Oppgave

Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde og verdimengde

Her kan du arbeide med oppgaver om funksjonsbegrepet. Løs oppgavene uten hjelpemidler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Tegn og beskriv begrepene: koordinatsystem, x-akse, y-akse, koordinater og punkt.

b) Tegn et koordinatsystem. Sett navn på aksene. Tegn punktene (2,3) og (4,4). Trekk ei linje mellom punktene.

c) Samarbeidsoppgave: Den ene eleven lager et koordinatsystem, og den andre eleven bestemmer hvilke punkter den første eleven skal tegne i koordinatsystemet sitt. Klarer dere å lage figurer av punktene?

Oppgave 2

Dere trenger en taxi. Det koster 60 kroner for å bestille en taxi hjem til dere og så 14 kroner per kilometer. Den faste kostnaden er 60 kroner, og den variable kostnaden er 14 kroner. Siden vi ikke vet hvor mange kilometer taxien skal kjøre, bruker vi bokstaven x for antall kilometer. Prisen for taxituren kaller vi P. Hvor stor blir P? Prisen er avhengig av hvor mange kilometer vi kjører, og vi skriver $P (x)$ .

$P (x) = 14 \cdot x + 60$

a) Forklar med dine egne ord hva funksjonsuttrykket, $P (x)$ , viser.

Løsning

Funksjonsuttrykket viser prisen for en taxitur når man kjører x kilometer. Det koster 60 kroner i fast pris når man ringer etter taxi, og deretter 14 kroner per kilometer man kjører med taxien.

b) Lag en verditabell for x-verdiene 10, 20, 30, 40 og 50.

Løsning

Verditabell
Antall kilometer, x	10	20	30	40	50
Pris, $P (x)$	200	340	480	620	760

c) Forklar hva verditabellen forteller deg.

Løsning

Verditabellen viser prisen for en taxitur når man kjører henholdsvis 10, 20, 30, 40 og 50 kilometer.

Oppgave 3

Tre sirkler med radius 1, 1,5 og 2. Under hver sirkel er formelen for arealet av sirkelen angitt sammen med arealet av sirklene, som er 3,14, 7,07 og 12,56. Illustrasjon. — Tre sirkler med arealformel.

Figuren ovenfor viser radien og arealet til tre sirkler.

a) Hvilken størrelse er det som bestemmer arealet til en sirkel?

Løsning

Radien bestemmer størrelsen på arealet til en sirkel.

b) Kan vi si at arealformelen for en sirkel $A = π \cdot r^{2}$ er en funksjon? Forklar i så fall hvorfor.

Løsning

Arealet av sirkelen bestemmes av radien. Til enhver verdi av radien, r, finnes en nøyaktig verdi av arealet til sirkelen. Vi kan da si at arealet til en sirkel er en funksjon av radien, r.

Oppgave 4

Sukkertøy i ulike farger. Foto. — Bilde: Bon Appetit, NTB / CC BY-NC 4.0

Tenk deg at du er på butikken og handler smågodt.

a) Skriv ned et funksjonsuttrykk som viser sammenhengen mellom pris P og antall hekto smågodt du kjøper. La prisen på smågodt være 9,90 kroner per hekto og x hvor mange hekto du kjøper.

Løsning

Funksjonsuttrykker kan være $P (x) = 9, 90 \cdot x$ .

b) Lag et nytt funksjonsuttrykk, $Q (x)$ , som viser hvor mye du betaler når du kjøper smågodt. Nå er prisen satt ned til 7,90 kroner per hekto, men du må betale 5,00 kroner for begeret som du fyller smågodtet i.

Løsning

En funksjon som viser prisen, $Q (x)$ , har x som variabel (siden du kan kjøpe så mange hekto smågodt du ønsker), og x multipliseres med pris per hekto. Til slutt må prisen for begeret, 5,00 kroner, legges til som en engangskostnad.

$Q (x) = 7, 90 \cdot x + 5, 00$

Oppgave 5

Du husker sikkert at formelen for arealet av et kvadrat er

$A = side \cdot side = s^{2}$

a) Lag en tabell i et regneark der du finner arealet til kvadrater med sidelengder 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lager tabellen.

Løsning

Regnearket kan se slik ut:

Regneark
	A	B	B (formelvisning)
1	Sidekant i kvadratet	Arealet av kvadratet
2	2	4	=A2^2
3	4	16	=A3^2
4	6	36	=A4^2
5	8	64	=A5^2
6	10	100	=A6^2
7	12	144	=A7^2
8	14	196	=A8^2
9	16	256	=A9^2

Nedenfor kan du se utregningene i et ekte regneark.

Filer

Arealet av kvadrater(XLSX)

b) Kan du et navn på tallene som viser de ulike arealene?

Løsning

Man kan kalle arealet av et kvadrat for et kvadrattall.

Oppgave 6

Du og familien din er på ferie og vil leie en bil. Dere tar en tur for å undersøke pris og får dette tilbudet: fastpris 650 kroner og 6,20 kroner per kilometer.

a) Bruk disse opplysningene til å skrive et funksjonsuttrykk, $K (x)$ , som kan brukes for å regne ut kostnadene ved å leie en bil.

Løsning

Et funksjonsuttrykk som viser kostnadene, $K (x)$ , som en funksjon av antall kilometer, x, kan skrives som

$K (x) = 6, 20 \cdot x + 650$

b) Velg fem forskjellige turlengder, for eksempel 50 km, 100 km og så videre. Regn ut kostnadene for hver av dem, og sett opp tallene i en verditabell.

Løsning

Verditabell
Antall kilometer, x	50	100	150	200	250
Kostnadene, $K (x)$	960	1 270	1 580	1 890	2 200

c) Bruk resultatene fra b) til å tegne en graf til K.

Løsning

Grafen til K av x er lik 6,2 x pluss 650 er tegnet med antall kilometer langs x-aksen og kostnader langs y-aksen. Grafen er tegnet for x-verdier fra 0 til 340. På grafen er det merket av 6 punkter. De har koordinatene A 50 og 960, B 100 og 1270, C 150 og 1580, D 200 og 1890 og E 250 og 2200. Den loddrette linja x er lik 180 er tegnet inn, og skjæringspunktet F med grafen til K er tegnet inn. F har koordinatene 180 og 1766. Skjermutklipp. — Graf som viser kostnader i kroner.

Vi legger punktene inn i et koordinatsystem. Punktene ligger på ei rett linje. Det ser vi også når vi skriver inn funksjonsuttrykket og får tegnet grafen, som går gjennom alle punktene.

d) Bruk grafen, og finn ut hvor mye det koster å kjøre 18 mil.

Løsning

Vi tegner linja $x = 180$ og finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til K med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktet F på grafen i oppgave c).

Det koster 1 766 kroner å kjøre 18 mil (180 kilometer).

Oppgave 7

I 2008 hadde Camilla et mobilabonnement. Hun betalte 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som

$k (t) = 0, 49 \cdot t + 99$

der t varierer fra og med 50 til og med 200.

a) Lag en verditabell for k.

Løsning

Verditabell
t	50	100	150
$k (t)$	123,50	148,00	172,50

b) Tegn grafen til k.

Løsning

Grafen til funksjonen k av t er lik 0,49 t pluss 99 er tegnet for t-verdier mellom 50 og 200 der t står for antall ringeminutter. Grafen er ei rett, stigende linje. Tre punkter ligger på grafen til k og har koordinatene 50 og 123,5, 100 og 148 og 150 og 172,5. Skjermutklipp. — Graf som viser utgiftene i kroner.

c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Løsning

y-aksen viser kostnadene. Vi finner 160 på y-aksen og lager ei rett linje til grafen. Vi leser av x-verdien og får cirka 125. Camilla har altså ringt i cirka 125 minutter når kostnaden er 160 kroner. Se grafen i b).

Oppgave 8

Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f, g, h og i. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene. En spissparentes 〉 i et punkt på grafen betyr at punktet ikke er en del av grafen, mens en hakeparentes ] betyr at punktet er en del av grafen, det tilsvarer hvordan disse symbolene blir brukt for intervaller.

Grafen til en funksjon f er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 2. Grafen starter med en spissparentes i punktet med koordinatene minus 1 og 1. Grafen har et bunnpunkt i origo og ender i en spissparentes i punktet med koordinatene 2 og 4. Illustrasjon.

Løsning

$D_{f} = 〈 - 1, 2 〉, V_{f} = [0, 4 〉$

Grafen til en funksjon g er tegnet for x-verdier mellom minus 6 og 6. Grafen starter med en spissparentes i punktet med koordinatene minus 6 og 0,3. Grafen stiger og har et toppunkt med koordinatene minus 4,7 og 1, deretter et bunnpunkt med koordinatene minus 1,6 og minus 1, videre et toppunkt med koordinatene 1,6 og 1 og et bunnpunkt med koordinatene 4,7 og minus 1. Grafen ender i en spissparentes i punktet med koordinatene 6 og minus 0,3. Illustrasjon.

Løsning

$D_{g} = ⟨ - 6, 6 ⟩, V_{g} = [- 1, 1]$

Grafen til en funksjon h er tegnet for x-verdier mellom minus 3,3 og 3,3. Begge endene av grafen forsvinner ut av bildet i øvre bildekant, og grafen har et bunnpunkt med koordinatene 0 og minus 2. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Løsning

$D_{h} = R, V_{h} = [- 2, \to 〉$

Grafen til en funksjon er tegnet for x-verdier mellom cirka minus 2 og cirka 2. Grafen har ingen markeringer i endepunktene, og begge ender forsvinner ned i nedre billedkant. Grafen har et toppunkt med koordinatene minus 1 og 5, et bunnpunkt med koordinatene 0 og 4 og et nytt toppunkt med koordinatene 1 og 5. Illustrasjon.

Løsning

$D_{i} = R, V_{i} = 〈 \leftarrow, 5]$

Oppgave 9

Bestem definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene under.

a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet.

Grafen til en funksjon f er tegnet for x-verdier mellom 0 og 24. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og 9. Grafen synker og har et bunnpunkt med koordinatene 4 og 5, videre et toppunkt med koordinatene 16 og 25, og den ender med en spissparentes i punktet med koordinatene 24 og 11. Illustrasjon.

Løsning

$D_{f} = [0, 24 〉, V_{f} = [5, 25]$

b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen.

Grafen til en funksjon g er tegnet for x-verdier mellom 0 og 12. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og minus 30. Grafen synker og har et bunnpunkt med koordinatene 6 og minus 60 og ender med en spissparentes i punktet med koordinatene 12 og minus 30. Illustrasjon.

Løsning

$D_{g} = [0, 12 ⟩, V_{g} = [- 60, - 30]$

c) Funksjonen h viser vannstanden i Bergen fra en flomåling til neste flomåling.

Grafen til en funksjon h er tegnet for x-verdier mellom 0 og 12. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og 160. Grafen synker og har et bunnpunkt med koordinatene 6 og 40 og ender i en spissparentes i punktet med koordinatene 12 og 160. Illustrasjon.

Løsning

$D_{h} = [0, 12 〉, V_{h} = [40, 160]$

Opplysninger om tidevann og vannstand for Norskekysten på Kartverket:

Kartverket: Se havnivå

Vannstand og antall timer mellom hver flomåling varierer litt fra døgn til døgn. Vi har tatt utgangspunkt i data fra Bergen 04.01.2010 og laget en tilnærmet riktig kurve.

d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en fem timer lang handletur.

Koordinatsystem med 4 vannrette linjestykker. Det første går fra x er lik 0 til x er lik 0,5, og y-verdien er 1000. Det venstre endepunktet starter med en hakeparentes. Det andre linjestykket går fra x er lik 0,5 til x er lik 1,25, og y-verdien er 700. Det tredje går fra x er lik 1,25 til x er lik 4, og y-verdien er 200. Det fjerde linjestykket går fra x er lik 4 til x er lik 5, og y-verdien er 100. Det høyre endepunktet ender i en spissparentes. Illustrasjon.

Løsning

$D_{i} = [0, 5 ⟩, V_{i} = \{100, 200, 700, 1000\}$

Oppgave 10

Bestem definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene under.

a) Funksjonen B viser omtrentlig folketallet i verden fra og med år 1900 til år 2000.

Grafen til en funksjon B er tegnet for x-verdier mellom 0 og 100. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og 1,5. Grafen stiger hele veien og ender med en spissparentes i punktet med koordinatene 100 og 5,7. Illustrasjon.

Løsning

$D_{B} = [0, 100 〉, V_{B} = [1.5, 5.7 〉$

b) Funksjonen S viser antall sauer (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer.

Grafen til funksjonen S er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 12. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og 100. Grafen går vannrett til høyre til punktet med koordinatene 2 og 100, stiger i ei rett linje til punktet med koordinatene 3 og 120, stiger i ei rett linje til punktet med koordinatene 4 og 170, går vannrett til punktet med koordinatene 8 og 170, synker i ei rett linje til punktet med koordinatene 9 og 150, synker i ei rett linje til punktet med koordinatene 10 og 120, synker i ei rett linje til punktet med koordinatene 11 og 100 og ender i en spissparentes i punktet med koordinatene 12 og 100. Illustrasjon.

Løsning

$D_{s} = [0, 12 〉, V_{s} = [100, 170]$

c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for 420 000 kroner og fem år framover.

Grafen til funksjonen R er tegnet for x-verdier mellom 0 og 5. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og 420000. Grafen synker hele veien og ender med en hakeparentes i punktet som har koordinatene 5 og 250000. Illustrasjon.

Løsning

$D_{R} = [0, 5], V_{R} = [140000, 420000]$

d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter, til den er framme på skolen en time senere.

Grafen til funksjonen E er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 60. Grafen starter med en hakeparentes i punktet med koordinatene 0 og 7 der. Grafen går som ei trapp oppover mot høyre der øverste trinn går mellom punktet med koordinatene 52 og 50 og punktet med koordinatene 58 og 50. Fra det sistnevnte punktet går grafen i ei rett linje ned til punktet med koordinatene 60 og 0. Der ender grafen i en hakeparentes. Illustrasjon.

Løsning

$D_{E} = [0, 60], V_{E} = [0, 50]$

Oppgave 11

Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene.

a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever på skolen.

Løsning

$D_{L} = [50, 2000], V_{L} = [5, 150]$

b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere på skolen.

Løsning

$D_{E} = [5, 150], V_{E} = [50, 2000]$

c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall appelsiner i posen.

Løsning

$D_{V} = [0, 25], V_{V} = [0, 5]$

d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i husstanden.

Løsning

$D_{M} = [1, 8], V_{M} = [3, 25]$

Oppgave 12

Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret.

En sirkel med radius 3 tegnet i et koordinatsystem. Sentrum i sirkelen er punktet med koordinatene 1 og 1. Illustrasjon.

Løsning

Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi.

En graf er tegnet i et koordinatsystem. Grafen starter i punktet med koordinatene 12,5 og 5,7, går mot venstre og synker hele veien. I punktet med koordinatene minus 0,5 og 2 er grafen loddrett. Deretter svinger grafen til høyre og synker fortsatt. Den ender i punktet med koordinatene 12,5 og minus 1,7. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Løsning

Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi.

En graf er tegnet i et koordinatsystem. Grafen starter i punktet med koordinatene minus 0,6 og minus 2,1, stiger mot høyre og har et toppunkt med koordinatene 2 og 4,5. Deretter synker grafen mot høyre og ender i punktet med koordinatene 4,6 og minus 2,1. Illustrasjon. — Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Løsning

Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi.

En graf er tegnet i et koordinatsystem. Grafen starter i punktet med koordinatene minus 2,5 og minus 2,4. Den stiger i ei rett linje mot høyre til punktet med koordinatene 2,7 og 3,6. Deretter synker den mot høyre i ei rett linje til punktet med koordinatene 8,5 og 0,8. Illustrasjon.

Løsning

Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi.

Oppgave 13

Lyseblått garnnøste og strikkepinner. Foto. — Bilde: Corbis / CC BY-NC-SA 4.0

Du skal strikke et firkantet sjal. I oppskriften står det at hvis du lager 22 masker i bredden, tilsvarer det 10 cm. Strikker du 25 masker i høyden, blir det også 10 cm.

a) Hvor mange masker i bredden blir det per cm?

Løsningsforslag

Vi vet at 22 masker er 10 cm. Da kan vi finne antall masker på én cm ved å dele 22 med 10.

$\frac{22 masker}{10 cm} = 2, 2 \frac{masker}{cm}$

b) Dersom sjalet skal være 45 cm bredt, hvor mange masker må vi legge opp i bredden da?

Løsningsforslag

Vi må multiplisere antall masker per cm med antall cm vi skal strikke. Vi får at antall masker blir

$2, 2 \frac{masker}{cm} \cdot 45 cm = 99 masker$

c) Forklar at du kan beskrive antall masker i bredden $b (x)$ ved hjelp av uttrykket 2,2x, der x er antall cm i bredden.

Løsningsforslag

Når vi skal finne ut hvor mange masker det blir i bredden, må vi gange 2,2 med antall cm, altså får vi

$b (x) = 2, 2 \cdot x = 2, 2 x$

d) Finn en tilsvarende formel eller funksjon $h (y)$ for antall masker det blir i høyden når høyden er y cm.

Løsningsforslag

Antall masker per cm i høyden blir

$\frac{25 masker}{10 cm} = 2, 5 \frac{masker}{cm}$

$h (y) = 2, 5 \cdot y = 2, 5 y$

e) Hvorfor bruker vi ikke samme bokstav for antall cm i bredden (x) og antall cm i høyden (y)?

Løsningsforslag

Vi bruker ikke samme bokstav fordi de måler to forskjellige ting. Den ene måler bredden, den andre måler høyden, og de vil ha ulike verdier i praksis.

f) En venninne bestiller et sjal av deg. Det skal være 70 cm bredt og 40 cm høyt. Hvor mange masker blir det i bredden og i høyden?

Løsningsforslag

Opplysningene betyr at $x = 70$ og $y = 40$ . Antallet masker i bredden blir

$b (70) = 2, 2 \cdot 70 = 154$

mens antallet masker i høyden blir

$h (40) = 2, 5 \cdot 40 = 100$

g) Hvor mange masker blir det totalt på dette sjalet?

Løsningsforslag

Dette blir som arealet av et rektangel målt i masker. Vi må multiplisere antall masker i bredden med antall masker i høyden. Antallet masker totalt blir

$154 \cdot 100 = 15 400$

h) Prøv å anslå hvor lang tid det tar å strikke dette sjalet.

i) Undersøk hvor raskt en strikkemaskin kan strikke dette sjalet. Regn også ut hvor mange slike sjal strikkemaskinen kan lage på den tiden det tar å strikke et sjal manuelt.

j) Hvor bredt blir et sjal dersom du legger opp 132 masker i bredden?

Løsningsforslag

Her er det mange måter å gå fram på. Vi tar utgangspunkt i formelen $b (x) = 2, 2 x$ . Vi vet nå at $b (x) = 132$ . Da får vi

$\begin{array}{rcl} 2, 2 x & = & 132 \\ \frac{2, 2 x}{2, 2} & = & \frac{132}{2, 2} \\ x & = & 60 \end{array}$

Bredden blir 60 cm.

k) Lag en formel eller funksjon $x (b)$ for bredden i cm når antall masker er b.

Løsningsforslag

Dette blir det motsatte av funksjonen $b (x)$ .

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $b (x) = 2, 2 x$ . For å gjøre det enklere, skriver vi nå

$b = 2, 2 x$ . (Husk at $b (x)$ bare er en skrivemåte. Størrelsen har navnet b.)

Vi ønsker å ende opp med $x =$ . Da gjør vi omtrent som i forrige oppgave.

$\begin{array}{rcl} b & = & 2, 2 x \\ \frac{b}{2, 2} & = & \frac{2, 2 x}{2, 2} \\ \frac{b}{2, 2} & = & x \\ x & = & \frac{b}{2, 2} \end{array}$

Nå kan vi regne ut bredden x ut ifra antall masker b, og vi kan skrive

$x (b) = \frac{b}{2, 2}$

Alternativ 2

Vi vet at 22 masker i bredden tilsvarer 10 cm. Da vil 1 maske tilsvare

$\frac{10 cm}{22} = 0, 455 cm$

For å finne ut hvor langt et visst antall masker b er, må vi multiplisere b med dette tallet. Det gir oss

$x (b) = 0, 455 \cdot b = 0, 455 b$

l) Studer de to svaralternativene i forrige oppgave. Er de like?

Løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i formelen/funksjonen i alternativ 2.

$x (b) = 0, 455 \cdot b = \frac{10}{22} \cdot \frac{b}{1} = \frac{10 \cdot b}{22 \cdot 1} = \frac{10 \cdot b}{10 \cdot 2, 2} = \frac{b}{2, 2}$

Konklusjon: Det er samme formel.

m) Finn tilsvarende formel eller funksjon for høyden $y (h)$ når det er h masker i høyden.

Løsningsforslag

Dette blir det motsatte av funksjonen $h (y)$ .

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $h (y) = 2, 5 y$ . For å gjøre det enklere, skriver vi nå $h = 2, 5 y$ . (Husk at $h (y)$ bare er en skrivemåte. Størrelsen har navnet h.)

Vi ønsker å ende opp med $y =$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} h & = & 2, 5 y \\ \frac{h}{2, 5} & = & \frac{2, 5 y}{2, 5} \\ \frac{h}{2, 5} & = & y \\ y & = & \frac{h}{2, 5} \end{array}$

Nå kan vi regne ut høyden y ut ifra antall masker h, og vi kan skrive

$y (h) = \frac{h}{2, 5}$

Alternativ 2

Vi vet at 25 masker i høyden tilsvarer 10 cm. Da vil 1 maske tilsvare

$\frac{10 cm}{25} = 0, 4 cm$

For å finne ut hvor høyt et visst antall masker h er, må vi multiplisere h med dette tallet. Det gir oss

$y (h) = 0, 4 \cdot h = 0, 4 h$

n) Du oppdager at du har kjøpt feil garn. På garnet er det oppgitt en helt annen strikkefasthet, det står at 12 masker i bredden skal gi 10 cm. Forholdet mellom masker i bredden og masker i høyden er det samme som i det opprinnelige garnet. Kan du lage tilsvarende formler for dette garnet, sånn at du kan bruke det i stedet?

Løsningsforslag

Vi får

$b (x) = \frac{12}{10} \cdot x = 1, 2 \cdot x = 1, 2 x$

Da må den motsatte formelen bli

$x (b) = \frac{b}{1, 2}$

Forholdet mellom antall masker i høyden og antall masker i bredden skal være det samme. Med originalgarnet er dette forholdet $\frac{25}{22}$ . Hvis vi setter det ukjente tallet på masker i høyden for n med det andre garnet, blir forholdet $\frac{n}{12}$ . Disse to forholdene må være like, og vi får

$\begin{array}{rcl} \frac{n}{12} & = & \frac{25}{22} \\ \frac{n \cdot 12}{12} & = & \frac{25 \cdot 12}{22} \\ n & = & 13, 6 \end{array}$

Selv om vi ikke kan strikke 13,6 masker, kan vi regne med tallet 13,6. Vi får videre at

$h (y) = \frac{13, 6}{10} \cdot y = 1, 36 \cdot y = 1, 36 y$

Den motsatte formelen blir

$y (h) = \frac{h}{1, 36}$

o) Hva er forskjellen mellom en funksjon og en formel? Diskuter.

Oppgave 14

Tove og Christian liker å være fysisk aktive, og i tillegg liker de å lage matematiske sammenligninger. (Man kan vel kanskje kalle dem litt nerdete?) Da Norge ble stengt ned på grunn av koronakrisen, var de mye på tur både sammen og hver for seg. De syklet, løp og gikk tur både i fjellet og på flatmark.

I denne oppgaven forutsetter vi at de sykler, løper og går tur med jevn fart selv om de helt sikkert ikke gjorde det.

Syklist i skogen. Foto. — Bilde: miklosz / CC BY-NC-SA 4.0

a) En av turene de syklet, var en kupert rute på 28,6 km. Tove brukte 1 time og 34 minutter. Lag et uttrykk $s (t)$ som beskriver hvor langt Tove har kommet etter t minutter.

Løsningsforslag

Vi må finne ut hvor langt Tove kommer på ett minutt. Tiden i minutter er

$1 h 34 \min = 60 \min + 34 \min = 94 \min$

Antall km per minutt blir

$\frac{28, 6 km}{94 \min} = 0, 304 km / \min$

Dette er et mål på farten til Tove.

Vi kan da sette opp følgende uttrykk:

$s (t) = 0, 304 t$

b) Christian brukte 1 time og 2 minutter på den samme sykkelturen. Lag et uttrykk $t (x)$ som beskriver hvor lang tid Christian har brukt på x km.

Løsningsforslag

Vi gjør om tiden til minutter.

$1 h 2 \min = 60 \min + 2 \min = 62 \min$

Her er vi interessert i antall minutter per km. Da må vi gjøre det motsatte av hva vi gjorde i forrige oppgave.

$\frac{62 \min}{28, 6 km} = 2, 17 \min / km$

Dette er også et mål på fart, men i stedet for å si noe om hvor langt Christian kommer per minutt som i forrige oppgave, sier tallet her noe om hvor lang tid han bruker per km. Hvis vi multipliserer dette tallet med hvor langt han har syklet, får vi hvor lang tid han brukte. Vi får derfor

$t (x) = 2, 17 x$

c) Lag en formel for hvor langt Tove har kommet som funksjon av hvor langt Christian har kommet.

Tips 1

Her skal vi altså fram til en funksjon s, ikke $s (t)$ , men $s (x)$ siden x er hvor langt Christian har kommet.

Tips 2

Erstatt t i formelen for $s (t)$ med formelen $t (x)$ .

Løsningsforslag

$s (x) = 0, 304 t = 0, 304 \cdot t (x) = 0, 304 \cdot 2, 17 x = 0, 66 x$

d) Hva forteller formelen i oppgaven over oss?

Løsningsforslag

Formelen forteller oss at for hver km Christian sykler, sykler Tove 0,66 km eller 660 m.

e) Hvor langt har Tove syklet når Christian har syklet 5 km?

Løsningsforslag

Her har vi at $x = 5$ . Da får vi

$s (5) = 0, 66 \cdot 5 = 3, 3$

Tove har syklet 3,3 km når Christian har syklet 5 km.

Jente som drikker vann fra flaske på fjelltur. Foto. — Bilde: Espen Bratlie / CC BY-NC-SA 4.0

f) En av fjellturene de liker godt, er 6,9 km lang. De hadde hver sin tur, og Christian (som skrøt av at han tok det rolig) brukte 1 time og 9 minutter. Tove, derimot, hang i stroppen og slet seg inn til 1 time og 40 minutter.
Lag et uttrykk $t (x)$ som viser hvor langt Tove har gått som en funksjon av hvor langt Christian har gått.

Tips

Her må vi gjøre tilsvarende som i oppgavene over, men vi kan ta noen snarveier.

Løsningsforslag

Vi fant i oppgave c) at vi endte opp med å multiplisere de to forholdstallene for km/min for Tove og min/km for Christian.

Tove:

$1 h 40 \min = 60 \min + 40 \min = 100 \min$

$\frac{6, 9 km}{100 \min} = 0, 069 km / \min$

Christian:

$1 h 9 \min = 60 \min + 9 \min = 69 \min$

$\frac{69 \min}{6, 9 km} = 10 \min / km$

Vi får

$s (x) = 0, 069 \cdot 10 x = 0, 69 x$

g) Er Christian like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel?

Svar

Tove kommer lenger per km Christian har kommet på fottur siden konstanten i formelen for fottur (0,69) er større enn for sykling (0,66). Christian er derfor ikke like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel (selv om forskjellen ikke er veldig stor).

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Filer

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

Oppgave 9

Oppgave 10

Oppgave 11

Oppgave 12

Oppgave 13

Alternativ 1

Alternativ 2

Alternativ 1

Alternativ 2

Oppgave 14

Nedlastbare filer

Filer

Regler for bruk av teksten "Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde og verdimengde"