Fágaartihkal

Kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjon

En bedrift vil alltid prøve å oppnå så stort overskudd som mulig, det vil si tjene mest mulig penger. Da gjelder det å ha oversikt over kostnader og inntekter.

Hva er sammenhengen mellom overskudd, inntekt og kostnad?

Samlebånd med ferdigpizzaer i en fabrikk. Fotografi. — Produksjon av pizza. Govva: Stein J. Bjørge / CC BY-NC-SA 4.0

Inntektene og kostnadene til en bedrift vil variere med hvor mye som produseres. Det vil som regel være slik at jo mer som produseres, jo høyere blir både inntekter og kostnader. Overskuddet til en bedrift øker ikke nødvendigvis selv om bedriften får økt salget. Det hjelper ikke at bedriften tjener 5 000 kroner mer ved et økt salg av noen varer dersom det koster 10 000 kroner å produsere de ekstra varene. Bedriften må derfor ha god oversikt over hvordan kostnadene varierer med hvor mye de produserer.

Overskuddet en bedrift får, kan vi regne ut ved å trekke kostnaden ved produksjonen fra inntekten ved salget. Dersom det koster bedriften 20 000 kroner å produsere en viss varemengde og inntekten fra salget er 30 000 kroner, vil overskuddet bli

$30 000 kr - 20 000 kr = 10 000 kr$

Vi kan derfor lage oss følgende formel:

Overskudd $=$ Inntekt $-$ Kostnad

Husk at inntekt ikke er penger de kan stikke rett i lomma! Inntektene må brukes til å betale kostnadene. Så er håpet at det er igjen noe etter at kostnadene er betalt slik at de går med overskudd.

Prøv selv

Hva er inntekten av et salg dersom overskuddet er 45 000 kroner og kostnadene ved produksjonen er 25 000 kroner?

Inntekten

Vi må snu på formelen over:

$\begin{array}{rcl} Inntekt & = & Overskudd + Kostnad \\ = & 45 000 kr + 25 000 kr \\ = & 70 000 kr \end{array}$

Inntekten blir 70 000 kroner med disse tallene.

Funksjoner for inntekt, kostnad og overskudd

Dersom vi kan lage funksjoner for inntektene og kostnadene, får vi en god oversikt over hvordan overskuddet kan variere med antall. Dersom $x$ står for produsert mengde varer, kan vi sette opp følgende:

Kostnadsfunksjon: $K (x)$
Inntektsfunksjon: $I (x)$
Overskuddsfunksjon: $O (x)$

Sett opp et generelt uttrykk for overskuddsfunksjonen $O (x)$ ved hjelp av $K (x)$ og $I (x)$ .

Overskuddsfunksjonen

Vi har litt lenger oppe på siden at

Overskudd $=$ Inntekt $-$ Kostnad

Dette gir

$O (x) = I (x) - K (x)$

Klasse 3STB ønsker å starte en elevbedrift for å produsere et treningsapparat de kaller Multiform. Vi skal bruke dette som eksempel.

Kostnadsfunksjon

Klassen lar $x$ være antall produserte enheter per uke. De leier et produksjonslokale til 11 000 kroner per uke. Prisen inkluderer utgifter til lys og varme. Denne kostnaden er ikke avhengig av hvor mange enheter som produseres, og kan derfor være et konstantledd i en kostnadsfunksjon.

For hvert treningsapparat som produseres, går det med en bestemt mengde komponenter, som kjøpes inn til enhetspriser. Det kreves også et visst antall arbeidstimer for montering av hver enhet. Klassen beregner disse utgiftene til 150 kroner per enhet, og i en kostnadsfunksjon gir dette førstegradsleddet 150 $x$ .

Klassen regner med at det enkelte uker blir nødvendig med ekstra høy produksjon. Da kan det bli nødvendig med overtid, og kanskje de må sette flere elever i arbeid med produksjonen. Slike ekstrautgifter vil være lave ved liten produksjon og store ved høy produksjon. Læreren til elevene foreslår derfor at kostnadsfunksjonen også skal inneholde leddet $3 x^{2}$ , for da vil kostnadene øke raskere når $x$ blir stor.

Alle er enige om at de med normal innsats vil klare å produsere og selge 130 treningsapparater per uke, men også at de med noen grep kan klare å produsere og selge 150. Det betyr at definisjonsområdet til kostnadsfunksjonen vil være fra og med 0 til og med 150.

Hvis klassen tar utgangspunkt i dette, vil kostnadene per uke ved produksjon av $x$ treningsapparater kunne beskrives med polynomfunksjonen $K$ gitt ved

$K (x) = 3 x^{2} + 150 x + 11 000 \begin{matrix} \end{matrix} D_{K} = [0, 150]$

Elevene er enige om at produksjonskostnadene foreløpig er meget usikre. De er derfor innstilt på å justere modellen når de ser de virkelige utgiftene.

Enhetskostnad

Hvis vi ønsker å regne ut kostnaden per enhet, må vi dele de totale kostnadene på antall produserte enheter. Dette gir følgende funksjon for enhetskostnaden i eksempelet over:

$E (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{3 x^{2} + 150 x + 11 000}{x}$

Inntektsfunksjon

Klassen vurderer hvilken pris de skal sette på Multiform. Elevene er enige om at 800 kroner er en passe pris på produktet.

Hva blir inntektsfunksjonen $I (x)$ ved salg av $x$ enheter ut ifra dette?

Inntektsfunksjon, første forsøk

Inntektsfunksjonen blir enhetsprisen multiplisert med antall solgte enheter. Dette gir

$I (x) = 800 \cdot x = 800 x$

Trym er litt skeptisk og sier: "En slik funksjon passer dårlig overens med at når det blir god tilgang på en vare, vil prisen synke. En annen ting er at for å oppnå et stort salg er vi avhengige av å selge større partier til sportsbutikker, som selger videre for oss. Da må vi nok regne med en lavere pris enn om vi selger alt selv."

Klassen er helt enig med Trym, og læreren til elevene foreslår at de må ha et ledd av typen $x^{2}$ i inntektsfunksjonen slik som i kostnadsfunksjonen. Dette leddet må trekkes fra for at inntektene skal bli mindre når $x$ blir stor. De prøver derfor med inntektsfunksjonen $I$ gitt ved

$I (x) = 800 x - 2 x^{2}$

Elevene tegner grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$ og finner skjæringspunktene mellom de to grafene.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen K av x er lik 3 x i andre pluss 150 x pluss 11000 og grafen til funksjonen I av x er lik 800 x minus 2 x i andre er tegnet for x-verdier mellom 0 og 150. Grafene krysser hverandre for x er lik 20 og for x er lik 100. — Grafene til kostnads- og inntektsfunksjonen i eksempelet. Govva: Stein Aanensen, Olav Kristensen, Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Hjelp elevene i 3STB med å tolke den grafiske framstillingen. Skriv ned noen punkter om hva du kan lese ut av diagrammet.

Tolking av diagrammet

Ved en produksjon på 20 eller 110 enheter er kostnadene og inntektene like store. Overskuddet er da lik null.
Når det produseres færre enn 20 enheter eller flere enn 110 enheter, er kostnadene større enn inntektene, og bedriften vil gå med tap.
Når det produseres mellom 20 og 110 enheter, er inntektene større enn kostnadene, og bedriften vil gå med overskudd.
Overskuddet er størst ved en produksjon et sted cirka midt mellom 20 og 110 enheter. Der ser det ut som avstanden mellom grafene er størst.

Overskuddsfunksjon

For å finne hvor mange treningsapparater elevbedriften skal produsere for å oppnå størst overskudd, kan de finne overskuddsfunksjonen.

Hjelp elevene å finne overskuddsfunksjonen.

Overskuddsfunksjonen

Vi får at

$\begin{array}{rcl} O (x) & = & I (x) - K (x) \\ = & 800 x - 2 x^{2} - (3 x^{2} + 150 x + 11 000) \\ = & - 5 x^{2} + 650 x - 11 000 \end{array}$

Klassen tegner grafen til overskuddsfunksjonen $O$ i samme koordinatsystem som grafene til $K$ og $I$ . Da skriver de bare O(x) = I - K i algebrafeltet til GeoGebra siden de har lagt inn inntekts- og kostnadsfunksjonen fra før.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen K av x er lik 3 x i andre pluss 150 x pluss 11000, grafen til funksjonen I av x er lik 800 x minus 2 x i andre og grafen til funksjonen O av x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 150. Grafene til I og K krysser hverandre for x er lik 20 og for x er lik 100. Grafen til O har nullpunkt for de samme x-verdiene. Grafen til O har et toppunkt med koordinatene 65 og 10125. — Grafene til kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjonen i eksempelet. Govva: Stein Aanensen, Olav Kristensen, Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Det største overskuddet må være der grafen til $O$ har et toppunkt. Med verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" finner elevene toppunktet til overskuddsfunksjonen. Resultatet viser at overskuddet er størst ved en produksjon på 65 enheter. Da er overskuddet per uke på 10 125 kroner.

Vi kan også finne det største overskuddet med CAS.

Skjermutklipp av CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 blir kostnadsfunksjonen K av x kolon er lik 3 x i andre pluss 150 x pluss 11000 skrevet inn. På linje 2 blir inntektsfunksjonen I av x kolon er lik 800 x minus 2 x i andre skrevet inn. På linje 3 blir Overskuddsfunksjonen O av x kolon er lik I minus K skrevet inn. Resultatet er O av x kolon er lik minus 5 x i andre pluss 650 x minus 11000. På linje 4 løses likningen O derivert av x er lik 0. Svaret med "Løs" er x er lik 65. På linje 5 regnes O dobbeltderivert av 65 ut. Svaret er minus 10. På linje 6 regnes O av 65 ut. Svaret er 10125. — Størst overskudd med CAS. Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Trenger vi å ha med utregningen i linje 5?

Forklaring

I linje 5 bruker vi metoden med å regne ut den dobbeltderiverte i det stasjonære punktet (dobbeltderiverttesten) for å finne ut hva slags type stasjonært punkt det er snakk om. I eksempelet vårt er overskuddsfunksjonen en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet. Da vet vi at grafen har ett toppunkt og ingen andre stasjonære punkter. Vi trenger derfor ikke utregningen i linje 5 for kostnadsfunksjoner som er andregradsfunksjoner. For andre typer funksjoner vil det generelt ikke være så enkelt å avgjøre hva slags type stasjonære punkter vi finner. Da vil det være nødvendig å ta med linje 5.