}\right)}^{20}=0,000 036\approx 0,000 04$$.

c) Her kan vi bruke binomisk sannsynlighetsfordeling fordi:

1. Vi kan se på å trekke hver av de 20 elevene som uavhengige delforsøk. Det har jo ingen betydning for de andre 19 elevene om en av dem spiser frokost eller ikke.

2. Vi har bare to utfall: Enten spiser en elev frokost før hen går hjemmefra, eller hen gjør det ikke.

3. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev spiser frokost, er lik hele veien. Dette kan vi si fordi gruppa "norske ungdomsskoleelever" er så stor at det ikke vil påvirke sannsynligheten at vi tar ut 20 stykker av den.

Vi setter den stokastiske variabelen $$ X$$ lik antallet som spiser frokost og får

$$ P\left(X=12\right)=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)·{\left(\frac{3}{5}\right)}^{12}·{\left(\frac{2}{5}\right)}^8=0,179 7\approx 0,180$$

d) Vi bruker binomisk fordeling i GeoGebra med $$ n=20$$ og $$ p=0,6$$. Vi får at $$ P\left(10\le X\right)=0,872 4\approx 0,872$$.

e) I b) kan vi regne med den samme sannsynligheten for alle elevene fordi det er såpass mange ungdomsskoleelever i Norge. Når vi har ei gruppe som er såpass liten som 200, vil sannsynligheten for at den neste eleven har spist frokost, endres etter hvert som vi trekker elever ut av gruppa.

f) Her bruker vi hypergeometrisk fordeling i GeoGebra og setter populasjon $$ =200$$, $$ n=120$$ og utvalg $$ =20$$.

Vi får at

$$ P\left(20\le X\right)=0,000 018\approx 0,000 02$$

$$ P\left(12\le X\le 12\right)=0,189 3\approx 0,189$$

$$ P\left(10\le X\right)=0,884 7\approx 0,885$$

a) Vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging, så her skal vi finne antall permutasjoner. Vi får $$ 5!=120$$ ulike rekker.

b) Her har vi et ordnet utvalg med tilbakelegging. Vi kan få $$ 6^3=216$$ ulike tall.

c) Vi har 9 valg på hver plass, og vi kan bruke alle tallene om igjen. Vi har altså et ordnet utvalg med tilbakelegging:

$$ 9·9·9=729$$

d) Mellom 99 og 1 000 er det 900 tall, og alle er tresifrede (husk at verken 99 eller 1 000 er med i denne mengden).
Vi så i c) at det finnes 729 tresifrede tall uten 0. Da kan vi finne antall tall som inneholder 0 ved å ta $$ 900-729=171$$ tall med minst en null.

a) Her kan vi se på det å så tre frø som et binomisk forsøk med $$ n=3$$ og $$ p=0,9$$.

Vi setter den stokastiske variabelen $$ X$$ lik antall frø som spirer.

$$ P\left(X=0\right)=0,1^3=0,001$$

b) $$ P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)·0,9^1·0,1^2=0,027$$

c) Vi har

$$ P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-0,001=0,999$$

d) Her er det enklest å prøve seg fram. Vi regner ut at sannsynligheten for at $$ X=2$$ hvis hun sår to frø, er

$$ P(X=2)=0,9^2=0,81=81\%$$

Dette er for lite. Vi bruker det vi fant i b) og c) for å finne sannsynligheten for minst to spirer hvis vi sår tre frø:

$$ \begin{array}{rcl}P\left(X\ge 2\right) & =& 1-P\left(X=0\right)-P\left(X=1\right)\\ & =& 1-0,001-0,027\\ & =& 0,972\\ & =& 97,2\%\end{array}$$

Vi ser at det holder med tre frø for at minst 95 prosent skal spire.

e) Vi legger inn i GeoGebra. Vi velger binomisk fordeling med $$ p=0,9$$. Vi setter svaret til å være $$ P\left(10\le X\right)$$. Så prøver vi oss med ulike verdier for $$ n$$ til vi finner antallet forsøk vi må gjøre.

Vi finner at ved $$ n=12$$ har vi

$$ P\left(X\ge 10\right)=0,889 1\approx 0,889=88,9\%$$

Ved $$ n=13$$ har vi

$$ P\left(X\ge 10\right)=0,965 8\approx 0,966=96,6\%$$

a) Her har vi en hypergeometrisk fordeling. Vi har 28 mennesker, 8 av dem er nordmenn. Vi setter opp i GeoGebra med populasjon lik 28, $$ n=28$$ og utvalg lik 5. Vi får at

$$ P\left(X=5\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 5\end{array}\right)}=0,000 56\approx 0,000 6$$

b) Vi bruker den samme fordelingen i GeoGebra, men setter $$ P\left(X=2\right)$$:

$$ P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 5\end{array}\right)}=0,324 7\approx 0,325$$

c) Her deler vi opp i to grupper, vi får ei gruppe med Per og Kari og ei gruppe med de 26 andre. I GeoGebra endrer vi nå $$ n$$ til 2.

$$ P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}26\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 5\end{array}\right)}=0,026 4\approx 0,026$$

d) Her kan vi dele de 28 opp i tre ulike grupper: Per, Kari og resten. Vi definerer hendelsen $$ P$$: Per er med, men ikke Kari.

Da får vi følgende utregning:

$$ P\left(P\right)=\frac{\left(\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{l}26\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}28\\ 5\end{array}\right)}=0,152 1\approx 0,152$$

Vi kan også bruke fordelingen fra c) og finne $$ P(X=1)$$. Da får vi sannsynligheten for at nøyaktig 1 av de to er med. Denne sannsynligheten er 0,304 2, altså det dobbelte av at bare Per er med.

a)
$$ \begin{array}{l}P\left(S\right)=\frac{10}{750}\\ P\left(\overline{S}\right)=\frac{740}{750}=\frac{74}{75}\\ P\left(T|S\right)=0,933\\ P\left(T|\overline{S}\right)=1-0,994=0,006\end{array}$$

b) Vi skal altså finne $$ P\left(T\right)$$. Dette finner vi ved å finne summen av sannsynligheten for at testen slår ut på syke, og sannsynligheten for at testen slår ut på de friske.

$$ \begin{array}{l}P\left(T\right)=P\left(T\cap S\right)+P\left(T\cap \overline{S}\right)\\ P\left(T\right)=P\left(S\right)·P\left(T|S\right)+P\left(\overline{S}\right)·P\left(T|\overline{S}\right)\\ P\left(T\right)=\frac{1}{75}·0,933+\frac{74}{75}·0,006=0,018 3\approx 0,018\end{array}$$

c)
$$ \begin{array}{l}P\left(\mathrm{Alle} \mathrm{de} \mathrm{ti} \mathrm{smittede} \mathrm{tester} \mathrm{positivt}\right)=\\ P{\left(T|S\right)}^{10}=0,{933}^{10}=0,499 8\approx 0,500\end{array}$$

d)
$$ \begin{array}{l}P\left(\mathrm{Alle} \mathrm{usmittede} \mathrm{tester} \mathrm{negativt}\right)=\\ P{\left(T|\overline{S}\right)}^{740}=0,{994}^{740}=0,011 6\approx 0,012\end{array}$$

e) Vi løser i GeoGebra. Vi bruker binomisk sannsynlighetsmodell med $$ n=750$$ og $$ p=0,018$$, og vi setter $$ 10\le X\le 10$$. Vi får at sannsynligheten er 0,075 8.

f) Vi endrer intervallet i modellen fra e) og setter $$ 0\le X\le 0$$. Vi får at sannsynligheten er 0,000 001 212 3, det vil si tilnærmet 0.

g) Her må vi finne kombinasjonen av at de 10 elevene som er smittet, tester positivt og de 740 andre tester negativt:

$$ \begin{array}{rcl}P\left(\mathrm{De} \mathrm{ti} \mathrm{positive} \mathrm{testene} \mathrm{er} \mathrm{de} \mathrm{ti} \mathrm{smittede}\right) & =& 0,500·0,012\\ & =& 0,006\end{array}$$

Vi starter med å lage en algoritme:

1. Vi importerer "random".

2. Vi oppretter en variabel for å lagre antall seksere (suksess).

3. Vi lager ei for-løkke der vi kaster de tre terningene mange ganger.

4. Inne i for-løkka bruker vi if-elif for å sjekke om vi får en sekser på noen av terningene, og vi legger til resultatet i riktig plassholder.

5. Vi finner og skriver ut sannsynligheten for å komme ut av huset på første tur ved å ta antall suksesser delt på antall forsøk.

Programmet kan se slik ut:

1import random
2suksess = 0     #variabel for sekser
3antallForsok = 1000000 
4
5for i in range(antallForsok):
6    terning1 = random.randint(1,6) 
7    terning2 = random.randint(1,6) 
8    terning3 = random.randint(1,6)
9    if terning1 == 6:
10        suksess = suksess + 1
11    elif terning2 == 6:
12        suksess = suksess + 1
13    elif terning3 ==  6:
14        suksess = suksess + 1
15    
16        
17print(f"Sannsynligheten for å komme ut av huset på første tur er {(suksess/antallForsok):.3f}.")

En annen måte å løse det på kan være å bruke ei løkke inne i løkka:

Vi starter med å skrive en algoritme for programmet vi skal lage:

1. Vi importerer random slik at vi kan simulere terningkast.

2. Vi oppretter en variabel for antall forsøk hvor vi får 5 eller 6 på en av terningene (suksess).

3. Vi lager ei for-løkke der vi "kaster terningene" mange ganger.

4. Vi bruker en if-setning for å sjekke om vi vinner og legger resultatet til riktig plassholder.

6. Vi finner og skriver ut sannsynligheten for seier ved å dele antall suksesser på antall forsøk.

Programmet kan se slik ut:

1import random
2suksess = 0     #variabel for vinnerkast
3antallForsok = 1000000
4
5for i in range(antallForsok):
6    terning1 = random.randint(1,6)     #kaster terning 1
7    terning2 = random.randint(1,6)     #kaster terning 2
8    if terning1 > 4 or terning2 > 4:
9        suksess = suksess + 1
10        
11print(f"Sannsynligheten for å vinne i dette spillet er {(suksess/antallForsok):.3f}.")

Her kan det også være lurt å lage algoritmer først. Vi viser her bare forslag til programmer.

a)

Vi har 52 kort i en kortstokk. 13 av dem er hjerter. Så trekker vi tilfeldig 5 kort i kortstokken. Dersom det første kortet vi trekker ikke er en hjerter, trenger vi ikke å fortsette å trekke, da vet vi at vi har en fiasko. Så fort vi ikke trekker en hjerter, kan vi stoppe trekningen.

I simuleringen der vi trekker fra en "bunke" på 52 "kort", lar vi de 13 første tallene symbolisere hjerter. Vi kunne også ha valgt at de 13 siste tallene skulle ha symbolisert hjerter, eller vi kunne ha plukket ut hvilke som helst 13 andre av de 52 tallene. Det er enkelt å teste på om resultatet av trekningen er en hjerter når det betyr at vi tester om det tallet vi har trukket, er mindre enn 13. Legg merke til at vi for hver hjerter vi trekker, må redusere antall hjerter i kortstokken.

1import random
2
3suksess = 0
4fiasko = 0
5
6for i in range(100000):
7    a = random.randint(1,52)     #trekker det første kortet
8    if a > 13:     #a er ikke hjerter
9        fiasko = fiasko + 1
10    else:     #a er hjerter
11        b = random.randint(1,51)     #trekker det neste kortet
12        if b > 12:     #b er ikke hjerter
13            fiasko = fiasko + 1
14        else:     #b er hjerter
15            c = random.randint(1,50)     #osv.
16            if c > 11:
17                fiasko = fiasko + 1
18            else:
19                d = random.randint(1,49)
20                if d > 10:
21                    fiasko = fiasko + 1
22                else:
23                    e = random.randint(1,48)
24                    if e > 9:
25                        fiasko = fiasko + 1
26                    else:
27                        suksess = suksess + 1
28
29print(f"Sannsynligheten for å få fem hjerter er {(suksess/(suksess + fiasko)):.5f}.")

b)

Her bruker vi at vi vet at det vil være lik sannsynlighet for hver av de fire fargene, og vi utvider programmet i den siste linja ved å gange med 4:

print(f"Sannsynligheten for å få fem like kort er {(4*suksess/(suksess + fiasko)):.5f}")

c)

I denne oppgaven må vi tenke litt annerledes, siden vi ikke kan slutte trekningen med en gang vi ikke får en dame. Vi må trekke alle fem kortene og sjekke om vi får tre damer på hånda.

1import random
2
3antallForsok = 100000
4suksess = 0
5
6for i in range(antallForsok):
7    damer = 0    #plassholder for antall damer på hånda
8    kort = 0     #plassholder for verdien på kortet vi trekker
9    for j in range(5):    
10        kort = random.randint(1,52-j)   #vi trekker fem kort
11        if kort < (5-damer):            #vi sjekker om kortet er en dame
12            damer = damer + 1           #hvis kortet er en dame, teller vi det opp
13                                
14    if damer == 3:                      #vi sjekker om det ble tre damer  
15        suksess = suksess + 1           #vi legger til suksessen
16    
17sannsyn = suksess/antallForsok         
18 
19print(f"Sannsynligheten for å få tre damer er {sannsyn:.5f}.")

Hvis du ønsker at programmet ditt skal vise at du trekker for eksempel kløver dame eller spar ess, kan du bruke "product()" fra modulen "itertools". Under ser du et eksempel som ikke bare har simulert rent matematisk, men faktisk lagd kortstokken først ved å lage ei liste som inneholder alle kortene i kortstokken:

1import itertools, random
2
3sort = ["hjerter", "kløver", "ruter", "spar"]
4verdi = ["A", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "J", "Q", "K"]
5
6antallForsok = 1000000
7antallUtdelt = 5
8treDamer = 0
9
10for i in range(antallForsøk):
11    antallDamer = 0
12    kortstokk = list(itertools.product(sort,verdi))
13    for i in range(antallUtdelt):
14        nr = random.randint(0,len(kortstokk) - 1)
15        if kortstokk[nr][1] == "Q":
16            antallDamer = antallDamer + 1
17        del kortstokk[nr]
18    if antallDamer == 3:
19        treDamer = treDamer + 1
20        
21print(f"Fem kort er delt ut {antallForsøk} ganger. {treDamer} ganger ble resultatet at nøyaktig tre damer ble delt ut.")
22print(f"Sannsynligheten for at det er nøyaktig tre damer, blir ut fra dette {(treDamer/antallForsok):.5f}.")