Programmering av nullpunkt med halveringsmetoden

På siden "Nullpunkt med manuell bruk av halveringsmetoden" starter vi med [1.5, 2] som intervall for nullpunktet. Så gjetter vi på gjennomsnittsverdien 1,75. I stedet for å se om grafen er over eller under $$ x$$-aksen for denne verdien, kan vi se om grafen ligger på den samme siden av $x$-aksen for denne verdien som for ett av endepunktene for intervallet, for eksempel det venstre, som er 1,5.

Prøv å forklare hvordan du kan bruke fortegnet til produktet $$ f(1,5)·f(1,75)$$ til å finne ut om 1,75 er større eller mindre enn nullpunktet – uten å vite om funksjonen er stigende eller synkende rundt nullpunktet.

Prøv å overbevise deg selv om at produktet av $$ f(1,5)·f(1,75)$$ er større enn null dersom 1,75 er mindre enn nullpunktet og mindre enn null dersom 1,75 er større enn nullpunktet.

Forsøk på forklaring:

• Det nedre endepunktet 1.5 for intervallet er alltid mindre enn det virkelige nullpunktet.
• Dersom 1,75 er mindre enn nullpunktet, ligger 1,75 på den samme siden av nullpunktet som 1.5. Da vil grafen til funksjonen for disse to verdiene ligge på den samme siden av $x$-aksen. Enten ligger grafen over $x$-aksen for begge disse verdiene eller under for begge.
• Funksjonsverdiene $$ f(1,5)$$ og $$ f(1,75)$$ vil derfor ha det samme fortegnet. Multipliserer vi disse to funksjonsverdiene, vil produktet alltid bli positivt, men bare dersom de to verdiene 1,5 og 1,75 ligger på den samme siden av nullpunktet.
• Dersom 1,75 er større enn det verkelege nullpunktet (slik det er i tilfellet vårt), vil produktet av disse to funksjonsverdiene alltid bli negativt siden den ene vil være negativ og den andre positiv fordi de ligger på hver sin side av nullpunktet.

Nedenfor har vi sjekket dette med CAS i GeoGebra:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\end{array}}$ $ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(1.5\right)\text{·f}\left(1.75\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx -0.14\end{array}}$$$$

Algoritme til den egendefinerte funksjonen $$ \text{f}$$:

• Ta imot en x-verdi.
• Regn ut følgende: $$ \frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1$$
• Returner svaret.

Algoritme til programmet

• Skriv til skjermen "Dette programmet finner en tilnærmet verdi for et nullpunkt som ligger i et bestemt intervall.".
• Skriv til skjermen "Skriv inn nedre grense i dette intervallet:".
• Ta imot verdien fra brukeren, og lagre den i variabelen $$ \text{under}$$.
• Skriv til skjermen "Skriv inn øvre grense i dette intervallet:".
• Ta imot verdien fra brukeren, og lagre den i variabelen $$ \text{over}$$.
• Gjør 6 ganger:
  • Regn ut midtpunktet av intervallet, og sett resultatet lik variabelen $$ \text{x\_verdi}$$.
  • Dersom produktet av $$ \text{f}\left(\mathrm{under}\right)$$ og $$ \text{f(x\_verdi)}$$er mindre enn null, sett $$ \text{x\_verdi}$$ som ny øvre grense for intervallet.
  • Dersom dette ikke er oppfylt, sett $$ \text{x\_verdi}$$ som ny nedre grense av intervallet.
• Skriv til skjermen "Nullpunktet er x = $$ \text{<x\_verdi>}$$.".

Dersom programmet gir feil svar, kan det lønne seg å legge inn i koden en utskrift av variabelen $$ \text{x\_verdi}$$ for hver gang det skal halveres.

Med 4 desimaler gir GeoGebra svaret 1,5855 for nullpunktet lengst til høyre, mens programmet over gir 1,5859. Begge gir med dette svaret 1,586 om vi runder av til tre desimaler. Det er nøyaktig nok – for dette nullpunktet. Det er ikke sikkert det er nok for alle nullpunkter i alle funksjoner.

Programmet vårt løser allerede en likning, nemlig likningen

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 0\\ \frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1& =& 0\end{array}$$

Dersom vi i en likning flytter alt over på venstre side, står det "= 0" på høyre side. Da kan vi se på det som står på venstre side som funksjonen vår $$ f\left(x\right)$$ som vi skal finne nullpunktene til.

Test om programmet kan løse en "vanlig" likning som du kan finne på en av sidene om likninger.

For å bestemme når det er gjort nok halveringer, kan du stoppe når forskjellen mellom nedre og øvre grense for intervallet blir mindre enn for eksempel 0,0001.