På denne sida har vi samlet oppgaver om vektorregning.
Her finner du løsningsforslag til hver oppgave i bokser nederst på sida i stedet for under hver enkelt oppgave. Husk at det kan være lurt å løse alle oppgavene både for hånd og i GeoGebra så langt det er mulig. Til noen av oppgavene finner du begge løsningsmetodene her.
4.1
Vi har gitt punktene og B(6,2). A og B er hjørner i ∆ABD. ∠B=90°, og AD har lengde 5.
a) Bestem koordinatene til AB→.
b) Finn koordinatene til D.
c) Sammen med punktet C danner A, B og D et parallellogram. Bestem koordinatene til C.
d) Punktet E ligger på AD. ∠AEB=90°. Bestem koordinatene til E.
4.2
Vi har gitt punktene A(-2,-2), B(8,2), C(0,4), D(4,-6) og E(5,6).
a) Undersøk om CD→⊥AB→.
b) Undersøk om CE→∥AB→.
c) Punktene A, B og C danner en trekant. Finn koordinatene til skjæringspunktet for medianene til trekanten.
Hva var en median, igjen?
En median er ei linje som går gjennom et hjørne i trekanten og midtpunktet på den motstående sida. Skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2:1.
4.3
Vi har gitt to vektorer, u→ogv→. ∠u→,v→=75°,u→=4ogv→=6+2.
Du får også oppgitt at cos75°=6-24.
a) Bestem u→·v→.
b) Tegn u→ogv→ på papir.
c) Tegn u→+v→ogu→-v→ på papir.
d) Bestem u→+v→·u→-v→.
4.4
Vi har gitt punktene A(2,2), B(10,4) og D(1,6).
a) Bestem koordinatene og lengden til AB→.
b) A, B og D er hjørner i parallellogrammet ABCD. Bestem koordinatene til C.
c) Undersøk om parallellogrammet er et rektangel.
4.5
Gitt to vektorer u→ogv→. Du får oppgitt at
u→·v→=9,u→=3ogv→=32.
a) Vis at v→-u→·u→=0.
b) Bestem v→-u→.
c) Bruk resultatene fra a) og b), og tegn trekanten utspent av u→ogv→.
4.6
Vi har gitt punktene A(-2,1), B(2,1) og C(-1,3).
a) Finn vinkelen mellom CA→ogCB→.
b) Punktene A, B og C danner en trekant. Finn vinkel A i trekanten.
4.7
Tegn en vilkårlig firkant ABCD i grafikkfeltet i GeoGebra (eller en annen dynamisk programvare). Finn midtpunktet på hver side. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H.
a) Tegn firkant EFGH, og mål sidelengdene.
b) Dra i hjørnene på firkant ABCD. Hvilke observasjoner gjør du om sidelengdene i EFGH?
Vi setter nå AB→=a→,BC→=b→ogCD→=c→.
c) Vis at EF→=12a→+b→.
d) Vis at HD→=12a→+b→+c→.
e) Uttrykk HG→ ved a→,b→ogc→. Hva kan du si om vektorene EF→ogHG→?
f) Vis at EH→=FG→.
g) Hva har du vist generelt om en firkant som er definert av midtpunktene på sidekantene til en vilkårlig firkant?
4.8
Vi har gitt vektorene F→ogs→,F→=180ogs→=150.
a) Finn skalarproduktet mellom F→ogs→ når vinkelen mellom dem er 30o.
La F→ være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen. Siden en kraft måles i N (Newton), sier vi at F→=150N. Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er 120 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, s→, er 120 m, s→=120m. Magnus drar med en kraft som har retning 30o i forhold til forflytningen.
Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F→ og s→.
b) Hva blir måleenheten for arbeid?
c) Hvor stort arbeid utfører Magnus?
d) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Tegn inn vektorene.
4.9
Vi har gitt vektorene a→=2,3ogb→=-3,5.
a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.
b) Finn lengden til vektorene.
c) Finn vinkelen mellom vektorene.
4.10
Vi har gitt punktet A(1,3) og vektorene a→=2,3ogb→=-3,5.
a) Finn en parameterframstilling til ei linje l som går gjennom A og har a→ som retningsvektor.
b) Finn en parameterframstilling for ei linje m som går gjennom A og som er parallell med b→.
c) Finn en parameterframstilling for ei linje n som går gjennom A og står vinkelrett på b→.
d) Finn en parameterframstilling for ei linje o som er parallell med a→ med avstand lik 13 fra l.
e) Finn skjæringspunktene mellom n og o.
Løsninger
4.1 for hånd
a) AB→=6-2,2-2=4,0
b) Vi ser av a) at AB er parallell med x-aksen. Siden ∠B=90°, vet vi dermed at BD er parallell med y-aksen. Da har vi at x-koordinaten til D er lik x-koordinaten til B, altså 6. Da setter vi D=6,y:
Siden det er vanlig å la punktnummerering i geometriske figurer gå mot klokka, velger vi y=5 og får at D har koordinatene (6,5).
c) Vi vet at BC→=AD→.
AD→=6-2,5-2=4,3OC→=OB→+AD→=6,2+4,3=10,5
Punktet C har altså koordinatene (10,5).
d) Siden E ligger på AD, kan vi sette
AE→=k·AD→=k4,3=4k,3k
OE→=OA→+AE→=2,2+4k,3k=2+4k,2+3k
Vi får da at E=2+4k,2+3k.
BE→=4k+2-6,3k+2-2=4k-4,3k
∠AEB=90°⇔AD→·BE→=0
AD→·BE→=04,3·4k-4,3k=016k-16+9k=025k=16k=1625
E=2+4k,2+3k=2+4·1625,2+3·1625=11425,9825
4.1 med CAS i GeoGebra
a) Vi starter med å definere punktene og finne vektoren:
b) Vi setter inn punkt D og løser den samme likningen som over:
Vi velger y=5 og får D=(6,5).
c) Vi bruker de samme opplysningene som i "for hånd"-løsningen og setter inn i CAS (vi husker at AD→=BC→):
Punktet er altså (10,5).
d)
4.2 for hånd
a) AB→=8--2,2--2=10,4CD→=4-0,-6-4=4,-10CD→⊥AB→⇔CD→·AB→=0CD→·AB→=10,4·4,-10=40-40=0
Siden skalarproduktet er null, er de to vektorene ortogonale.
b) AB→=10,4CE→=5-0,6-4=5,2CE→∥AB→⇔CE→=k·AB→5,2=12·10,4
c) Vi kaller midtpunktet på BC for M og finner koordinatene til AM→:
AM→=AB→+12BC→=10,4+12-8,2=6,5
Vi kaller skjæringspunktet mellom medianene for S og får:
OS→=OA→+23AM→=-2,-2+236,5=2,43
Punktet S har altså koordinatene 2,43.
4.2 med CAS i GeoGebra
a) Vi definerer punktene, finner vektorene og viser at skalarproduktet mellom dem er 0:
b) Vi definerer CE→ og viser at vi kan finne et svar på ligningen AB→=t·CE→.
c) Vi kaller midtpunktet på BC for M og skjæringspunktet S. Vi finner AM→ og bruker den til å finne OS→.
4.3
a) u→·v→=u→·v→·cosu→,v→=4·6+2·6-24=6-2=4
b)
c)
d) u→+v→·u→-v→=u→2-v→2=42-6+22=16-6-212-2=8-43
4.4
a) AB→=10-2,4-2=8,2AB→=82+22=68=217
b) OC→=OD→+DC→=OD→+AB→=1,6+8,2=9,8
Punkt C har koordinatene (9,8).
c) Dersom parallellogrammet er et rektangel, må alle vinklene være rette. Siden to og to vinkler i et parallellogram er like og vinkelsummen er 360 grader, vet vi at dersom en vinkel er rett, må alle vinklene være rette.
Vi undersøker om ∠A er rett:
AB→⊥AD→⇔AB→·AD→=0AB→·AD→=8,2·1-2,6-2=-8+8=0
Parallellogrammet er et rektangel.
4.5
a) v→-u→·u→=v→·u→-u→·u→=9-3·3=0
b) v→-u→=v→-u→2=v→2-2·v→·u→+u→2=322-2·9+32=3
c) Vi vet fra a) at trekanten er rettvinklet og fra b) at trekanten er likebeint:
4.6
a) Vi starter med å definere punktene og finne vektorene. Så finner vi vinkelen i grader ved å bruke vinkelkommandoen og dele på gradetegnet. Vinkelen mellom de to vektorene er 82,87 grader.
b) Vi definerer AB-vektor og finner vinkelen mellom AB-vektor og AC-vektor. Legg merke til at AC→=-CA→. Vinkelen er 63,43 grader.
4.7
Denne oppgaven er utforskende, så her kommer bare noen antydninger og tips til løsning.
b) Du vil kunne observere at de motstående sidene i EFGH vil være like lange uansett hvordan du drar i hjørnene til ABCD.
e) De to vektorene er like.
f) Her kan du følge mønsteret fra c) til e).
g) Vi har vist det vi observerte i b), at en slik firkant alltid vil være et parallellogram.
b) Siden arbeid er et produkt av de to vektorene, blir måleenheten også produktet av måleenhetene til vektorene, altså Nm. Denne måleenheten kalles ofte for Joule, forkortet til J.
c) Kombinasjonen av det vi fant i a) og b) gir oss at arbeidet Magnus utfører, er 9000·3Nm≈15590Nm.
d) Tegningen kan se slik ut:
4.9
Vi bruker GeoGebra (regn det gjerne ut for hånd også):
4.10
a) l:x=1+2ty=3+3t
b) m:x=1-3ty=3+5t
c) Vi har at 5,3⊥-3,5. Da får vi n:x=1+5ty=3+3t
d) Vi må finne et punkt på o som ligger med riktig avstand fra l. Dette kan vi gjøre ved å finne en vektor fra A med lengde 13 som står vinkelrett på a→. Disse to kravene gir oss følgende likningssystem:
x-1,y-3·2,3=0x-12+y-32=13
Dette gir følgende løsning:
Vi ser at vi får to muligheter for o (tenk gjennom hvorfor):
o1:x=-2+2ty=5+3to2:x=4+2ty=1+3t
e) Vi får to ulike løsninger alt etter hvilken versjon av o vi velger:
Vi får altså at de to mulige skjæringspunktene er 40,68og-38,-32.