Proporsjonalitet
Oppgave 1
En butikk tar 9,90 kroner per hg for smågodt.
a) Fyll ut resten av tabellen.
M, mengde smågodt (hg) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
P, pris (kr) | 9,90 | ||||
P/M, forhold | 9,90 |
Løsning
Først regner vi ut hva prisen blir for de ulike mengdene smågodt. For for eksempel 2 hg smågodt betaler vi
Vi regner ut forholdet mellom prisen på smågodtet og mengden ved å dividere (dele). Når mengden smågodt er 2 hg, får vi
Nedenfor er tabellen ferdig utfylt.
M, mengde smågodt (hg) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
P, pris (kr) | 9,90 | 19,80 | 29,70 | 39,60 | 49,50 |
P/M, forhold | 9,90 | 9,90 | 9,90 | 9,90 | 9,90 |
b) Forklar hvorfor mengden smågodt du kjøper, er proporsjonal med prisen.
Løsning
Mengden smågodt og prisen er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom størrelsene alltid er det samme.
Vi ser også av tabellen i løsningen i a) at dersom vi dobler mengden smågodt, blir prisen doblet.
c) Hva er proporsjonalitetskonstanten?
Løsning
Proporsjonalitetskonstanten er 9,90 kr/hg, prisen per hektogram smågodt.
Oppgave 2
Du kan finne omkretsen av en sirkel ved å bruke formelen
a) Fyll ut resten av tabellen.
d, diameter (meter) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
O, omkrets (meter) | 3,14 | 12,56 | |||
O/d, forhold |
Løsning
d, diameter (meter) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
O, omkrets (meter) | 3,14 | 6,28 | 9,42 | 12,56 | 15,70 |
O/d, forhold | 3,14 | 3,14 | 3,14 | 3,14 | 3,14 |
b) Forklar hvorfor omkretsen og diameteren er proporsjonale størrelser.
Løsning
Omkretsen og diameteren er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er konstant.
c) Hvilket forholdstall er det alltid mellom omkretsen og diameteren i en sirkel? Er dette det samme som proporsjonalitetskonstanten?
Løsning
Forholdstallet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel er pi
Oppgave 3
Tidligere kunne prisen for å sende en SMS være 0,49 kroner per melding.
a) Sett opp en tabell og regn ut prisen
x, antall SMS-er | 20 | 80 | 150 | 180 | 200 |
---|---|---|---|---|---|
P, pris (kr) | |||||
P/x, forhold |
Løsning
x, antall SMS-er | 20 | 80 | 150 | 180 | 200 |
---|---|---|---|---|---|
P, pris (kr) | 9,80 | 39,20 | 73,50 | 88,20 | 98,00 |
P/x, forhold | 0,49 | 0,49 | 0,49 | 0,49 | 0,49 |
b) Forklar hvorfor antall SMS-er og prisen er proporsjonale størrelser.
Løsning
Antall SMS-er og prisen er proporsjonale størrelser fordi forholdet mellom pris per SMS og tallet på SMS-er er konstant. Se tabellen i a).
c) Sett opp en formel som viser prisen
Løsning
Vi må multiplisere (gange) antall SMS-er
d) Hva er proporsjonalitetskonstanten?
Løsning
Proporsjonalitetskonstanten er 0,49 kroner per SMS.
Oppgave 4
Siri har lønnet arbeid. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom antall timer hun arbeider, og den lønna hun får.
a) Les av grafen hvor mange timer Siri har arbeidet når hun har tjent 750 kroner.
Løsning
Vi starter på
Siri har jobbet i cirka 5 timer når hun har tjent 750 kroner.
b) Les av på grafen hvor mange timer hun har arbeidet når hun har tjent 1 500 kroner.
Løsning
Ved å gjøre som i oppgave a) får vi at Siri har jobbet i cirka 10 timer når hun har tjent 1 500 kroner.
c) Les av på grafen hvor stor lønna blir når hun har arbeidet 20 timer.
Løsning
Her gjør vi det motsatte av hva vi har gjort i de to forrige oppgavene. Vi starter i 20 på
Vi får at Siri har tjent 3 000 kroner når hun har arbeidet 20 timer.
d) Har Siri fast timelønn?
Løsning
Vi setter opp en tabell på tilsvarende måte som i de forrige oppgavene og regner ut forholdet mellom lønna og antall timer. For eksempel blir forholdet mellom lønna og antall timer når hun jobber 5 timer
x, antall timer | 5 | 10 | 20 |
---|---|---|---|
y, lønn | 750 | 1 500 | 3 000 |
y/x, forhold | 150 | 150 | 150 |
Timelønna til Siri er fast og lik 150 kroner per time.
e) Er antall timer og lønna proporsjonale størrelser? Forklar hvorfor, eventuelt hvorfor ikke.
Løsning
Forholdet mellom lønna og antall timer er konstant. Da er størrelsene lønn og antall timer proporsjonale størrelser. Vi kan også se det av grafen i oppgaven siden grafen er ei rett linje gjennom origo.
f) Hva er proporsjonalitetskonstanten?
Løsning
Proporsjonalitetskonstanten er 150 kr/time, altså prisen per arbeidstime eller timelønna.
Oppgave 5
Å leie en elsparkesykkel koster typisk 10 kroner i oppstartspris pluss 3 kroner per minutt den leies.
Er antall leieminutter og prisen for leia proporsjonale størrelser? Finn tre måter å undersøke dette på, og kontroller at alle tre gir det samme resultatet.
Tips til oppgaven
Du kan gå fram på tre måter:
Du kan lage en tabell med noen samhørende verdier for antall leieminutter og prisen for leia. Lag en tredje kolonne og regn ut forholdet mellom leiepris og antall leieminutter.
Du kan lage en formel for leieprisen
når du leier sykkelen iy minutter. Tegn grafen til denne formelen (funksjonen) i GeoGebra, og studer formen på grafen.x Du kan bruke formelen direkte til å sjekke om forholdet mellom leiepris og antall leieminutter er konstant.
Løsning
Metode 1
Vi regner ut prisen ved å multiplisere antall minutter leietid med prisen per minutt og legger til oppstartsprisen. Hvis vi for eksempel leier sykkelen i 5 minutter, blir prisen
x, leietid (min) | 5 | 10 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|
y, leiepris (kr) | 25 | 40 | 55 | 70 |
y/x, forhold (kr/min) | 5,00 | 4,00 | 3,67 | 3,50 |
Vi ser at forholdet ikke er konstant. Da er ikke leietida og leieprisen proporsjonale størrelser.
Metode 2
Dersom vi leier sykkelen i
etter utregninga i metode 1. Vi skriver dette uttrykket rett inn i algebrafeltet i GeoGebra. Resultatet blir som på figuren nedenfor.
Vi får ei rett linje som ikke går gjennom origo. Da er ikke leietida og leieprisen proporsjonale størrelser.
Metode 3
I metode 1 regnet vi ut forholdet mellom samhørende verdier for leieprisen
I den første overgangen har vi erstattet
Oppgave 6
Musikkstrømmetjenesten Spotify betaler (per høsten 2021) artister cirka 0,0038 dollar per avspilling av et spor. Forklar hvorfor forholdet mellom inntekten til en artist og antall avspillinger er proporsjonalt.
(Her må du klare deg uten løsning.)
Oppgave 7
Under koronapandemien ble det innført mange ulike smitteverntiltak. For eksempel måtte kor som ville øve, forholde seg til en del smittevernregler. Disse reglene ble beskrevet i en veileder for smittevern utgitt av Norsk musikkråd. Den viktigste regelen handlet om nødvendig avstand mellom kormedlemmene i øvingslokalet.
Den første utgaven av smittevernveilederen hadde krav om at hvert kormedlem skulle ha 2 meter avstand foran seg, bak seg og til sidene til neste person. Det betyr at hver person trengte
Gruppe | Buffer ( m2) | + 4 m2 per utøver | Sum ( m2) |
---|---|---|---|
5 | < 6 pers: 10 | 20 | 30 |
15 | < 16 pers: 20 | 60 | 80 |
30 | < 31 pers: 30 | 120 | 150 |
a) Lag en tabell og regn ut hvor stort rom man trengte for et kor på 9 personer, et kor på 14 personer og et kor på 28 personer.
Løsning
Antall personer | 9 | 14 | 28 |
---|---|---|---|
Utregning | |||
Antall kvadratmeter (m2) | 56 | 76 | 142 |
b) Se på tabellen med løsningen på deloppgave a). Er antall kvadratmeter korene trengte for å følge smittevernveilederen, proporsjonalt med antall korsangere?
Løsning
Nei. Vi kan blant annet se at kvadratmetertallet ikke øker til det dobbelte når tallet på korsangere dobler seg fra 14 til 28.
Svaret over er nok. Alternativt kan vi utvide tabellen i løsningen i a) med en ny rad og regne ut forholdet mellom antall kvadratmeter og antall personer tilsvarende det som er gjort i oppgavene over, og vi vil få ulike svar.
Antall personer | 9 | 14 | 28 |
---|---|---|---|
Utregning | |||
Antall kvadratmeter (m2) | 56 | 76 | 142 |
Forhold antall m2 og antall personer |
Forholdet er ikke konstant, og antall personer og antall kvadratmeter er ikke proporsjonale størrelser.
Etter noen uker ble reglene myket noe opp, og det ble nå krav om 1,5 meter avstand til sidene, men fortsatt 2 meter forover og bakover. Bufrene var de samme. Tabellen så nå slik ut:
Gruppe | Buffer (m2) | + 3 m2 per utøver | Sum (m2) |
---|---|---|---|
5 | < 6 pers: 10 | 15 | 25 |
15 | < 16 pers: 20 | 45 | 65 |
30 | < 31 pers: 30 | 90 | 120 |
50 | < 51 pers: 30 | 150 | 180 |
- | > 50 pers: 30 | - | - |
c) Forklar hvorfor antallet kvadratmeter korene nå trengte for å følge smittevernveilederen, ikke er proporsjonalt med antall korsangere.
Løsning
Vi kan gjøre som i den forrige oppgaven og vise at antall kvadratmeter ikke dobler seg når antallet sangere dobler seg. Vi får direkte fra tabellen at når antallet korsangere dobles fra 15 til 30, blir antallet kvadratmeter litt mindre enn doblet.
d) Hva må endres i veilederen for at antall kvadratmeter og antall korsangere skal være proporsjonale størrelser?
Løsning
Det er kravet om buffer som gjør at størrelsene ikke er proporsjonale. Bufferen er et tillegg som selv om det varierer litt, er fast for flere ulike antall kormedlemmer. For eksempel er det det samme både for 10 og 15 kormedlemmer. Dersom kravet om buffer tas bort, vil størrelsene være proporsjonale fordi det vil være et fast antall kvadratmeter per korutøver.
Oppgave 8
Hva kan du om proporsjonalitet?
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.