Oppgaver og aktiviteter

Vektorregning – blandede oppgaver

På denne sida har vi samlet oppgaver om vektorregning.

Her finner du løsningsforslag til hver oppgave i bokser nederst på sida i stedet for under hver enkelt oppgave. Husk at det kan være lurt å løse alle oppgavene både for hånd og i GeoGebra så langt det er mulig. Til noen av oppgavene finner du begge løsningsmetodene her.

4.1

Vi har gitt punktene $A (2, 2)$ og $B (6, 2)$ . $A$ og $B$ er hjørner i $∆ A B D$ . $∠ B = 90 °$ , og $A D$ har lengde 5.

a) Bestem koordinatene til $\vec{A B}$ .

b) Finn koordinatene til $D$ .

c) Sammen med punktet $C$ danner $A$ , $B$ og $D$ et parallellogram. Bestem koordinatene til $C$ .

d) Punktet $E$ ligger på $A D$ . $∠ A E B = 90 °$ . Bestem koordinatene til $E$ .

4.2

Vi har gitt punktene $A (- 2, - 2)$ , $B (8, 2)$ , $C (0, 4)$ , $D (4, - 6)$ og $E (5, 6)$ .

a) Undersøk om $\vec{C D} ⊥ \vec{A B}$ .

b) Undersøk om $\vec{C E} ∥ \vec{A B}$ .

c) Punktene $A$ , $B$ og $C$ danner en trekant. Finn koordinatene til skjæringspunktet for medianene til trekanten.

Hva var en median, igjen?

En median er ei linje som går gjennom et hjørne i trekanten og midtpunktet på den motstående sida. Skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2:1.

4.3

Vi har gitt to vektorer, $\vec{u} og \vec{v}$ . $∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 75 °, |\vec{u}| = 4 og |\vec{v}| = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

Du får også oppgitt at $\cos (75 °) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

a) Bestem $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

b) Tegn $\vec{u} og \vec{v}$ på papir.

c) Tegn $\vec{u} + \vec{v} og \vec{u} - \vec{v}$ på papir.

d) Bestem $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ .

4.4

Vi har gitt punktene $A (2, 2)$ , $B (10, 4)$ og $D (1, 6)$ .

a) Bestem koordinatene og lengden til $\vec{A B}$ .

b) $A$ , $B$ og $D$ er hjørner i parallellogrammet $A B C D$ . Bestem koordinatene til $C$ .

c) Undersøk om parallellogrammet er et rektangel.

4.5

Gitt to vektorer $\vec{u} og \vec{v}$ . Du får oppgitt at

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 9, |\vec{u}| = 3 og |\vec{v}| = 3 \sqrt{2}$ .

a) Vis at $(\vec{v} - \vec{u}) \cdot \vec{u} = 0$ .

b) Bestem $|\vec{v} - \vec{u}|$ .

c) Bruk resultatene fra a) og b), og tegn trekanten utspent av $\vec{u} og \vec{v}$ .

4.6

Vi har gitt punktene $A (- 2, 1)$ , $B (2, 1)$ og $C (- 1, 3)$ .

a) Finn vinkelen mellom $\vec{C A} og \vec{C B}$ .

b) Punktene $A$ , $B$ og $C$ danner en trekant. Finn vinkel $A$ i trekanten.

4.7

Tegn en vilkårlig firkant $A B C D$ i grafikkfeltet i GeoGebra (eller en annen dynamisk programvare). Finn midtpunktet på hver side. Kall midtpunktet på $A B$ for $E$ , på $B C$ for $F$ , på $C D$ for $G$ og på $A D$ for $H$ .

a) Tegn firkant $E F G H$ , og mål sidelengdene.

b) Dra i hjørnene på firkant $A B C D$ . Hvilke observasjoner gjør du om sidelengdene i $E F G H$ ?

Vi setter nå $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b} og \vec{C D} = \vec{c}$ .

c) Vis at $\vec{E F} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ .

d) Vis at $\vec{H D} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

e) Uttrykk $\vec{H G}$ ved $\vec{a}, \vec{b} og \vec{c}$ . Hva kan du si om vektorene $\vec{E F} og \vec{H G} ?$

f) Vis at $\vec{E H} = \vec{F G}$ .

g) Hva har du vist generelt om en firkant som er definert av midtpunktene på sidekantene til en vilkårlig firkant?

4.8

Vi har gitt vektorene $\vec{F} og \vec{s}, |\vec{F}| = 180 og |\vec{s}| = 150$ .

a) Finn skalarproduktet mellom $\vec{F} og \vec{s}$ når vinkelen mellom dem er 30^o.

La $\vec{F}$ være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen. Siden en kraft måles i N (Newton), sier vi at $|\vec{F}| = 150 N$ . Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er 120 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, $\vec{s}$ , er 120 m, $|\vec{s}| = 120 m$ . Magnus drar med en kraft som har retning 30^o i forhold til forflytningen.

Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom $\vec{F}$ og $\vec{s}$ .

b) Hva blir måleenheten for arbeid?

c) Hvor stort arbeid utfører Magnus?

d) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Tegn inn vektorene.

4.9

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [2, 3] og \vec{b} = [- 3, 5]$ .

a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.

b) Finn lengden til vektorene.

c) Finn vinkelen mellom vektorene.

4.10

Vi har gitt punktet $A (1, 3)$ og vektorene $\vec{a} = [2, 3] og \vec{b} = [- 3, 5]$ .

a) Finn en parameterframstilling til ei linje $l$ som går gjennom $A$ og har $\vec{a}$ som retningsvektor.

b) Finn en parameterframstilling for ei linje $m$ som går gjennom $A$ og som er parallell med $\vec{b}$ .

c) Finn en parameterframstilling for ei linje $n$ som går gjennom $A$ og står vinkelrett på $\vec{b}$ .

d) Finn en parameterframstilling for ei linje $o$ som er parallell med $\vec{a}$ med avstand lik $\sqrt{13}$ fra $l$ .

e) Finn skjæringspunktene mellom $n$ og $o$ .

Løsninger

4.1 for hånd

a) $\vec{A B} = [6 - 2, 2 - 2] = [4, 0]$

b) Vi ser av a) at $A B$ er parallell med $x$ -aksen. Siden $∠ B = 90 °$ , vet vi dermed at $B D$ er parallell med $y$ -aksen. Da har vi at $x$ -koordinaten til $D$ er lik $x$ -koordinaten til $B$ , altså 6. Da setter vi $D = (6, y)$ :

$\begin{array}{rcl} |\vec{A D}| & = & 5 \\ |[6 - 2, y - 2]| & = & 5 \\ \sqrt{4^{2} + {(y - 2)}^{2}} & = & 5 \\ 4^{2} + {(y - 2)}^{2} & = & 5^{2} \\ 16 + y^{2} - 4 y + 4 & = & 25 \\ y^{2} - 4 y - 5 & = & 0 \\ (y + 1) (y - 5) & = & 0 \\ y_{1} & = & - 1 \\ y_{2} & = & 5 \end{array}$

Siden det er vanlig å la punktnummerering i geometriske figurer gå mot klokka, velger vi $y = 5$ og får at $D$ har koordinatene $(6, 5)$ .

c) Vi vet at $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

$\begin{array}{l} \vec{A D} = [6 - 2, 5 - 2] = [4, 3] \\ \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{A D} = [6, 2] + [4, 3] = [10, 5] \end{array}$

Punktet $C$ har altså koordinatene $(10, 5)$ .

d) Siden $E$ ligger på $A D$ , kan vi sette

$\vec{A E} = k \cdot \vec{A D} = k [4, 3] = [4 k, 3 k]$

$\vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = [2, 2] + [4 k, 3 k] = [2 + 4 k, 2 + 3 k]$

Vi får da at $E = (2 + 4 k, 2 + 3 k)$ .

$\vec{B E} = [4 k + 2 - 6, 3 k + 2 - 2] = [4 k - 4, 3 k]$

$∠ A E B = 90 ° \Leftrightarrow \vec{A D} \cdot \vec{B E} = 0$

$\begin{array}{rcl} \vec{A D} \cdot \vec{B E} & = & 0 \\ [4, 3] \cdot [4 k - 4, 3 k] & = & 0 \\ 16 k - 16 + 9 k & = & 0 \\ 25 k & = & 16 \\ k & = & \frac{16}{25} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} E & = & (2 + 4 k, 2 + 3 k) \\ = & (2 + \frac{4 \cdot 16}{25}, 2 + \frac{3 \cdot 16}{25}) \\ = & (\frac{114}{25}, \frac{98}{25}) \end{array}$

4.1 med CAS i GeoGebra

a) Vi starter med å definere punktene og finne vektoren:

CAS-utregning i GeoGebra. På den første linja står det A kolon er lik parentes 2 komma 2 parentes slutt. På den andre linja står det B kolon er lik parentes 6 komma 2 parentes slutt. På den tredje linja står det A B kolon er lik Vektor parentes A komma B parentes slutt. Svaret er gitt som A B kolon er lik parentes 4 over 0 parentes slutt. Skjermutklipp.

b) Vi setter inn punkt $D$ og løser den samme likningen som over:

CAS-utregning i GeoGebra: På linje 4 står det D kolon er lik parentes 6 komma y parentes slutt. På linje 5 står det A D kolon er lik vektor parentes A komma D parentes slutt. Svaret er gitt som A D kolon er lik parentes 4 over y minus 2 parentes slutt. På linje 6 står det l kolon er lik Lengde parentes A D parentes slutt. Svaret er gitt som l kolon er lik kvadratrota av parentes y minus 2 parentes slutt opphøyd i 2 pluss 16. På linje 7 står det l er lik 5. Svaret med Løs er sløyfeparentes y er lik minus 1 komma y er lik 5 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Vi velger $y = 5$ og får $D = (6, 5)$ .

c) Vi bruker de samme opplysningene som i "for hånd"-løsningen og setter inn i CAS (vi husker at $\vec{A D} = \vec{B C}$ ):

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 8 står det D med lav indeks 1 kolon er lik parentes 6 komma 5 parentes slutt. Svaret er det samme. På linje 9 står det B C kolon er lik Vektor parentes A komma D med lav indeks 1 parentes slutt. Svaret er gitt som B C kolon er lik parentes 4 over 3 parentes slutt. På linje 10 står det O C kolon er lik Vektor parentes B parentes slutt pluss B C. Svaret er gitt som O C kolon er lik parentes 10 over 5 parentes slutt. Skjermutklipp.

Punktet er altså $(10, 5)$ .

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 11 står det A E kolon er lik k multiplisert med B C. Svaret er gitt som A E kolon er lik parentes 4 k over 3 k parentes slutt. På linje 12 står det B E kolon er lik Vektor parentes B komma A parentes slutt pluss A E. Svaret er gitt som B E kolon er lik parentes 4 k minus 4 over 3 k parentes slutt. På linje 13 står det B C multiplisert med B E er lik 0. Svaret med Løs er k er lik 16 delt på 25. På linje 14 står det O E kolon er lik Vektor parentes A parentes slutt pluss A E. Svaret er gitt som O E kolon er lik parentes 4 k pluss 2 over 3 k pluss 2 parentes slutt. På linje 15 står det O E kolon er lik parentes 4 k pluss 2 komma 3 k pluss 2 parentes slutt. Under dette er det skrevet inn ByttUt komma k er lik 16 delt på 25 kolon C kolon er lik parentes 114 delt på 25 komma 98 delt på 25 parentes slutt. Skjermutklipp.

4.2 for hånd

a)
$\begin{array}{l} \vec{A B} = [8 - (- 2), 2 - (- 2)] = [10, 4] \\ \vec{C D} = [4 - 0, - 6 - 4] = [4, - 10] \\ \vec{C D} ⊥ \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{C D} \cdot \vec{A B} = 0 \\ \vec{C D} \cdot \vec{A B} = [10, 4] \cdot [4, - 10] = 40 - 40 = 0 \end{array}$

Siden skalarproduktet er null, er de to vektorene ortogonale.

b)
$\begin{array}{l} \vec{A B} = [10, 4] \\ \vec{C E} = [5 - 0, 6 - 4] = [5, 2] \\ \vec{C E} ∥ \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{C E} = k \cdot \vec{A B} \\ [5, 2] = \frac{1}{2} \cdot [10, 4] \end{array}$

c)
Vi kaller midtpunktet på $B C$ for $M$ og finner koordinatene til $\vec{A M}$ :

$\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C} = [10, 4] + \frac{1}{2} [- 8, 2] = [6, 5]$

Vi kaller skjæringspunktet mellom medianene for $S$ og får:

$\vec{O S} = \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{A M} = [- 2, - 2] + \frac{2}{3} [6, 5] = [2, \frac{4}{3}]$

Punktet $S$ har altså koordinatene $(2, \frac{4}{3})$ .

4.2 med CAS i GeoGebra

a)
Vi definerer punktene, finner vektorene og viser at skalarproduktet mellom dem er 0:

CAS-utregning i GeoGebra. Linje 1 til 5 definerer punktene A til E. Linje 6 og 7 definerer vektorene A B lik 10 over 4 og C D lik 4 over minus 10. Linje 8 viser at A B multiplisert med C D er lik 0. Skjermutklipp.

b) Vi definerer $\vec{C E}$ og viser at vi kan finne et svar på ligningen $\vec{A B} = t \cdot \vec{C E}$ .

c) Vi kaller midtpunktet på $B C$ for $M$ og skjæringspunktet $S$ . Vi finner $\vec{A M}$ og bruker den til å finne $\vec{O S}$ .

CAS-utregning i GeoGebra. Linje 9 definerer C E-vektor som 5 over 2. Linje 10 løser likningen C E er lik t multiplisert med A B og får svaret t er lik en halv. Linje 11 definerer A M-vektor som vektor fra A til midtpunktet på B C. Linje 12 definerer A S-vektor som vektor fra A pluss to tredjedeler multiplisert med A M. Svaret gis som A S kolon er lik parentes 2 over 4 tredjedeler parentes slutt. Skjermutklipp.

4.3

a)
$\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v}) \\ = & 4 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ = & 6 - 2 \\ = & 4 \end{array}$

Bilde fra GeoGebra. To vektorer. u-vektor er vannrett, og v-vektor starter i startpunktet til u-vektor. Vinkelen mellom de to er 75 grader. Skjermutklipp.

Bilde fra GeoGebra. Fem vektorer. u-vektor er vannrett. v-vektor går skrått til høyre oppover fra endepunktet til u-vektor. Minus v-vektor går skrått til venstre nedover fra endepunktet til u-vektor. u pluss v-vektor går fra startpunktet til u-vektor til endepunktet til v-vektor. u minus v-vektor går fra startpunktet til u-vektor til endepunktet til v-vektor. Skjermutklipp.

d)
$\begin{array}{rcl} (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) & = & {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2} \\ = & 4^{2} - {(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2} \\ = & 16 - 6 - 2 \sqrt{12} - 2 \\ = & 8 - 4 \sqrt{3} \end{array}$

4.4

a)
$\begin{array}{l} \vec{A B} = [10 - 2, 4 - 2] = [8, 2] \\ |\vec{A B}| = \sqrt{8^{2} + 2^{2}} = \sqrt{68} = 2 \sqrt{17} \end{array}$

b)
$\vec{O C} = \vec{O D} + \vec{D C} = \vec{O D} + \vec{A B} = [1, 6] + [8, 2] = [9, 8]$

Punkt $C$ har koordinatene $(9, 8)$ .

c)
Dersom parallellogrammet er et rektangel, må alle vinklene være rette. Siden to og to vinkler i et parallellogram er like og vinkelsummen er 360 grader, vet vi at dersom en vinkel er rett, må alle vinklene være rette.

Vi undersøker om $∠ A$ er rett:

$\begin{array}{l} \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Leftrightarrow \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0 \\ \vec{A B} \cdot \vec{A D} = [8, 2] \cdot [1 - 2, 6 - 2] = - 8 + 8 = 0 \end{array}$

Parallellogrammet er et rektangel.

4.5

a)
$\begin{array}{rcl} (\vec{v} - \vec{u}) \cdot \vec{u} & = & \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{u} \\ = & 9 - 3 \cdot 3 \\ = & 0 \end{array}$

b)
$\begin{array}{rcl} |\vec{v} - \vec{u}| & = & \sqrt{{(\vec{v} - \vec{u})}^{2}} \\ = & \sqrt{{(\vec{v})}^{2} - 2 \cdot \vec{v} \cdot \vec{u} + {(\vec{u})}^{2}} \\ = & \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 9 + 3^{2}} \\ = & 3 \end{array}$

c)
Vi vet fra a) at trekanten er rettvinklet og fra b) at trekanten er likebeint:

Bilde fra CAS i GeoGebra. En rettvinklet trekant er tegnet av tre vektorer, u-vektor, v-vektor og u minus v-vektor. Skjermutklipp.

4.6

CAS-utregning i GeoGebra. Linjene 1 til 3 definerer punktene A parentes minus 2 komma 1 parentes slutt, B parentes 2 komma 1 parentes slutt og C parentes minus 1 komma 3 parentes slutt. Linje 4 definerer C A-vektor som minus 1 over minus 2. Linje 5 definerer C B-vektor som 3 over minus 2. Linje 6 regner ut vinkelen mellom de to i grader. Svaret er gitt som 82,87. Linje 7 definerer A B-vektor som 4 over 0. Linje 8 regner ut vinkelen mellom A B-vektor og minus C A-vektor. Svaret er gitt som 63,43. Skjermutklipp.

a) Vi starter med å definere punktene og finne vektorene. Så finner vi vinkelen i grader ved å bruke vinkelkommandoen og dele på gradetegnet. Vinkelen mellom de to vektorene er 82,87 grader.

b) Vi definerer $A B$ -vektor og finner vinkelen mellom $A B$ -vektor og $A C$ -vektor. Legg merke til at $\vec{A C} = - \vec{C A}$ . Vinkelen er 63,43 grader.

4.7

Denne oppgaven er utforskende, så her kommer bare noen antydninger og tips til løsning.

b) Du vil kunne observere at de motstående sidene i EFGH vil være like lange uansett hvordan du drar i hjørnene til ABCD.

e) De to vektorene er like.

f) Her kan du følge mønsteret fra c) til e).

g) Vi har vist det vi observerte i b), at en slik firkant alltid vil være et parallellogram.

4.8

$\begin{array}{rcl} \vec{F} \cdot \vec{s} & = & |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos ∠ (\vec{F}, \vec{s}) \\ = & 150 \cdot 120 \cdot \cos 30 ° \\ = & 18 000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ = & 9 000 \cdot \sqrt{3} \end{array}$

b) Siden arbeid er et produkt av de to vektorene, blir måleenheten også produktet av måleenhetene til vektorene, altså Nm. Denne måleenheten kalles ofte for Joule, forkortet til J.

c) Kombinasjonen av det vi fant i a) og b) gir oss at arbeidet Magnus utfører, er $9 000 \cdot \sqrt{3} Nm \approx 15 590 Nm$ .

d) Tegningen kan se slik ut:

Bilde av en kjelke. Fra fronten på kjelken går en vektor vannrett til venstre som er 120 m lang. 30 grader til denne står en vektor som er 150 N. Illustrasjon. — Kjelke med vektorer for kraft og strekning

4.9

Vi bruker GeoGebra (regn det gjerne ut for hånd også):

CAS-utregning i GeoGebra. I linje 1 og 2 definerer vi vektorene a og b som 2 over 3 og minus 3 over 5. I linje 3 finner vi skalarproduktet som er lik 9. I linje 4 og 5 finner vi lengdene som er rota av 13 og rota av 34. I linje 6 finner vi vinkelen, som er 64,65 grader. Skjermutklipp. — Løsning 4.9 i CAS

4.10

a) $l : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 3 t \end{cases}$

b) $m : \{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$

c) Vi har at $[5, 3] ⊥ [- 3, 5]$ . Da får vi $\begin{array}{l} n : \{\begin{cases} x = 1 + 5 t \\ y = 3 + 3 t \end{cases} \end{array}$

d) Vi må finne et punkt på $o$ som ligger med riktig avstand fra $l$ . Dette kan vi gjøre ved å finne en vektor fra $A$ med lengde $\sqrt{13}$ som står vinkelrett på $\vec{a}$ . Disse to kravene gir oss følgende likningssystem:

$\begin{array}{rcl} [x - 1, y - 3] \cdot [2, 3] & = & 0 \\ \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} & = & \sqrt{13} \end{array}$

Dette gir følgende løsning:

CAS-utregning i GeoGebra. I linje 1 står det Vektor parentes x minus 1 komma y minus 3 parentes slutt multiplisert med vektor parentes 2 komma 3 parentes slutt er lik 0. Dette er omgjort til 2 x pluss 3 y minus 11 er lik 0. I linje 2 står det rota av parentes x minus 1 parentes slutt opphøyd i 2 pluss parentes y minus 3 parentes slutt opphøyd i 2 er lik rota av 13. I linje 3 er likningssystemet de to første linjene gir oss, løst. Det er gitt to mulige løsninger, enten x lik minus 2 og y lik 5 eller x lik 4 og y lik 1. Skjermutklipp.

Vi ser at vi får to muligheter for $o$ (tenk gjennom hvorfor):

$\begin{array}{l} o_{1} : \{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \end{cases} \\ o_{2} : \{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 1 + 3 t \end{cases} \end{array}$

e) Vi får to ulike løsninger alt etter hvilken versjon av $o$ vi velger:

CAS-utregning i Geogebra. Linje 1 definerer linje n som linja gjennom punktet parentes 1 komma 3 parentes slutt med retningsvektor parentes minus 3 komma 5 parentes slutt. Linje 2 definerer linje o med lav indeks 1 som linja gjennom punktet parentes minus 2 komma 5 parentes slutt med retningsvektor parentes 2 komma 3 parentes slutt. Linje 3 definerer linje o med lav indeks 2 som linja gjennom punktet parentes 4 komma 1 parentes slutt med retningsvektor parentes 2 komma 3 parentes slutt. I linje 4 finner vi skjæring mellom n og o med lav indeks 1 som er punktet 40 komma 68. I linje 5 finner vi skjæring mellom n og o med lav indeks 2 som er minus 38 komma minus 62. Skjermutklipp.

Vi får altså at de to mulige skjæringspunktene er $(40, 68) og (- 38, - 32) .$

CC BY-SASkrevet av Tove Annette Holter, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 24.02.2022

Vektorregning – blandede oppgaver

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

Løsninger

Regler for bruk