Funksjoner, likninger og ulikheter av andre grad

Med $k=4$ får vi $f\left(x\right)=x^2-3x-4$. Vi løser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x-4 & =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}\\ & =& \frac{3\pm 5}{2}\\ x & =& \frac{3+5}{2} \mathrm{eller} x=\frac{3-5}{2}\\ x & =& 4 \mathrm{eller} x=-1\end{array}$

Hvis $x=1$ skal være et nullpunkt, betyr det at $f\left(1\right)=0$. Vi setter inn 1 for $x$ i funksjonen og setter den lik 0.

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right) & =& 0\\ 1^2-3·1-k & =& 0\\ 1-3-k & =& 0\\ -2 & =& k\end{array}$

En andregradsfunksjon endrer fortegn bare i nullpunktene. (Tenk over hvorfor det er sånn!) Derfor må vi finne ut hva $k$ må være for at nullpunktene skal være 0 og 3.

Vi vet at et andregradsuttrykk kan faktoriseres ved hjelp av nullpunktene ved å skrive $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene til den tilsvarende andregradsfunksjonen. Vi prøver dette her.

$\begin{array}{rcl}\left(x-0\right)\left(x-3\right) & =& x^2-3x-k\\ x\left(x-3\right) & =& x^2-3x-k\\ x^2-3x & =& x^2-3x-k\\ 0 & =& -k\\ k & =& 0\end{array}$

Alternativ 1 – direkte faktorisering

Vi lager et fullstendig kvadrat og følger måten som er brukt på siden Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater der vi bestemmer hva leddet $b$ i kvadratsetningen skal være.

$x^2-3x+b^2-b^2-k$

Vi får, dersom vi sammenlikner med andre kvadratsetning ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$, at

$\begin{array}{rcl}-2b & =& -3\\ b & =& \frac{3}{2}\end{array}$

De tre første leddene i $x^2-3x+b^2-b^2-k$ kan da skrives som

$x^2-3x+b^2=x^2-3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2$

og er et fullstendig kvadrat. Det betyr at summen av de to siste leddene må være lik null for at hele uttrykket skal være et fullstendig kvadrat.

$\begin{array}{rcl}-b^2-k & =& 0\\ -{\left(\frac{3}{2}\right)}^2 & =& k\\ -\frac{9}{4} & =& k\\ & & \end{array}$

Alternativ 2 – andregradsformelen

I et fullstendig kvadrat har vi bare én løsning på likningen $f\left(x\right)=0$. Det betyr at rottegnet i andregradsformelen må være null.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{b^2-4ac} & =& 0\\ \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-k\right)} & =& 0\\ \sqrt{9+4k} & =& 0\\ 9+4k & =& 0\\ 4k & =& -9\\ k & =& -\frac{9}{4}\end{array}$

I overgangen mellom den tredje og den fjerde linja har vi brukt at dersom kvadratroten av noe skal være null, må dette "noe" være null.

Dersom funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3), må vi ha at

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 3\\ 1^2-3·1-k & =& 3\\ 1-3-k & =& 3\\ -k & =& 3+3-1\\ -k & =& 5\\ k & =& -5\end{array}$

Vi tegner punktene inn i GeoGebra og bruker verktøyet "Linje mellom to punkt".

Vi får at $f\left(x\right)=1,5x$.

(Verktøyet for rett linje lager egentlig ikke en funksjon i GeoGebra, men det bryr vi oss ikke om nå.)

Oppgaven kan løses på flere måter. Én måte er å bruke regresjon, men da kreves det ett punkt til i tillegg til $A$ og $B$.

Hvorfor tror du regresjonsverktøyet krever ett punkt til?

Vi trenger ett punkt til og velger for eksempel punktet $C(-2, 3)$.

Vi bruker kommandoen $$ \mathrm{g(x)\; =\; RegPoly(\{A,\; B,\; C\},\; 2)}$$.

Med valget vårt av punkt $C$, får vi funksjonen $g\left(x\right)=0,25x^2+2$.

Spiller rekkefølgen på punktene i kommandoen noen rolle?

Her slipper vi å regne siden vi vet at løsningen er punktene $A$ og $B$. Løsningen blir altså

$x=2$ eller $x=4$

Med vårt valg av punkt $C$ ser vi at $f$ ligger over $g$ i området mellom punktene $A$ og $B$. Løsningen på ulikheten blir derfor

$x\in \langle 2, 4\rangle$

Her må vi finne en andregradsfunksjon der grafen krummer den andre veien enn i forrige oppgave. Da må det tredje punktet vi trenger (vi kaller det $D$) for å få gjort regresjonen, ligge et helt annet sted enn punkt $C$, men hvor?

Vi får dette til ved å plassere et tredje punkt $D$ slik at det kommer til høyre for $A$ og $B$ (og motsatt dersom du plasserte punkt $C$ til høyre for $A$ og $B$ til å begynne med). Regresjonskommandoen her blir $$ \mathrm{g\_2(x)\; =\; RegPoly(\{A,\; B,\; D\},\; 2)}$$.

Med vårt valg av punkt $D$ får vi funksjonen

$g_2\left(x\right)=-0,75x^2+6x-6$

Ei rett linje er entydig bestemt av to punkt på linja. Altså finnes det bare én mulig funksjon her. For andregradsfunksjonen finnes det uendelig mange løsninger siden vi kan velge det tredje punktet (nesten) hvor som helst.

I tillegg til at $C$ ikke kan sammenfalle med $A$ eller $B$, kan heller ikke $C$ ha samme $x$-koordinat som $A$ eller $B$. (Hva er grunnen?)

For hver grad høyere funksjonen blir, trenger vi et ekstra punkt til regresjonskommandoen. Vi trenger ett mer punkt enn graden på polynomfunksjonen, og når disse punktene kan velges fritt, får vi uendelig mange tredje- og fjerdegradsfunksjoner som går gjennom de to punktene $A$ og $B$.