Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater

Hva er et fullstendig kvadrat, og hvordan kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater?

Fullstendig kvadrat

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykket x2-6x+9 et fullstendig kvadrat fordi

x2-6x+9=x-32

Hvordan kan vi se om et andregradsuttrykk er et fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket x2-6x+9 som eksempel.

Kan uttrykket skrives som a2+2ab+b2=a+b2 eller a2-2ab+b2=a-b2?

  1. Første forutsetning er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt fortegn. Det stemmer her, og vi finner at  a=x2=x  og  b=9=3.
  2. Videre må «det dobbelte produkt», det vil si 2ab, være lik 6x. Vi sjekker:  2ab=2·x·3=6x. Det stemmer.
  3. Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
    Da er  x2-6x+9=x-32, og vi har et fullstendig kvadrat.

Oppgave

Undersøk om  x2+8x+16  og  x2-5x+25  er fullstendige kvadrater.

Å faktorisere ved å lage fullstendige kvadrater

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetningen.

Vi skal se på to eksempler hvor vi bruker denne metoden.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket  x2+4x-5.
Vi må lage uttrykk på formen a2+2ab+b2=a+b2 eller a2-2ab+b2=a-b2.

  1. Andregradsleddet er et kvadratuttrykk, x2. Det gir  a=x2=x.
  2. Konstantleddet, 5, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
    Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b2 til uttrykket og får
    x2+4x-5 =x2+4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-5
    Dette gjør vi for å lage et fullstendig kvadrat av de tre første leddene.
  3. Vi må ha  2ab=4x. Vi kan da finne b:
    2ab = 4xb=4x2a=4x2x=2
  4. Vi får da
    x2+4x-5 =  x2+4x+22-4-5        Vi legger til og trekker fra 22.Fullstendig kvadrat                    =(x+2)2-9      Fullstendig kvadrat etter 1. kvadratsetning                    =(x+2)2-32       Vi bruker konjugatsetningen.                    =(x+2)+3·(x+2)-3                    =(x+5)·(x-1)

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått


x2+4x-5=x+5x-1

Eksempel 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket 2x2-8x-42.
Vi må lage uttrykk på formen a2+2ab+b2=a+b2 eller a2-2ab+b2=a-b2.

  1. Her er ikke andregradsleddet et kvadratuttrykk, men når vi setter faktoren 2 utenfor en parentes, så får vi et uttrykk der andregradsleddet er et kvadratuttrykk:
    2x2-8x-42 = 2x2-4x-21
  2. Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er x2. Det gir a = x2=x
  3. Konstantleddet, 21, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
    Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b2 til uttrykket og får
    x2-4x-21 =x2-4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-21
  4. Vi må ha  2ab=4x. Vi kan da finne b:
    2ab = 4x4x2a=4x2x=2
  5. Vi får da
    x2-4x-21 =  x2-4x+22-4-21        Vi legger til og trekker fra 22.Fullstendig kvadrat                    =(x-2)2-25      Fullstendig kvadrat etter 2. kvadratsetning                    =(x-2)2-52       Vi bruker konjugatsetningen.                    =((x-2)+5)·((x-2)-5)                    =(x+3)·(x-7)

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått

2x2-8x-42=2x2-4x-21=2x+3x-7

Sist oppdatert 07.05.2020
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Faktorisering