Analyse av rasjonale funksjoner

Funksjonen $$ f$$ har nullpunkt når telleren er null, det vil si når  $$ x=1$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}}-\frac{2}{x}}}\\ & =& \frac{1-0}{1-0}\\ & =& 1\end{array}$$

Det betyr at  $$ y=1$$  er horisontal asymptote.

Vertikal asymptote:

Nevneren er null når  $$ x-2=0$$, det vil si når  $$ x=2$$, og telleren er $$ 2-1=1$$.

Det betyr at  $$ x=2$$  er en vertikal asymptote.

Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{x-1}{x-2}\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{\left(x-2\right)·1-\left(x-1\right)·1}{{\left(x-2\right)}^2}\\ & =& \frac{-1}{{\left(x-2\right)}^2}\end{array}$$

Nevneren $$ {\left(x-2\right)}^2$$ er alltid positiv, og telleren er alltid negativ.

Det betyr grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter. Et fortegnsskjema for den deriverte ser derfor slik ut:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{-1}{{\left(x-2\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{{\left(-1\right)}^{\text{'}}·{\left(x-2\right)}^2-\left(-1\right){\left({\left(x-2\right)}^2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-2\right)}^4}\\ & =& \frac{2\left(x-2\right)}{{\left(x-2\right)}^4}\\ & =& \frac{2}{{\left(x-2\right)}^3}\end{array}$$

Nevneren $$ {\left(x-2\right)}^3$$ er positiv for  $$ x>2$$  og negativ for  $$ x<2$$. Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnsskjema for $$ f^{\text{'}\text{'}}$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Grafen vender den hule sida ned når  $$ x<2$$ (eller når  $$ x\in \langle \leftarrow , 2\rangle $$).

Grafen vender den hule sida opp når  $$ x>2$$ (eller når  $$ $ x\in ⟨2, \to ⟩$$$).

Et eventuelt vendepunkt måtte vært for  $$ x=2$$, men for denne verdien er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt lett å lage en skisse av grafen uten hjelpemidler. Grafen i figuren er laget i GeoGebra, men det svært viktig at du også kan lage en skisse av grafen uten hjelpemidler.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

I linje 2 finner vi asymptotene. I linje 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi eventuelle stasjonære punkter, men svaret viser at det er ingen. Vi sjekker fortegnet til den deriverte i linje 5 og får ingen løsning, som betyr at grafen synker i hele definisjonsområdet til funksjonen. I linje 6 finner vi eventuelle mulige vendepunkter, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekker vi fortegnet til den dobbeltderiverte. Vi får at grafen vender den hule sida ned når  $$ x<2$$  og den hule sida opp når  $$ x>2$$, som vi fant i oppgave c).

Funksjonen $$ f$$ har nullpunkt når telleren er null, det vil si når  $$ x=0$$.

Vi observerer at telleren er av høyere grad enn nevneren. Da har ikke grafen til funksjonen horisontal asymptote, men en asymptotefunksjon. Vi finner asymptotefunksjonen ved å gjøre en polynomdivisjon.

$$ \begin{array}{rcl}& & $ \begin{array}{ccccccccccc}& & x^2& :& (& x& ⎯& 1& )& = & x+1+\frac{1}{x-1} \\ ⎯& (& x^2& ⎯& x& )& & & & & \\ & & & & x& & & & & & \\ & & -& (& x& ⎯& 1& )& & & \\ & & & & & & 1& & & & \end{array}$\end{array}$$

Restleddet er en brøk som blir veldig liten når $$ x$$ blir stor. Det betyr at grafen til $$ f$$ har asymptotefunksjonen  $$ y=x+1$$.

Vertikal asymptote:

Nevneren er null når  $$ x-1=0$$, det vil si når  $$ x=1$$, og telleren er 1.

Det betyr at  $$ x=1$$  er en vertikal asymptote.

Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{x^2}{x-1}\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{2x·\left(x-1\right)-x^2·1}{{\left(x-1\right)}^2}\\ & =& \frac{2x^2-2x-x^2}{{\left(x-1\right)}^2}\\ & =& \frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}\end{array}$$

Nevneren $$ {\left(x-1\right)}^2$$ er alltid positiv for de $$ x$$-verdiene funksjonen er definert for. Vi sjekker telleren.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x\left(x-2\right) & =& 0\\ x-2 & =& 0 \vee x=0\\ x & =& 2 \vee x=0\end{array}$$

Det holder med å sjekke fortegnet til telleren for å finne ut om den deriverte er positiv eller negativ i de aktuelle intervallene.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-1\right) & =& {\left(-1\right)}^2-2·\left(-1\right)=1+2=3>0\\ f^{\text{'}}\left(0,5\right) & =& {\left(0,5\right)}^2-2·\left(0,5\right)=0,25-1=-0,75<0\\ f^{\text{'}}\left(1,5\right) & =& {\left(1,5\right)}^2-2·\left(1,5\right)=2,25-3=-0,75<0\\ f^{\text{'}}\left(3\right) & =& 3^2-2·3=9-6=3>0\end{array}$$

Et fortegnsskjema for den deriverte ser derfor slik ut:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Grafen til $$ f$$ er stigende når  $$ x<0$$  og når  $$ x>2$$. Grafen til $$ f$$ er synkende når  $$ 0<x<1$$  og når  $$ 1<x<2$$.

$$ f\left(2\right)=\frac{2^2}{\left(2-1\right)}=4$$

Grafen har et toppunkt i $$ \left(0, 0\right)$$ og et bunnpunkt i $$ \left(2, 4\right)$$.

Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}\left(=\frac{x^2-2x}{x^2-2x+1}\right)\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{{\left(x-1\right)}^2·\left(2x-2\right)-\left(x^2-2x\right)\left(2x-2\right)}{{\left(x-1\right)}^4}\\ & =& \frac{{\left(x-1\right)}^{\cancel{2}}·\left(2x-2\right)-2\left(x^2-2x\right)\cancel{\left(x-1\right)}}{{\left(x-1\right)}^{\cancel{4}3}}\\ & =& \frac{2x^2-2x-2x+2-2x^2+4x}{{\left(x-1\right)}^3}\\ & =& \frac{2}{{\left(x-1\right)}^3}\end{array}$$

Nevneren $$ {\left(x-1\right)}^3$$ er positiv for  $$ x>1$$  og negativ for  $$ x<1$$. Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnsskjema for $$ f^{\text{'}\text{'}}$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Grafen vender den hule sida ned når  $$ x<1$$ (eller når  $$ x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$$).

Grafen vender den hule sida opp når  $$ x>1$$ (eller når  $$ $ x\in ⟨1, \to ⟩$$$).

Et eventuelt vendepunkt måtte vært for  $$ x=1$$, men for denne verdien er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter.

Nå kjenner vi noe til grafens forløp, og vi kan lage en omtrentlig skisse av grafen uten hjelpemidler. (Grafen i figuren er laget i GeoGebra.)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

I linje 2 finner vi asymptotene. I linje 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi de to stasjonære punktene. Vi sjekker fortegnet til den deriverte i linje 5. I linje 6 finner vi eventuelle mulige vendepunkter, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekker vi fortegnet til den dobbeltderiverte. Vi får at grafen vender den hule sida ned når  $$ x<1$$  og den hule sida opp når  $$ x>1$$, som vi fant i oppgave c).