Lineære ulikheter

En ulikhet består av et ulikhetssymbol med et tall eller uttrykk på hver side av symbolet. Et eksempel er ulikheten

CC BY-NC-SA

Bilde: Rolf Øhman

$3<8$

Ulikheten leses som «$3$ er mindre enn $8$».

Vi har fire ulikhetssymboler, $<$ som betyr «mindre enn», $>$ som betyr «større enn», $\le$ som betyr «mindre enn eller lik» og $\ge$ som betyr «større enn eller lik».

Merk at «gapet» alltid peker mot det største tallet.

En ulikhet inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver. Det er vanlig å bruke bokstaven $x$ for den ukjente når ulikheten har én ukjent størrelse.

Et eksempel er ulikheten

$x+3\ge 8$

Å løse en ulikhet går ut på å finne hvilke verdier x kan ha for at ulikheten skal være sann. For eksempel, hvilke verdier av $x$ i ulikheten ovenfor gjør at $x+3$ blir lik eller større enn $8$?

Langt på vei kan vi løse ulikheter etter de samme prinsipper vi brukte for å løse likninger.

• Hvis vi adderer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $5<9, \mathrm{så} \mathrm{er} 5\boxed{+3}<9\boxed{+3}$.

• Hvis vi subtraherer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{-3}>5\boxed{-3}$.

• Hvis vi multipliserer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{·3}>5\boxed{·3}$.

• Hvis vi dividerer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

  Siden $9>6, \mathrm{så} \mathrm{er} \frac{9}{\boxed{3}}>\frac{6}{\boxed{3}}$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

Hva så hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet?

Vi ser på en tallinje.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Hvis vi velger to ulike tall, vet vi at det tallet som ligger lengst til høyre, er det største. Tallet $4$ ligger til høyre for tallet $2$ og er dermed større enn $2$.

$4>2$

Vi multipliserer så begge tallene (begge sidene i ulikheten) med det negative tallet −1. Vi får at $4·\left(-1\right)=-4 \mathrm{og} 2·\left(-1\right)=-2$. Men $-4$ ligger til venstre for $-2$ på tallinjen og er da minst. Det betyr at

$-4<-2$

Vi har altså måttet snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

På samme måte kan du ta utgangspunkt i to hvilke som helst ulike tall og multiplisere dem eller dividere dem med samme negative tallet. Du vil se at du alltid må snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

Dette betyr at de regler vi hadde for å løse likninger også kan brukes for å løse ulikheter med den forskjell at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Eksempel

Vi løser ulikheten

$\begin{array}{rcl}2x+3& < & 4x+9 \mathrm{Vi} \mathrm{subtraherer} 4x \mathrm{og} 3 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider}.\\ & & \\ 2x-4x& <& 9-3 \mathrm{Vi} \mathrm{trekker} \mathrm{sammen} \mathrm{like} \mathrm{ledd}.\\ & & \\ -2x& <& 6 \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{med} -2 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider} \mathrm{og} \mathrm{snur} \mathrm{ulikhetstegnet}.\\ & & \\ x& >& -3\end{array}$

For alle verdier av $x$ større enn $-3$ er ulikheten sann.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Ved CAS i GeoGebra skriver vi inn ulikheten og trykker på knappen $$ $ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$$. Alternativt kan vi bruke kommandoordet "Løs":

Løs(2x+3>4x+9)