Oppgaver og aktiviteter

Andregradslikninger

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

Når konstantleddet mangler

1.7.1 Løs likningene

a) $2 x^{2} - 2 x = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x (x - 1) & = & 0 \\ 2 x & = & 0 eller x - 1 = 0 \\ x_{1} & = & 0 eller x_{2} = 1 \end{array}$

b) $12 x = 3 x^{2}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 12 x - 3 x^{2} & = & 0 \\ 3 x (4 - x) & = & 0 \\ 3 x & = & 0 eller 4 - x = 0 \\ x & = & 0 eller - x = - 4 \\ x_{1} & = & 0 eller x_{2} = 4 \end{array}$

c) $5 x^{2} = 25 x$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 25 x & = & 0 \\ 5 x (x - 5) & = & 0 \\ 5 x & = & 0 eller x - 5 = 0 \\ x_{1} & = & 0 eller x_{2} = 5 \end{array}$

Når førstegradsleddet mangler

1.7.2 Løs likningene ved regning

a) $x^{2} - 4 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \sqrt{4} eller x = - \sqrt{4} \\ x_{1} & = & 2 eller x_{2} = - 2 \end{array}$

b) $3 x^{2} = 3$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 1 \\ x & = & \sqrt{1} eller x = - \sqrt{1} \\ x_{1} & = & 1 eller x_{2} = - 1 \end{array}$

c) $2 x^{2} + 8 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} & = & - 8 \\ x^{2} & = & - 4 \\ Ingen løsning \end{array}$

Fullstendige kvadrater

1.7.3 Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater

a) ${(x - 5)}^{2} = 16$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - 5 & = & 4 eller x - 5 = - 4 \\ x_{1} & = & 9 eller x_{2} = 1 \end{array}$

b) $x^{2} + 6 x - 7 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2} & = & 7 + 9 \\ x^{2} + 6 x + 9 & = & 16 \\ {(x + 3)}^{2} & = & 4^{2} \\ x + 3 & = & 4 eller x + 3 = - 4 \\ x_{1} & = & 1 eller x_{2} = - 7 \end{array}$

c) $x^{2} = 2 x + 24$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x & = & 24 \\ x^{2} - 2 \cdot x + 1^{2} & = & 24 + 1 \\ x^{2} - 2 x + 1 & = & 25 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 5^{2} \\ x - 1 & = & 5 eller x - 1 = - 5 \\ x_{1} & = & 6 eller x_{2} = - 4 \end{array}$

d) $- 2 x^{2} + 4 x + 16 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} - 2 x^{2} + 4 x + 16 & = & 0 : (- 2) \\ x^{2} - 2 x - 8 & = & 0 \\ x^{2} - 2 \cdot x + 1^{2} & = & 8 + 1 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 3^{2} \\ x - 1 & = & 3 eller x - 1 = - 3 \\ x_{1} & = & 4 eller x_{2} = - 2 \end{array}$

1.7.4 Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater

a) $0, 2 x^{2} + 0, 4 x = 0, 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 2 x^{2} + 0, 4 x & = & 0, 6 : 0, 2 \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} & = & 3 + 1 \\ {(x + 1)}^{2} & = & 2^{2} \\ x + 1 & = & 2 eller x + 1 = - 2 \\ x_{1} & = & 1 eller x_{2} = - 3 \end{array}$

b) $0, 1 x^{2} + 0, 2 x = 0, 8$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 1 x^{2} + 0, 2 x & = & 0, 8 : 0, 1 \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} & = & 8 + 1 \\ {(x + 1)}^{2} & = & 3^{2} \\ x + 1 & = & 3 eller x + 1 = - 3 \\ x_{1} & = & 2 eller x_{2} = - 4 \end{array}$

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 30.08.2021

Andregradslikninger

Når konstantleddet mangler

1.7.1 Løs likningene

Når førstegradsleddet mangler

1.7.2 Løs likningene ved regning

Fullstendige kvadrater

1.7.3 Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater

1.7.4 Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater

Regler for bruk