1.1.70

En butikk tar 9,90 kroner per hg for smågodt.

a) Fyll ut resten av tabellen.

M, mengde smågodt (hg)	1	2	3	4	5
P, pris (kr)	9,90
P/M, forhold	9,90

Løsning

Først regner vi ut hva prisen blir for de ulike mengdene smågodt. For for eksempel 2 hg smågodt betaler vi

$2 hg \cdot 9, 90 kr / hg = 19, 80 kr$

Vi regner ut forholdet mellom prisen på smågodtet og mengden ved å dividere (dele). Når mengden smågodt er 2 hg, får vi

$\frac{19, 80 kr}{2 hg} = 9, 90 kr / hg$

Nedenfor er tabellen ferdig utfylt.

M, mengde smågodt (hg)	1	2	3	4	5
P, pris (kr)	9,90	19,80	29,70	39,60	49,50
P/M, forhold	9,90	9,90	9,90	9,90	9,90

b) Forklar hvorfor mengden smågodt du kjøper, er proporsjonal med prisen.

Løsning

Mengden smågodt og prisen er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom størrelsene alltid er det samme.

$\frac{pris}{mengde smågodt} = 9, 90$

Vi ser også av tabellen i løsningen i a) at dersom vi dobler mengden smågodt, blir prisen doblet.

c) Hva er proporsjonalitetskonstanten?

Løsning

Proporsjonalitetskonstanten er 9,90 kr/hg, prisen per hektogram smågodt.

1.1.71

Du kan finne omkretsen av en sirkel ved å bruke formelen $O = π \cdot d$ , der $O$ er omkretsen og $d$ er diameteren i sirkelen.

a) Fyll ut resten av tabellen.

d, diameter (meter)	1	2	3	4	5
O, omkrets (meter)	3,14			12,56
O/d, forhold

Løsning

d, diameter (meter)	1	2	3	4	5
O, omkrets (meter)	3,14	6,28	9,42	12,56	15,70
O/d, forhold	3,14	3,14	3,14	3,14	3,14

b) Forklar hvorfor omkretsen og diameteren er proporsjonale størrelser.

Løsning

Omkretsen og diameteren er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er konstant.

c) Hvilket forholdstall er det alltid mellom omkretsen og diameteren i en sirkel? Er dette det samme som proporsjonalitetskonstanten?

Løsning

Forholdstallet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er pi $(π \approx 3, 14)$ . Dette blir også proporsjonalitetskonstanten.

1.1.72

Tidligere kunne prisen for å sende en SMS være 0,49 kroner per melding.

a) Sett opp en tabell og regn ut prisen $P$ (hvor mye det koster) for 20, 80, 150, 180 og 200 SMS-er. Regn også ut forholdet mellom prisen og antall SMS-er.

x, antall SMS-er	20	80	150	180	200
P, pris (kr)
P/x, forhold

Løsning

x, antall SMS-er	20	80	150	180	200
P, pris (kr)	9,80	39,20	73,50	88,20	98,00
P/x, forhold	0,49	0,49	0,49	0,49	0,49

b) Forklar hvorfor antall SMS-er og prisen er proporsjonale størrelser.

Løsning

Antall SMS-er og prisen er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom pris per SMS og tallet på SMS-er er konstant. Se tabellen i a).

c) Sett opp en formel som viser prisen $P$ for $x$ antall SMS-er.

Løsning

Vi må multiplisere (gange) antall SMS-er $x$ med prisen per SMS, 0,49:

$P = 0, 49 \cdot x$

d) Hva er proporsjonalitetskonstanten?

Løsning

Proporsjonalitetskonstanten er 0,49 kroner per SMS.

1.1.73

Siri har lønnet arbeid. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom antall timer hun arbeider, og den lønna hun får.

Ei rett linje som starter i origo i et koordinatsystem og blant annet går gjennom punktet med koordinatene 5 og 750, punktet med koordinatene 10 og 1500 og punktet med koordinatene 20 og 3000. Tittelen på x-aksen er x, antall timer, og tittelen på y-aksen er y, lønn (kr). Illustrasjon. — Bjarne Skurdal

a) Les av grafen hvor mange timer Siri har arbeidet når hun har tjent 750 kroner.

Løsning

Vi starter på $y$ -aksen der verdien er 750 kroner, går til høyre til vi treffer på linja, og går loddrett ned til vi treffer $x$ -aksen. Se pilene på figuren nedenfor.

Ei rett linje som starter i origo i et koordinatsystem og går skrått oppover til høyre. Ei vannrett pil starter i 750 på y-aksen og ender opp der den treffer linja. Fra dette punktet på linja går det ei loddrett pil ned til cirka 5 på x-aksen. Tittelen på x-aksen er x, antall timer, og tittelen på y-aksen er y, lønn (kr). Illustrasjon. — Bjarne Skurdal

Siri har jobbet i cirka 5 timer når hun har tjent 750 kroner.

b) Les av på grafen hvor mange timer hun har arbeidet når hun har tjent 1 500 kroner.

Løsning

Ved å gjøre som i oppgave a) får vi at Siri har jobbet i cirka 10 timer når hun har tjent 1 500 kroner.

c) Les av på grafen hvor stor lønna blir når hun har arbeidet 20 timer.

Løsning

Her gjør vi det motsatte av hva vi har gjort i de to forrige oppgavene. Vi starter i 20 på $x$ -aksen, går loddrett oppover til vi treffer linja, og går deretter vannrett til venstre til vi treffer $y$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Ei rett linje som starter i origo i et koordinatsystem og går skrått oppover til høyre. Ei loddrett pil starter i 20 på x-aksen og ender opp der den treffer linja. Fra dette punktet på linja går det ei vannrett pil til venstre til 3000 på y-aksen. Tittelen på x-aksen er x, antall timer, og tittelen på y-aksen er y, lønn (kr). Illustrasjon. — Bjarne Skurdal

Vi får at Siri har tjent 3 000 kroner når hun har arbeidet 20 timer.

d) Har Siri fast timelønn?

Løsning

Vi setter opp en tabell på tilsvarende måte som i de forrige oppgavene og regner ut forholdet mellom lønna og antall timer. For eksempel blir forholdet mellom lønna og antall timer når hun jobber 5 timer

$\frac{750 kr}{5 timer} = 150 kr / time$

x, antall timer	5	10	20
y, lønn	750	1 500	3 000
y/x, forhold	150	150	150

Timelønna til Siri er fast og lik 150 kroner per time.

e) Er antall timer og lønna proporsjonale størrelser? Forklar hvorfor, eventuelt hvorfor ikke.

Løsning

Forholdet mellom lønna og antall timer er konstant. Da er størrelsene lønn og antall timer proporsjonale størrelser. Vi kan også se det av grafen i oppgaven siden grafen er ei rett linje gjennom origo.

f) Hva er proporsjonalitetskonstanten?

Løsning

Proporsjonalitetskonstanten er 150 kr/time, altså prisen per arbeidstime eller timelønna.

1.1.74

Å leie en elsparkesykkel koster typisk 10 kroner i oppstartspris pluss 3 kroner per minutt den leies.

Er antall leieminutter og prisen for leia proporsjonale størrelser? Finn tre måter å undersøke dette på, og kontroller at alle tre gir det samme resultatet.

Tips til oppgaven

Du kan gå fram på tre måter:

Du kan lage en tabell med noen samhørende verdier for antall leieminutter og prisen for leia. Lag en tredje kolonne og regn ut forholdet mellom leiepris og antall leieminutter.
Du kan lage en formel for leieprisen $y$ når du leier sykkelen i $x$ minutter. Tegn grafen til denne formelen (funksjonen) i GeoGebra, og studer formen på grafen.
Du kan bruke formelen direkte til å sjekke om forholdet mellom leiepris og antall leieminutter er konstant.

Løsning

Metode 1

Vi regner ut prisen ved å multiplisere antall minutter leietid med prisen per minutt og legger til oppstartsprisen. Hvis vi for eksempel leier sykkelen i 5 minutter, blir prisen

$5 \min \cdot 3 kr / \min + 10 kr = 25 kr$

x, leietid (min)	5	10	15	20
y, leiepris (kr)	25	40	55	70
y/x, forhold (kr/min)	5,00	4,00	3,67	3,50

Vi ser at forholdet ikke er konstant. Da er ikke leietida og leieprisen proporsjonale størrelser.

Metode 2

Dersom vi leier sykkelen i $x$ minutter, blir formelen for leieprisen $y$

$y = x \cdot 3 + 10$

etter utregninga i metode 1. Vi skriver dette uttrykket rett inn i algebrafeltet i GeoGebra. Resultatet blir som på figuren nedenfor.

Grafen til den rette linja y er lik 3 x pluss 10, som er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 22. Grafen skjærer y-aksen for y er lik 10. Illustrasjon. — Bjarne Skurdal

Vi får ei rett linje som ikke går gjennom origo. Da er ikke leietida og leieprisen proporsjonale størrelser.

Metode 3

I metode 1 regnet vi ut forholdet mellom samhørende verdier for leieprisen $y$ og leietida $x$ . Vi kan gjøre dette direkte med formelen.

$\frac{y}{x} = \frac{3 x + 10}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{10}{x} = 3 + \frac{10}{x}$

I den første overgangen har vi erstattet $y$ med $3 x + 10$ . Resultatet av utregninga er et uttrykk der $x$ inngår. Forholdet er dermed ikke konstant, og størrelsene leietid og leiepris er ikke proporsjonale størrelser.

1.1.75

Musikkstrømmetjenesten Spotify betaler (per høsten 2021) artister cirka 0,0038 dollar per avspilling av et spor. Forklar hvorfor forholdet mellom inntekten til en artist og antall avspillinger er proporsjonalt.

(Her må du klare deg uten løsning.)

1.1.76

Under koronapandemien ble det innført mange ulike smitteverntiltak. For eksempel måtte kor som ville øve, forholde seg til en del smittevernregler. Disse reglene ble beskrevet i en veileder for smittevern utgitt av Norsk musikkråd. Den viktigste regelen handlet om nødvendig avstand mellom kormedlemmene i øvingslokalet.

Den første utgaven av smittevernveilederen hadde krav om at hvert kormedlem skulle ha 2 meter avstand foran seg, bak seg og til sidene til neste person. Det betyr at hver person trengte $4 m^{2}$ gulvareal (hvorfor?). I tillegg skulle det være en buffer for å gi god nok plass til koret. Det ble utarbeidet en tabell som viste hvor stort rom man trengte for kor av ulik størrelse (tabellen er litt omarbeidet):

Gruppe	Buffer ( m²)	+ 4 m² per utøver	Sum ( m²)
5	< 6 pers: 10	20	30
15	< 16 pers: 20	60	80
30	< 31 pers: 30	120	150

a) Lag en tabell og regn ut hvor stort rom man trengte for et kor på 9 personer, et kor på 14 personer og et kor på 28 personer.

Løsning

Antall personer	9	14	28
Utregning	$\begin{array}{l} 20 + 9 \cdot 4 \\ = 20 + 36 \end{array}$	$\begin{array}{l} 20 + 14 \cdot 4 \\ = 20 + 56 \end{array}$	$\begin{array}{l} 30 + 28 \cdot 4 \\ = 30 + 112 \end{array}$
Antall kvadratmeter (m²)	56	76	142

b) Se på tabellen med løsningen på deloppgave a). Er antall kvadratmeter korene trengte for å følge smittevernveilederen, proporsjonalt med antall korsangere?

Løsning

Nei. Vi kan blant annet se at kvadratmetertallet ikke øker til det dobbelte når tallet på korsangere dobler seg fra 14 til 28.

Svaret over er nok. Alternativt kan vi utvide tabellen i løsningen i a) med en ny rad og regne ut forholdet mellom antall kvadratmeter og antall personer tilsvarende det som er gjort i oppgavene over, og vi vil få ulike svar.

Antall personer	9	14	28
Utregning	$\begin{array}{l} 20 + 9 \cdot 4 \\ = 20 + 36 \end{array}$	$\begin{array}{l} 20 + 14 \cdot 4 \\ = 20 + 56 \end{array}$	$\begin{array}{l} 30 + 28 \cdot 4 \\ = 30 + 112 \end{array}$
Antall kvadratmeter (m²)	56	76	142
Forhold antall m² og antall personer	$\frac{56}{9} = 6, 22$	$\frac{76}{14} = 5, 43$	$\frac{142}{28} = 5, 07$

Forholdet er ikke konstant, og antall personer og antall kvadratmeter er ikke proporsjonale størrelser.

Etter noen uker ble reglene myket noe opp, og det ble nå krav om 1,5 meter avstand til sidene, men fortsatt 2 meter forover og bakover. Bufrene var de samme. Tabellen så nå slik ut:

Gruppe	Buffer (m²)	+ 3 m² per utøver	Sum (m²)
5	< 6 pers: 10	15	25
15	< 16 pers: 20	45	65
30	< 31 pers: 30	90	120
50	< 51 pers: 30	150	180
-	> 50 pers: 30	-	-

c) Forklar hvorfor antallet kvadratmeter korene nå trengte for å følge smittevernveilederen, ikke er proporsjonalt med antall korsangere.

Løsning

Vi kan gjøre som i den forrige oppgaven og vise at antall kvadratmeter ikke dobler seg når antallet sangere dobler seg. Vi får direkte fra tabellen at når antallet korsangere dobles fra 15 til 30, blir antallet kvadratmeter litt mindre enn doblet.

d) Hva må endres i veilederen for at antall kvadratmeter og antall korsangere skal være proporsjonale størrelser?

Løsning

Det er kravet om buffer som gjør at størrelsene ikke er proporsjonale. Bufferen er et tillegg som selv om det varierer litt, er fast for flere ulike antall kormedlemmer. For eksempel er det det samme både for 10 og 15 kormedlemmer. Dersom kravet om buffer tas bort, vil størrelsene være proporsjonale fordi det vil være et fast antall kvadratmeter per korutøver.

Siden har flyttet, men du kan finne den her: