Funksjoner med digitale hjelpemidler

Vi fortsetter å bruke eksempelet vårt med en jogger som løper 16 000 m på 100 minutter. Vi har da at funksjonsuttrykket er

$$ S\left(t\right)=160t, D_S=\left[0,100\right]$$

Hvis vi vil tegne grafen til $$ S\left(t\right)$$ helt uten avgrensninger, skriver vi bare funksjonsnavnet og ‑uttrykket rett inn i algebrafeltet: S(t)=160t. Siden funksjonen vår har en avgrenset definisjonsmengde, bør vi bare tegne grafen for de aktuelle x-verdiene. Det gjør vi ved å bruke kommandoen "Funksjon(Funksjon, start, slutt)". I vårt tilfelle skriver vi S(t)=Funksjon(160t, 0, 100). Da får funksjonen vår det riktige navnet, og den blir tegnet for t-verdier mellom 0 og 100.

For å få et fint bilde av grafen din i GeoGebra er det noen viktige ting du må vite:

• Du må huske å sette navn på aksene. Dersom grafen beskriver en konkret situasjon, bør du ha både navnet på variabelen og hva variabelen representer. I vårt tilfelle blir det "t, minutter" og "S(t), meter". Du gjør dette ved å høyreklikke i grafikkfeltet og ved å velge "Grafikkfelt" og så "Navn på aksen:" på de to aksene.

• Du kan trekke inn funksjonsuttrykket fra algebrafeltet ved å bruke verktøyet "Flytt" $$ \boxed{\nwarrow } $$helt til venstre på verktøyraden, se nedenfor. Ta tak i uttrykket med musepekeren, og plasser det der du vil ha det.

• Du kan justere hva som vises i bildet ditt, ved å bruke verktøyet "Flytt grafikkfeltet", se nedenfor. Pass på at begge aksene vises med tall. Ha minst mulig luft rundt grafen.

• Du kan ta bilde av grafikkfeltet ved å velge "Fil" og "Eksporter bilde". Her kan du velge å legge bildet i utklippstavla og lime det inn i dokumentet der du jobber etterpå.

Vær oppmerksom på at det noen ganger kan være lurt å bytte ut variabelen med x. Hvis vi skal bruke grafikkfeltet til å finne skjæringspunkter, vil ikke GeoGebra alltid kunne finne skjæringspunkter mellom objekter som har ulike variabelnavn.

For å vise hvordan vi tegner grafer i Python, bruker vi en litt annerledes funksjon som eksempel. Vi tar for oss følgende funksjon:

$$ f\left(x\right)=x^3+4x^2-2, x\in \left[-4,2\right]$$

Grunnleggende graftegning

For å tegne grafer i Python må vi importere et ekstra bibliotek for graftegning som heter "matplotlib.pyplot". I dette biblioteket finner vi funksjonen "plot()", som tegner grafen. "plot()" tegner grafer litt på samme måte som vi gjør for hånd, ved å ta utgangspunkt i kjente punkter på grafen og så trekke ei linje mellom dem. Det vil si at vi må gi Python en verditabell å jobbe med.

En verditabell for funksjonen vår kan se slik ut:

Heldigvis slipper vi å regne ut denne verditabellen selv, det gjør Python for oss. Vi må først lage en array med de x-verdiene vi vil bruke, og så regne ut de tilsvarende y-verdiene. I Python lager vi lista over x-verdier ved hjelp av funksjonen "linspace()", som vi henter fra biblioteket "numpy".

Nå er vi klare for første forsøk på å tegne grafen i Python. Kopier koden under til din editor (eller til den tomme trinketen i boksen nederst på siden) og kjør den.

1import matplotlib.pyplot as plt
2import numpy as np
3
4def f(x):
5    return x**3 + 4*x**2 - 2
6
7X = np.linspace(-4,2,7)
8Y = f(X)
9
10plt.plot(X,Y)
11plt.show()

🤔 Tenk over: Vi legger merke til at grafen vi får skrevet ut, ikke er så veldig glatt og pen i utskriften vår. Hva kan vi gjøre for at den skal bli penere?

Tegning av punkter

Hvis vi ønsker å tegne noen punkter inn på grafen, har vi i matplotlib.pyplot en funksjon som heter "scatter()". Prøv å legge til kodelinja plt.scatter(X,Y) i programmet vårt. Hva skjer da?

Hvis vi ikke ønsker å tegne inn alle punktene vi har brukt for å tegne grafen, men bare noen bestemte punkter, må vil legge til noen linjer for å finne disse punktene. Hvis vi for eksempel vil tegne inn punktene $$ \left(-2,f\left(-2\right)\right)$$ og $$ \left(0,f\left(0\right)\right)$$, kan vi prøve følgende kodelinjer:

1X_1 = np.array([-2,0])
2Y_1 = f(X_1)
3
4plt.scatter(X_1,Y_1)

Navn på akser og funksjonen

Akkurat som når vi tegner grafer med GeoGebra, må vi ha navn på aksene våre og selve funksjonen. For å få navnet på selve funksjonen, setter vi inn koden label="navnet på funksjonen" i selve plot-kommandoen. For at denne skal vises, må vi også ha på kommandoen "legend()".

Hvis du vil ha et rutenett i plottet ditt, bruker du kommandoen "grid()".

Å få på plass akser med navn er litt mer komplisert. Her anbefaler vi at du tar vare på kodelinjene under og bruker dem hver gang du skal tegne en funksjon.

1plt.plot(X,Y,label = "f(x)")
2plt.legend()
3
4#lager x- og y-akse
5plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
6plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
7plt.gca().spines['bottom'].set_position("zero")
8plt.gca().spines['left'].set_position("zero")
9
10#setter navn på aksene på egnede steder
11plt.xlabel("$x$") # Tittel på x-aksen
12plt.ylabel("$f(x)$", rotation=0)
13plt.gca().yaxis.set_label_coords(0.3,1)
14plt.gca().xaxis.set_label_coords(1,0.23)
15
16plt.grid()

Fullstendig kode

Nå kan vi samle alt vi har gjort, og skrive et program som plotter funksjonen vår på en tilfredsstillende måte:

1import matplotlib.pyplot as plt
2import numpy as np
3
4def f(x):
5    return x**3+4*x**2-2
6
7X = np.linspace(-4,2,100)
8Y = f(X)
9
10X_1 = np.array([-2,0])
11Y_1 = f(X_1)
12
13
14plt.plot(X,Y,label = "$f(x)$")
15plt.scatter(X_1,Y_1)
16
17plt.legend()
18
19plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
20plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
21plt.gca().spines['bottom'].set_position("zero")
22plt.gca().spines['left'].set_position("zero")
23
24plt.xlabel("$x$") # Tittel på x-aksen
25plt.ylabel("$f(x)$", rotation=0)
26plt.gca().yaxis.set_label_coords(0.7,1)
27plt.gca().xaxis.set_label_coords(1,0.1)
28
29plt.grid()
30
31plt.show()

Nedenfor kan du teste koden. NB: Editoren vil ikke være tilgjengelig under skriftlig eksamen.