Hopp til innhold

Oppgave

Omdreiningstall, utveksling og hastighet

Gjennom disse oppgavene er målet at du skal forstå sammenhengen mellom omdreiningstall, utveksling og hastighet bedre.

LK20

Oppgave 1

I en bil med dieselmotor er omdreiningstallet etter girkassen 1 400 omdr/min når omdreiningstallet til motoren er 2 000 omdr/min når bilen står i andre gir.

a) Hvor stor er utvekslingen i girkassen?

b) Hva blir omdreiningstallet etter girkassen dersom omdreiningstallet til motoren er 2 500 omdr/min?

c) Vi skal lage denne utvekslingen med to tannhjul. Hvor mange tenner må det drevne tannhjulet ha dersom det drivende tannhjulet har 14 tenner?

d) Foreslå to andre kombinasjoner av tannhjul som gir den samme utvekslingen.

Løsning oppgave a)

I formelen  i=n1n2  må vi ha at  n1=2 000 omdr/min  siden den drivende sida har dette omdreiningstallet. Utvekslingen er

i=n1n2=2 000 omdr/min1 400 omdr/min=2014=107=1,43

(Her har vi vist hvordan vi kan forkorte ned brøken 2 0001 400, men vi må ikke gjøre det for å regne ut svaret.)

Løsning oppgave b)

Vi kan snu på formelen i oppgave a) slik vi har gjort på sida Utveksling og omdreiningstall (ndla.no). Da får vi

n2=n1i=2 500 omdr/min1,43=1 748,3 omdr/min

For å få mest mulig eksakt svar bruker vi heller brøken 107 fra oppgave a) som mål på utvekslingen. Da får vi

n2  = n1i= 2 500 omdr/min107= 2 500 omdr/min:107= 2 500 omdr/min·710= 1 750 omdr/min

Her fikk vi et pent og eksakt tall som svar. Legg også merke til at vi fikk bruk for regelen om at når vi deler på en brøk, er det det samme som å multiplisere med den omsnudde brøken.

Løsning oppgave c)

Vi kan uttrykke utvekslingen som

i=Z2Z1

Det betyr at vi har at  Z1=14. Hvis vi snur på formelen, får vi

i = Z2Z1i·Z1 = Z2Z1·Z1Z2 = i·Z1=107·14=10·147=20

Dersom vi regner ut svaret med å bruke at  i=1,43, får vi et desimaltall til svar, og et tannhjul må ha et helt antall tenner.

Går det an å finne svaret direkte ved å se på opplysningene øverst i oppgaven?

Tips til oppgave d)

Vi har at utvekslingen  i=107, og vi har fra den forrige oppgaven at kombinasjonen av tannhjul med 20 og 14 tenner gir den samme utvekslingen. Vi så i oppgave a) at brøken 2014 kunne forkortes ned til 107. Det må bety at en utveksling med tannhjul med 10 og 7 tenner også gir den samme utvekslingen.

Telleren i brøkene vil stå for antall tenner på det drevne tannhjulet, og nevneren vil stå for antall tenner i det drivende tannhjulet. Hvis du kan finne andre brøker som har den samme verdien, har du samtidig nye kombinasjoner av tannhjul som gir den samme utvekslingen.

Det må du finne selv!

Oppgave 2

Utveksling med to tannhjul, de går inn i hverandre. Det høyre tannhjulet har 28 tenner, det venstre har 14. Illustrasjon.

a) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?

b) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?

c) Hva får vi hvis vi multipliserer svaret i a) med svaret i b)? Hvorfor blir det alltid slik uansett antall tenner på tannhjulene?

d) Utfordring: Vis at det alltid blir slik dersom tannhjulet til venstre har a tenner mens tannhjulet til høyre har b tenner.

Løsning oppgave a)

a) Tannhjulet til venstre har 14 tenner, det til høyre har 28 tenner. I formelen  i=Z2Z1  får vi at Z1=14 siden dette tannhjulet er drivende. Utvekslingen blir

i=Z2Z1=2814=2

Løsning oppgave b)

b) Her blir det motsatt av i oppgave a). Da får vi at

i=1428=12

Løsning oppgave c)

Hvis vi multipliserer svarene i a) og b), får vi

2·12=2·12=1

Det vil alltid bli slik fordi vi regner ut svaret i b) ved å snu på brøken i forhold til utregningen i a).

Løsning oppgave d)

Vi får utvekslingen ab den ene veien og ba den andre veien. Dersom vi multipliserer disse brøkene, får vi

ab·ba=a·bb·a=abab=1

Oppgave 3

Utveksling med to tannhjul, de går inn i hverandre. Det høyre tannhjulet har 42 tenner, det venstre har 14. Illustrasjon.

a) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?

b) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?

Fasit oppgave a)

i=3

Fasit oppgave b)

i=13

Oppgave 4

Utveksling med to tannhjul, de går inn i hverandre. Begge tannhjulene har 14 tenner. Illustrasjon.

a) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?

b) Hvor stor er utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?

Fasit oppgave a)

i=1

Fasit oppgave b)

i=1

Oppgave 5

Utveksling med tre tannhjul. Det første tannhjulet har 14 tenner, det andre har 28, og det tredje har 42. Illustrasjon.

a) Hvor stor er den totale utvekslingen dersom tannhjulet til venstre på figuren er det drivende tannhjulet?

b) Hvor stor er den totale utvekslingen dersom tannhjulet til høyre på figuren er det drivende tannhjulet?

c) Lag en formel for den totale utvekslingen dersom det første tannhjulet (det drivende tannhjulet) har Z1 tenner, det andre har Z2 tenner, og det tredje tannhjulet har Z3 tenner. Hva betyr resultatet?

Løsning oppgave a)

Tannhjulene har 14, 28 og 42 tenner. Utvekslingen ia mellom det første og det andre tannhjulet blir

ia=2814=2

Utvekslingen ib=4228=64=32.

Den totale utvekslingen får vi ved å multiplisere disse to utvekslingene.

i=ia·ib=2·32=2·32=3

Løsning oppgave b)

Her kan vi bruke resultatet fra oppgave 2 c), som sier at hvis vi multipliserer utvekslingen fra den ene sida til den andre med utvekslingen når vi går motsatt vei, får vi alltid resultatet 1. Det betyr at

i=13

Løsning oppgave c)

Hvis vi sammenlikner med løsningen i oppgave a), får vi

ia=Z2Z1  og  ib=Z3Z2

Den totale utvekslingen blir

i=ia·ib=Z2Z1·Z3Z2=Z2·Z3Z1·Z2=Z3Z1

Antall tenner Z2 på tannhjulet i midten er ikke med i formelen. Formelen er uavhengig av størrelsen på tannhjulet i midten. Det betyr at vi får den samme totale utvekslingen i uansett størrelse på dette tannhjulet. Vi får også den samme totale utvekslingen om vi kobler det første tannhjulet direkte på det tredje og ikke har noe tannhjul i midten.

Hva er da poenget med å sette inn et tannhjul i midten?

Oppgave 6

Thomas ønsker å lage en utveksling som reduserer omdreiningstallet fra 3 000 til 2 000.

a) Hvor stor skal denne utvekslingen være?

b) Hvor mange tenner skal det drevne tannhjulet ha dersom det drivende tannhjulet har 24 tenner og utvekslingen er som i oppgave a)?

c) Forklar hvorfor det er mulig å lage denne utvekslingen på to måter dersom det ene tannhjulet har 24 tenner.

d) Forklar hvorfor det ikke er mulig å lage denne utvekslingen dersom det ene tannhjulet har 25 tenner.

Løsning oppgave a)

Utvekslingen er

i=n1n2=3 000 omdr/min2 000 omdr/min=32

Løsning oppgave b)

Vi har at  i=Z2Z1. Vi snur på formelen og får at antall tenner Z2 på det drevne tannhjulet blir

 i = Z2Z1i·Z1 = Z2Z1·Z1Z2 = i·Z1=32·24=3·242=36

Løsning oppgave c)

Tannhjulet med 24 tenner kan både være det drivende og det drevne tannhjulet. I oppgave b) er det det drivende tannhjulet. Dersom tannhjulet er det drevne tannhjulet, får vi at antall tenner Z1 på det drivende tannhjulet blir

i = Z2Z1i·Z1 = Z2Z1·Z1i·Z1i = Z2iZ1 = Z2i=2432=24:32=24·23=24·23=16

Tips til oppgave d)

Gjennomfør utregningene i oppgave b) og c), og forklar hva svarene betyr.

Oppgave 7

a) Hva er den teoretiske toppfarten på en sportsbil avhengig av?

b) Vi har disse dataene om sportsbilen:

  • Bilens maksimale motorturtall er 8 200 omdr/min.

  • Girkassens utveksling på det høyeste giret er 0,78.

  • Sportsbilen er bakhjulsdrevet, og bakakselens utveksling er 3,33.

  • Dekkdimensjonen er 205/60-13, som har en rulleomkrets på 176 cm.

Hva er den teoretiske toppfarten på bilen? Bruk gjerne formelen nedenfor.

v=n·O·3,6it·60

Løsning

v = n·O·3,6it·60= 8 200·1,76·3,60,78·60 km/h= 1 110 km/h

Du synes kanskje den teoretiske toppfarten var unødig høy på denne bilen? Det kan jo være kjekt med en lav utveksling for å få et behagelig lavt turtall og drivstofforbruk på en motorvei, men om bilen skal brukes på en bane, er det kanskje fornuftig å sette inn en høyere utveksling i girkassen og/eller bakakselen.

Hvorfor vil (mest sannsynlig) bilen ikke gå så fort uansett?

c) Bruk formelen og forklar hva som skjer med hastigheten til bilen og hvorfor når du

  • øker motorens omdreiningstall n

  • øker omkretsen O til drivhjulene

  • øker utvekslingen it

Oppgave 8

En bil med manuelt gir kjører i tredje gir, som har en utveksling på 1,28. Utvekslingen på bakakselen som drivhjulene sitter på, er 4,125, og rulleomkretsen på hjulene er 1 688 mm. Omdreiningstallet er 4 000 omdr/min.

a) Hvor fort kjører bilen?

b) Du girer opp til fjerde gir. I fjerde gir er utvekslingen 1. Hva blir da omdreiningstallet på motoren rett etter at giringen er gjort?

c) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom omdreiningstallet O til motoren og hastigheten v til bilen når bilen kjører i tredje gir og i fjerde gir. Bruk det samme koordinatsystemet.

d) Bruk den grafiske framstillingen til å finne ut hva motorens omdreiningstall er når bilen kjører i 50 km/h i tredje gir. Kontroller svaret ved å regne ut med formelen.

Løsning oppgave a)

v = n·O·3,6it·60= 4 000·1,688·3,61,28·4,125·60 km/h= 77 km/h

Farten til bilen er 77 km/h. Dette kan også regnes med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 står det parentes 4000 multiplisert med 1,688 multiplisert med 3,6 parentes slutt delt på parentes 1,28 multiplisert med 4,125 multiplisert med 60 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 76,727. Skjermutklipp.
Løsning oppgave b)

Rett etter giringen har bilen fortsatt den samme hastigheten. Da kan vi sette opp en likning som vi kan løse med CAS.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 2 er det skrevet 76,73 er lik parentes n multiplisert med 1,688 multiplisert med 3,6 parentes slutt delt på parentes 1 multiplisert med 4,125 multiplisert med 60 parentes slutt. Svaret med "NLøs" er n er lik 3125,111. Skjermutklipp.

Motorens omdreiningstall blir 3 125 omdr/min rett etter giring.

Tips til oppgave c)

De grafiske framstillingene lages i et koordinatsystem der omdreiningstallet n til motoren er på x-aksen, og der hastigheten v til bilen er på y-aksen. Tegn helst for hånd, eller bruk GeoGebra eller et regneark.

Lag en verditabell med minst 3 samhørende verdier av n og v, én verditabell for tredje gir og én verditabell for fjerde gir. Nedenfor har vi begynt å fylle ut verditabellen for tredje gir med tall vi vet fra oppgave a).

Verditabell for tredje gir:

Omdreiningstall, n
(omdr/min)

Hastighet, v
(km/h)

4 000

77

3 000

2 000

Fasit oppgave d)

2 686 omdr/min

Oppgave 9

Vis at når farten skal regnes om fra km/h til m/s, må vi dele med 3,6.

Tips til oppgaven

Bruk at

  • 1 m=0,001 km

  • 1 s=160 min=13 600 h

Løsning

Vi sier at farten er v ms. Så bruker vi informasjonen fra boksen "Tips til oppgaven".

v ms = v·0,001 km13 600 h= v·0,001:13 600kmh= v·0,001·3 6001 kmh= v·3,6 kmh

Vi kan også vise dette med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet v multiplisert med 0,001 km delt på parentes 1 delt på 3600 multiplisert med h parentes slutt. Svaret med tilnærming er 3,6 km multiplisert med v delt på h. Skjermutklipp.

Legg merke til at GeoGebra velger å sette "km" foran brøken i stedet for "v". Det er fordi GeoGebra ikke vet hva som er en størrelse, og hva som er en måleenhet av de tre "konstantene" i utregningen: v, km og h.

Svaret betyr altså at vi må multiplisere hastigheten v, som måles i m/s, med tallet 3,6 for å få den regnet om til km/h.

Sist oppdatert 15.06.2021
Skrevet av Lene Ask Andreassen og Bjarne Skurdal

Læringsressurser

Areal og omkrets

Hva er kjernestoff og tilleggsstoff?