Figurer og mønster kan vi ofte lage matematiske modeller av.
Figurene ovenfor er bygd opp av 9, 12 og 15 små kvadrater. Tenk deg at vi fortsetter å lage figurer etter samme mønster.
Antall små kvadrater i hver figur danner en serie med tall, en tallfølge, som begynner med tallene 9, 12 og 15 og fortsetter etter samme mønster i det uendelige 9, 12, 15, ... La være antall små kvadrater i figur nummer slik at og
Prøv å svare på følgende spørsmål før du ser på løsningen.
Hva gjør vi for å komme fra en figur til den neste? Hva er mønsteret i det vi gjør?
Hvor mange små kvadrater vil det være i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil si og .
Kan du finne en modell, en formel, for antall kvadrater i figur nummer ? En formel for .
Hvor mange kvadrater er det etter din modell i figur nummer 998?
Løsning
Vis løsning
Vi legger til tre små kvadrater for å komme fra én figur til neste.
Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrater, Figur 5 av 21 kvadrater og Figur 6 av 24 kvadrater. Det vil si at og .
Jeg ser at antall kvadrater alltid er lik 3 multiplisert med et tall som er 2 høyere enn «figurnummeret»., ,
Vi får da modellen
Antall kvadrater i figur nummer 998 er da .
Trekanter
En likesidet har areal lik . Midtpunktene på sidene i er hjørnene i en ny likesidet trekant med areal lik . Midtpunktene på sidene i er hjørnene i en ny likesidet trekant med areal lik . Etter samme mønster lager vi trekanter med areal , , og så videre. Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor.
Oppgave
Hva blir arealet til trekant ? Hva blir arealet til trekant ? Hva blir arealet til trekant ?
Kan du finne en modell, en formel, for arealet når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster?
Bruk modellen, og sett opp et uttrykk for arealet ? Hva blir arealet ?
Studer figuren og finn ut hva som blir summen av arealene , og så videre. Omkretsen av er lik 3. Trekanten som har areal lik har omkrets .
Forklar at .
Kan du finne en modell, en formel, for omkretsen til trekant nr. når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster?
Bruk modellen og finn .
Løsning
Vis løsning
er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til . har derfor arealet .er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til . har derfor arealet .
Tilsvarende er , og slik fortsetter det.
Det betyr at vi får modellen for arealet .
Vi bruker modellen og får at .
utgjør tredjeparten av arealet til firkanten , utgjør tredjeparten av arealet til firkanten , og slik fortsetter det.
Det må bety at summen av alle de fargelagte trekantene må være lik tredjedelen av arealet til den store trekanten. Vi kan skrive det slik .
Sidene i er halvparten av sidene i . Omkretsen til må da være halvparten av omkretsen til . Det vil si at . Sidene i er halvparten av sidene i . Omkretsen til må da være halvparten av omkretsen til . Det vil si at .