Oppgavene nedenfor skal løses med bruk av hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, der det er mulig.
3.3.20
a) Tegn grafen til funksjonen gitt ved , og finn grafisk eventuelle
toppunkter
bunnpunkter
skjæringspunkter med koordinataksene
Vis fasit
Vi finner grafisk bunnpunktet og toppunktet med kommandoen i GeoGebra.
Vi finner grafisk, med kommandoen Nullpunktf i GeoGebra, at det er et nullpunkt i 5,0.
Skjæring med andreaksen i 0,3 finner vi ved å skrive (0,f(0)).
b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved gx=0,20x3-0,60x2+4, og finn grafisk eventuelle
toppunkter
bunnpunkter
skjæringspunkter med koordinataksene
Vis fasit
Toppunktet er i 0,4.
Bunnpunktet er i 2,3.2.
Grafen skjærer førsteaksen i -2,0.
Grafen skjærer andreaksen i 0,4.
Vi bruker samme metode som i oppgave a) over.
3.3.21
En tredjegradsfunksjon kan skrives på formen fx=ax3+bx2+cx+d der a,b,cogder konstanter.
Lag en funksjon i GeoGebra der du har glidere for hver av konstantene.
a) Forklar med egne ord hva som skjer dersom du lar a variere mellom negative og positive tall.
Vis fasit
Hvis a er negativ, kommer grafen fra pluss uendelig og går mot minus uendelig. Hvis a er positiv, blir det omvendt: Grafen kommer fra minus uendelig og går mot pluss uendelig.
b) Forklar med egne ord hva som skjer når d varierer.
Vis fasit
der konstantleddet og flytter hele grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.
c) Hva skjer med grafen hvis a er negativ og du lar b variere i intervallet -5,5? Hva skjer hvis a er positiv?
Vis fasit
Her er det litt avhengig av b, så her er det bare å teste ut!
d) Hva skjer hvis du lar c variere mellom -5og5? Har størrelsen og fortegnet på b noe å si for hvordan grafen endrer seg når du endrer c?
Vis fasit
Test ut!
3.3.22
Grafen viser temperaturen fra midnatt fram til kl. 12 et døgn i mars.
a) Finn ekstremalpunktene til grafen.
Vis fasit
Ekstremalpunktene finner vi i toppunktet A1.8,0.3 og i bunnpunktet B7.6,-0.7.
b) Når har vi den høyeste temperaturen, og hvor høy er temperaturen da?
Vis fasit
Den høyeste temperaturen har vi kl. 12. Vi leser av grafen at temperaturen da er nesten 2°C .
c) Finn når grafen har nullpunkt.
Vis fasit
Vi har nullpunkt for x=0, x=4 og x=10.
3.3.23
Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er 2,2 dm.
a) Kall høyden i sylinderen h, og vis at et uttrykk for radius r uttrykt ved h er rh=2,2-h2.
Vis fasit
d+h=2,22rh+h=2,22rh=2,2-hrh=2,2-h2
b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som Vh=π4·2,2-h2·h.
Vis fasit
Volumet til en sylinder er gitt ved V=πr2·h. Vi bruker uttrykket fra a) og får Vh=π2,2-h22·h=π42,2-h2·h.
c) Hva slags funksjon er V?
Vis fasit
Dette er en tredjegradsfunksjon.
Hvis vi multipliserer ut parentesen, får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med h gir et tredjegradsuttrykk.
d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm.
Vis fasit
Vi tegner grafen til Vh i GeoGebra ved å skrive
V(h)=Funksjon(pi/4·(2.2-h)2·h,0,2.2)
Vi leser av punktet 1,V1 på grafen ved å skrive inn 1,V1. Se punktet A på figuren nedenfor.
Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm.
e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter.
Vis fasit
Vi tegner linja y=1 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene B og C på figuren nedenfor.
Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.
f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter.
Vis fasit
Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a):
rh=2,2-h2
I løsningen med CAS i GeoGebra nedenfor har vi forutsatt at funksjonen V(h) er skrevet inn fra før slik som i oppgave d).
rh:=2.2-h21→rh:=-12h+1110
Vh=12NLøs: {h=0.39,h=1.15}
rHøyreSide$2,13≈0.91
rHøyreSide$2,24≈0.53
I kommandoen "HøyreSide" betyr "$2" linje 2, og tallet 1 betyr det første elementet, det vil si det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få regnet ut r(0.39), og vi kan gjøre tilsvarende i linje 4. Da kan svaret riktignok bli litt unøyaktig.