Tredjegradslikninger

CC BY-NC-SA

Bilde: Corbis, NTB scanpix

En tredjegradslikning er en likning som kan ordnes slik at vi får et tredjegradspolynom på venstre side av likhetstegnet og null på høyre side. En generell tredjegradslikning ser da slik ut

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

På siden Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomer faktoriserer vi tredjegradspolynomer når vi har et kjent nullpunkt.
Da er vi også i stand til å løse tredjegradslikninger med et kjent nullpunkt.

Siden $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$ hvor $x_1, x_2 \mathrm{og} x_{3 }$ er nullpunktene til $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, blir løsningen av likningen

$\begin{array}{rcl} a{x}^3+b{x}^2+cx+d& = & 0\\ & & \\ a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)& =& 0\\ & & \\ x& =& x_1, x=x_2 \mathrm{eller} x=x_3\end{array}$

Vi faktoriserte tidligere uttrykket $2x^3+7x^2+2x+3$, og fikk at

$2x^3-7x^2+2x+3=2\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)$

Tredjegradslikningen $2x^3+7x^2+2x+3=0$ kan da løses slik

$\begin{array}{rcl} 2x^3+7x^2+2x+3& = & 0\\ & & \\ 2\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)& =& 0\\ x& =& 3, x=-\frac{1}{2} \mathrm{eller} x=1\end{array}$

Vi tar med et eksempel som viser hele framgangsmåten.

Vi skal løse tredjegradslikningen $3x^3+2x^2=3x+2$.

Først ordner vi likningen slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl} 3x^3+2x^2& = & 3x+2\\ & & \\ 3x^3+2x^2-3x-2& =& 0\end{array}$

I mange oppgaver vil vi kunne finne ett av nullpunktene (en av løsningene) ut i fra opplysninger som er gitt i oppgaven. Her må vi ved hjelp av prøving og feiling finne den første løsningen av likningen.

Det er ofte lurt å prøve med $x=1$ først. Da setter vi $x=1$ inn i likningen.

Venstre side: $3·1^3+2·1^2-3·1-2=3+2-3-2=0$

Høyre side: $0$

Full klaff med en gang! Vi har dermed vist at $\left(x-1\right)$ er en faktor i uttrykket $3x^3+2x^2-3x-2$, og vi foretar polynomdivisjonen

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& 3x^3& +& 2& x^2& -& 3& x& -& 2& )& :& (& x& -& 1& )& =& 3x^2+5x+2 \\ -(& 3x^3& -& 3& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 5& x^2& -& 3& x& -& 2& & & & & & & & & \\ & -& (& 5& x^2& -& 5& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & 2& x& -& 2& & & & & & & & & \\ & & & & -& (& 2& x& -& 2& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Vi har altså

$3x^3+2x^2-3x-2=\left(x-1\right)\left(3x^2+5x+2\right)$

Vi finner så nullpunktene til $3x^2+5x+2$.

$\begin{array}{rcl}3x^2+5x+2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·3·2}}{2·3}=\frac{-5\pm 1}{6}\\ & & \\ x_1& =& -1 , x_2=-\frac{2}{3}\end{array}$

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl} 3x^3+2x^2& = & 3x+2\\ & & \\ 3x^3+2x^2-3x-2& =& 0\\ & & \\ 3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)& =& 0\end{array}$

og har altså løsningene

$x=1, x=-1 \mathrm{eller} x=-\frac{2}{3}$

Vi løser også likninger med CAS i GeoGebra ved å skrive likningen rett inn i CAS-feltet. Dersom vi vil ha eksakte løsninger, klikker vi så på knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2=3\mathrm{x}+2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\mathrm{x}=-1, \mathrm{x}=-\frac{2}{3}, \mathrm{x}=1\right\}\end{array}}$

For tilnærmede løsninger klikker vi på $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}\approx }$.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2=3\mathrm{x}+2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \left\{\mathrm{x}=-1, \mathrm{x}=-0.67, \mathrm{x}=1\right\}\end{array}}$