Tredjegradsfunksjoner

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi finner grafisk bunnpunktet $\left(0.6, 2.2\right)$ og toppunktet $\left(3.4, 7.8\right)$ med kommandoen $$ \mathrm{Ekstremalpunkt}\left(\text{f}\right)$$ i GeoGebra.

Vi finner grafisk, med kommandoen $$ \mathrm{Nullpunkt}\left(\text{f}\right)$$ i GeoGebra, at det er et nullpunkt i $\left(5, 0\right)$.

Skjæring med andreaksen i $\left(0, 3\right)$ finner vi ved å skrive $$ (0,\mathrm{f(0))}$$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Toppunktet er i $\left(0, 4\right)$.

Bunnpunktet er i $\left(2, 3.2\right)$.

Grafen skjærer førsteaksen i $\left(-2, 0\right)$.

Grafen skjærer andreaksen i $\left(0, 4\right)$.

Vi bruker samme metode som i oppgave a) over.

Hvis $$ a$$ er negativ, kommer grafen fra pluss uendelig og går mot minus uendelig. Hvis $$ a$$ er positiv, blir det omvendt: Grafen kommer fra minus uendelig og går mot pluss uendelig.

$$ d $$er konstantleddet og flytter hele grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

Her er det litt avhengig av $$ b$$, så her er det bare å teste ut!

Test ut!

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Ekstremalpunktene finner vi i toppunktet $$ A\left(1.8, 0.3\right)$$ og i bunnpunktet $$ B\left(7.6, -0.7\right)$$.

Den høyeste temperaturen har vi kl. 12. Vi leser av grafen at temperaturen da er nesten $$ 2°\mathrm{C}$$ .

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi har nullpunkt for $x=0$, $x=4$ og $x=10$.

$$ \begin{array}{rcl}d+h& = & 2,2\\ 2r\left(h\right)+h& =& 2,2\\ 2r\left(h\right)& =& 2,2-h\\ r\left(h\right)& =& \frac{2,2-h}{2}\end{array}$$

Volumet til en sylinder er gitt ved $$ V=\pi r^2·h$$. Vi bruker uttrykket fra a) og får $$ V\left(h\right)=\pi {\left(\frac{2,2-h}{2}\right)}^2·h=\frac{\pi }{4}{\left(2,2-h\right)}^2·h$$.

Dette er en tredjegradsfunksjon.

Hvis vi multipliserer ut parentesen, får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med $h$ gir et tredjegradsuttrykk.

Vi tegner grafen til $V\left(h\right)$ i GeoGebra ved å skrive

$$ \text{V}\left(\text{h}\right)=\mathrm{Funksjon}(\mathrm{pi}/4·(2.2-\text{h}{)}^2·\text{h}, 0, 2.2)$$

Vi leser av punktet $\left(1, V\left(1\right)\right)$ på grafen ved å skrive inn $$ \left(1, \text{V}\left(1\right)\right)$$. Se punktet A på figuren nedenfor.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm.

Vi tegner linja $$ y=1 $$ og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene B og C på figuren nedenfor.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a):

$r\left(h\right)=\frac{2,2-h}{2}$

I løsningen med CAS i GeoGebra nedenfor har vi forutsatt at funksjonen $$ V\left(h\right)$$ er skrevet inn fra før slik som i oppgave d).

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{r}\left(\text{h}\right):=\frac{2.2-\text{h}}{2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \text{r}\left(\text{h}\right):=-\frac{1}{2}\text{h}+\frac{11}{10}\end{array}}$$

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{V}\left(\text{h}\right)=1\\ \overline{)2}& & \\ & & \text{NLøs: {h}=0.39, \text{h=1.15}}\end{array}}$$

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{r}\left(\mathrm{HøyreSide}\left(\$2, 1\right)\right)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx 0.91\end{array}}$$

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{r}\left(\mathrm{HøyreSide}\left(\$2, 2\right)\right)\\ \overline{)4}& & \\ & & \approx 0.53\end{array}}$$

I kommandoen "HøyreSide" betyr "$2" linje 2, og tallet 1 betyr det første elementet, det vil si det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få regnet ut $$ \text{r}(0.39)$$, og vi kan gjøre tilsvarende i linje 4. Da kan svaret riktignok bli litt unøyaktig.

Radius i sylindrene er 0,91 dm eller 0,53 dm.