Hopp til innhold
Oppgave

Tredjegradsfunksjoner

Oppgavene nedenfor skal løses med bruk av hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, der det er mulig.

3.3.20

a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved fx=-0,5x3+3x2-3x+3, og finn grafisk eventuelle

  • toppunkter
  • bunnpunkter
  • skjæringspunkter med koordinataksene
Vis fasit

Vi finner grafisk bunnpunktet 0.6, 2.2 og toppunktet 3.4, 7.8 med kommandoen Ekstremalpunktf i GeoGebra.

Vi finner grafisk, med kommandoen Nullpunktf i GeoGebra, at det er et nullpunkt i 5, 0.

Skjæring med andreaksen i 0, 3 finner vi ved å skrive (0,f(0)).

b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved gx=0,20x3-0,60x2+4, og finn grafisk eventuelle

  • toppunkter
  • bunnpunkter
  • skjæringspunkter med koordinataksene
Vis fasit

Toppunktet er i 0, 4.

Bunnpunktet er i 2, 3.2.

Grafen skjærer førsteaksen i -2, 0.

Grafen skjærer andreaksen i 0, 4.

Vi bruker samme metode som i oppgave a) over.

3.3.21

En tredjegradsfunksjon kan skrives på formen fx=ax3+bx2+cx+d der  a, b, c og d er konstanter.

Lag en funksjon i GeoGebra der du har glidere for hver av konstantene.

a) Forklar med egne ord hva som skjer dersom du lar a variere mellom negative og positive tall.

Vis fasit

Hvis a er negativ, kommer grafen fra pluss uendelig og går mot minus uendelig. Hvis a er positiv, blir det omvendt: Grafen kommer fra minus uendelig og går mot pluss uendelig.

b) Forklar med egne ord hva som skjer når d varierer.

Vis fasit

d er konstantleddet og flytter hele grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

c) Hva skjer med grafen hvis a er negativ og du lar b variere i intervallet -5,  5? Hva skjer hvis a er positiv?

Vis fasit

Her er det litt avhengig av b, så her er det bare å teste ut!

d) Hva skjer hvis du lar c variere mellom -5 og 5? Har størrelsen og fortegnet på b noe å si for hvordan grafen endrer seg når du endrer c?

Vis fasit

Test ut!

3.3.22

Grafen viser temperaturen fra midnatt fram til kl. 12 et døgn i mars.

a) Finn ekstremalpunktene til grafen.

Vis fasit

Ekstremalpunktene finner vi i toppunktet A1.8, 0.3 og i bunnpunktet B7.6, -0.7.

b) Når har vi den høyeste temperaturen, og hvor høy er temperaturen da?

Vis fasit

Den høyeste temperaturen har vi kl. 12. Vi leser av grafen at temperaturen da er nesten 2°C .

c) Finn når grafen har nullpunkt.

Vis fasit

Vi har nullpunkt for x=0, x=4 og x=10.

3.3.23

Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er 2,2 dm.

a) Kall høyden i sylinderen h, og vis at et uttrykk for radius r uttrykt ved h er rh=2,2-h2.

Vis fasit

d+h = 2,22rh+h=2,22rh=2,2-hrh=2,2-h2

b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som Vh=π4·2,2-h2·h.

Vis fasit

Volumet til en sylinder er gitt ved V=πr2·h. Vi bruker uttrykket fra a) og får Vh=π2,2-h22·h=π42,2-h2·h.

c) Hva slags funksjon er V?

Vis fasit

Dette er en tredjegradsfunksjon.

Hvis vi multipliserer ut parentesen, får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med h gir et tredjegradsuttrykk.

d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm.

Vis fasit

Vi tegner grafen til Vh i GeoGebra ved å skrive

V(h)=Funksjon(pi/4·(2.2-h)2·h, 0, 2.2)

Vi leser av punktet 1, V1 på grafen ved å skrive inn 1, V1. Se punktet A på figuren nedenfor.

Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm.

e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter.

Vis fasit

Vi tegner linja  y=1  og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene B og C på figuren nedenfor.

Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter.

Vis fasit

Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a):

rh=2,2-h2

I løsningen med CAS i GeoGebra nedenfor har vi forutsatt at funksjonen V(h) er skrevet inn fra før slik som i oppgave d).

rh:=2.2-h21 rh:=-12h+1110

Vh=12NLøs: {h=0.39, h=1.15}

rHøyreSide$2, 13 0.91

rHøyreSide$2, 24 0.53

I kommandoen "HøyreSide" betyr "$2" linje 2, og tallet 1 betyr det første elementet, det vil si det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få regnet ut r(0.39), og vi kan gjøre tilsvarende i linje 4. Da kan svaret riktignok bli litt unøyaktig.

Radius i sylindrene er 0,91 dm eller 0,53 dm.