Andregradsfunksjoner
3.3.1
![Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 2 til 7. Fire punkt på grafen er markert. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/koordinatsystem_med_punkter.png?width=1024)
I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen
og markert noen punkter på grafen.
a) Skriv ned koordinatene til punktene A, B, C og D.
Vis fasit
b) Regn ut .
Vis fasit
c) Forklar at koordinatene til punktene på grafen kan skrives som
Vis fasit
Når vi regner ut, finner vi funksjonsverdien for , det vil si punktet A på grafen. Et punkt vil derfor alltid ligge på grafen til for alle verdier for der funksjonen eksisterer.
3.3.2
Bestem hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur), og hvor de skjærer andreaksen, uten å tegne grafene.
a)
Vis fasit
Tallet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12.
b)
Vis fasit
Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4.
c)
Vis fasit
Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i .
d)
Vis fasit
Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0.
e) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.
Vis fasit
3.3.3
Funksjonen er gitt ved for verdier mellom og .
a) Tegn grafen til .
Vis fasit
b) Finn bunnpunktet på grafen til .
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Bunnpunktet er
c) Finn nullpunktene til .
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Nullpunktene er og .
d) Finn hvor grafen til skjærer -aksen. Hva kalles disse skjæringspunktene?
Vis fasit
Grafen skjærer -aksen for Skjæringspunktene kalles nullpunkter.
3.3.4
Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter sekunder er høyden meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen
a) Tegn grafen til for de første 3 sekundene.
Vis fasit
b) Når er ballen 10 meter over bakken?
Vis fasit
Vi tegner linja Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.
c) Når treffer ballen bakken?
Vis fasit
Vi finner nullpunktet med verktøyet "Nullpunkt". Se punktet C i løsningen til oppgave a). Ballen treffer bakken etter 3 sekunder.
d) Når er ballen 15 meter over bakken?
Vis fasit
Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.
e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?
Vis fasit
Vi finner toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter omtrent 1,4 sekunder og har da en høyde på 12 meter over bakken.
3.3.5
Gitt grafene nedenfor.
![Grafene til tre ulike andregradsfunksjoner er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 5 til 4. Graf A har et toppunkt med koordinatene minus 2 og 4 og nullpunkter for x er lik minus 4,8 og 0,8. Graf B har et bunnpunkt med koordinatene 1 og 1 og ingen nullpunkter. Graf C har et toppunkt med koordinatene 2 og minus 2 og ingen nullpunkter. Skjermutklipp.](https://api.ndla.no/image-api/raw/andregradspolynomer_0.png?width=1024)
Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører graf A, graf B eller graf C. Prøv deg uten å tegne grafene. Obs: Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.
Vis fasit
3.3.6
a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor, og finn ut ved regning
- hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smileller sur )
- hvilke av grafene som har toppunkt, og hvilke som har bunnpunkt
- hvor grafene skjærer andreaksen
- likningen for symmetrilinja til hver av grafene
- koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene
- verdimengden til funksjonene
- nullpunktene til funksjonene
Vis fasit
Når og
Symmetrilinja er
Bunnpunktet har koordinatene
Verdimengden blir da
For å finne nullpunktene løser vi likningen
Nullpunktene er 3 og 4.
Vis fasit
Når
Symmetrilinja er
Toppunktet har koordinatene
Verdimengden blir da
For å finne nullpunktene løser vi likningen
Nullpunktene er
Vis fasit
Når
Symmetrilinja er
Toppunktet faller da sammen med skjæring med andreaksen:
Verdimengden er
Grafen til ligger
Vis fasit
Når
Symmetrilinja blir
Bunnpunktet har koordinatene
Verdimengden blir da
For å finne nullpunktene løser vi likningen
Nullpunktene er
b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.
Vis fasit
![Fire grafer. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/funksjoner_oppgave_4.3.1.png?width=1024)
3.3.7
Funksjonen
a) Tegn grafen til
Vis fasit
![Graf. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/graf_3.png?width=1024)
b) Bestem bunnpunktet til grafen til
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.
Vi ser av grafen at bunnpunktet er
Ved regning
Symmetrilinja blir
y-verdien blir da
Bunnpunktet blir
c) Bestem grafisk hvor grafen til
Vis fasit
![Graf. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/funksjoner_oppgave_4.3.2.c.png?width=1024)
Grafen til
Grafen til
d) Bestem ved regning hvor grafen til
Vis fasit
Grafen skjærer andreaksen når
Skjæringspunktene er
Grafen skjærer andreaksen når
Grafen skjærer førsteaksen i punktene
e) Hva er verdimengden til
Vis fasit
I denne oppgaven skulle vi velge
Definisjonsmengden
Den laveste verdien til funksjonen
Verdimengden
3.3.8
Andreas kaster et spyd.
Grafen til funksjonen
Her er
a) Tegn grafen til
Vis fasit
Vi tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn
![Graf til funksjon. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/graf_til_funksjon.png?width=1024)
b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til
Bestem toppunktet på grafen til
Vis fasit
Vi finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".
Grafen skjærer
Vi finner toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".
Toppunktet er
c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?
Vis fasit
Andreas kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter, og lengden på kastet er 87,5 meter.