Integrasjon – blandede oppgaver

3.1

Regn ut integralene uten å bruke digitale hjelpemidler.

a) $$ {\int }_0^4\left(x+2\right)dx$$

b) $$ {\int }_{-2}^2{x}^{2}dx$$

c) $$ {\int }_1^e\frac{1}{x}dx$$

d) $$ {\int }_0^3{10}^{x}dx$$

e) $$ \int e^{-3x+7}dx$$

f) $$ \int \left(x^5·e^{-3x^6}+2\right)dx$$

g) $$ \int \frac{x^4-3x^2+2}{x^5-5x^3+10x-2}dx$$

3.2

Vi har følgende sammenheng mellom fart, $$ v$$, tilbakelagt strekning, $$ s$$, og tid, $$ t$$:

$$ v=\frac{ds}{dt}$$

a) Bruk sammenhengen over til å vise at $$ s=\int v dt$$.

Oppgavene nedenfor gjelder et objekt som beveger seg i ei rett linje med hastighet $$ v$$. Beregn strekningen som objektet har flyttet seg i tidsrommet som er angitt i hver oppgave. Oppgavene skal løses ved hjelp av integrasjon og uten digitale hjelpemidler.

Tida angis i sekunder $$ $$(s) og farten i meter per sekund (m/s).

b) $$ v=2t+5, t\in \left[0,3\right]$$

c) $$ v=6t^2+4t, t\in \left[1,3\right]$$

d) $$ v=\sqrt{t}+1, t\in \left[4,9\right]$$

3.3

Vi har følgende sammenheng mellom akselerasjon, $$ a$$, fart, $$ v$$, og tid, $$ t$$:

$$ a=\frac{dv}{dt}$$

a) Bruk sammenhengen over til å vise at $$ v=\int a dt$$.

Tida angis i sekunder (s), farten i m/s og akselerasjonen i m/s².

b) Bestem et uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida når akselerasjonen til objektet er $$ a=9,8$$ m/s² .

c) Vi får vite at startfarten til objektet er 2 m/s. Hvordan kan vi bruke denne informasjonen til å bestemme et mer presist uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida, $$ v\left(t\right)$$?

d) Bruk det du kom fram til i b) for å beregne hvor langt objektet forflytter seg fra $$ t=0$$ til $$ t=10$$.

3.4

En stor bedrift i Harstad hadde i 2021 en inntekt på 100 millioner kroner per år. Det er gjort en analyse som viser at inntektene kommer til å øke de kommende årene ut fra funksjonen

$$ f\left(t\right)=100·e^{\frac{t}{9}}$$

der $$ f\left(t\right)$$ er inntekten i millioner kroner $$ t$$ år etter 2021.

Beregn bedriftens samlede inntekt i løpet av de neste 10 årene ved hjelp av CAS.

3.5

Middelverdisetningen sier at hvis en funksjon $$ f$$ er integrerbar fra $$ x=a$$ til $$ x=b$$, er gjennomsnittsverdien $$ \overline{f}$$ for $$ f$$ gitt ved

$$ \overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$$$ $$

a) Bestem gjennomsnittsverdien, $$ \overline{f}$$ , til $$ f\left(x\right)=3x+4, x\in \left[0,2\right]$$ ved hjelp av integrasjon og uten bruk av digitale hjelpemidler.

b) Hvordan kan du kontrollere at beregningen i a) er riktig uten å bruke digitale hjelpemidler?

c) Bestem gjennomsnittsverdien, $$ \overline{f}$$ , til $$ f\left(x\right)=x^2-2x, x\in \left[-1,2\right]$$ ved hjelp av integrasjon og uten bruk av digitale hjelpemidler.

3.6

Funksjonen $$ f$$ angir temperaturen gjennom et døgn i Stavanger. Funksjonen har framkommet ved regresjon ut fra målinger av temperatur hver time, og $$ x$$ er antall timer etter midnatt.

$$ f\left(x\right)=3,9\sin \left(0,27x+2,91\right)+4,1 x\in \left[0,24\right]$$

a) Lag en algoritme for et program som beregner gjennomsnittstemperaturen numerisk med rektangelmetoden i et oppgitt intervall. Start- og sluttid skal oppgis når programmet kjøres, og i hele timer etter midnatt. Antall rektangler skal også angis når programmet kjøres.

b) Lag programmet som beskrevet i a).

c) Kan du ved å gjøre en forutsetning anslå gjennomsnittstemperaturen gjennom hele døgnet uten å bruke programmet? Hvilken forutsetning må du i så fall gjøre?

3.7

Grensekostnad er et begrep innen økonomi som beskriver hvordan de totale kostnadene endres når produksjonen økes med én enhet. De totale kostnadene beskrives ofte ved hjelp av en kostnadsfunksjon, og grensekostnaden blir dermed den deriverte av kostnadsfunksjonen.

a) Hvordan kan vi ut fra det som står ovenfor, finne en kostnadsfunksjon ut fra en gitt funksjon for grensekostnadene?

b) Et firma i Tromsø, Friskluft AS, har gjort beregninger og funnet ut at grensekostnaden ved å produsere $$ x$$ enheter av ei vifte er gitt ved $$ G\left(x\right)=0.05x^2-7x+980$$. Bestem kostnadsfunksjonen, $$ K\left(x\right)$$, når vi vet at $$ G\left(x\right) = K^{\text{'}}\left(x\right)$$.

c) Bestem et eksakt funksjonsuttrykk for $$ K\left(x\right)$$ når du får vite at kostnadene ved produksjon av 0 enheter (oppstartskostnadene) er 5 500 kroner.

3.8

En tank på 500 L skal fylles med vann ved hjelp av ei elektrisk pumpe. Pumpa går litt sakte før den blir varm, og funksjonen $$ f$$ uttrykker hvor mange liter per sekund pumpa klarer å pumpe $$ t$$ sekunder etter at den er slått på.

$$ f\left(t\right)=0,5\left(1-e^{-0,05t}\right)$$

a) Hvor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe 30 sekunder etter at den har blitt slått på?

b) Hvor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe etter at den har blitt varm?

c) Hvor mange liter klarer pumpa å pumpe det første minuttet?

d) Hvor lang tid tar det å fylle tanken?

3.9

Utløpstida for å senke vannivået i en vanntank fra en høyde $$ a$$ til en høyde $$ b$$ er gitt ved

$$ T=-{\int }_a^b\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy$$

$$ \mu $$ er en konstant som ofte blir kalt utstrømningskoeffisienten. $$ r$$ er radiusen til den sirkelformede åpningen i bunnen som vannet skal ut av. $$ g$$ er 9,8 m/s² (tyngdens akselerasjon), og $$ y$$ er høyden vannet står i tanken ved et tidspunkt, $$ t$$.

Videre er $$ a$$ høyden til vannet i tanken før tømmingen starter, mens $$ b$$ er høyden til vannet etter at den ønskede vannmengden er tappet ut.

For å forklare hva $$ A\left(y\right)$$ og $$ dy$$ er, må vi tenke oss at vi plasserer et koordinatsystem med origo i sentrum av bunnen av tanken, og at vi "deler" vannet i tanken i tynne skiver med høyde lik $$ dy$$. Da vil volumet av hver "vannskive" være gitt ved arealet av hver skive, $$ A\left(y\right)$$, multiplisert med høyden, $$ dy$$. Arealet av en skive vil da avhenge av radius for skiven, som vil være gitt ved aktuell $$ x$$-verdi.

For at denne formelen skal kunne brukes, må $$ A\left(y\right)$$ enten være konstant gjennom hele figuren eller kunne beskrives ved hjelp av et funksjonsuttrykk.

Vi benytter oss av en fast verdi for utstrømningskoeffisienten, $$ \mu =0,6$$.

a) En vanntank har form som en sylinder med radius lik 1 meter og høyde lik 2 meter. Hvor mye vann inneholder tanken når den er helt full?

b) Tanken er helt full, og den skal tømmes gjennom en åpning i bunnen av karet. Åpningen er sirkelformet og har radius 0,01 m. Bruk CAS til å beregne hvor lang tid tar det å tømme tanken.

c) En annen vanntank som også er sylinderformet og har har radius 1 meter, er 3 meter høy og er også full av vann. Tømmingen skjer også her gjennom en sirkelformet åpning i bunnen som har radius 0,01 meter. Bruk CAS til å finne tiden det tar å senke vannstanden 2 meter i denne tanken.

d) Sammenlign resultatene i a) og b). Vi tømmer ut like mye vann i begge tilfellene, så hvorfor blir tidene for tømmingene forskjellige?

e) Den samme formelen kan også brukes for å beregne utløpstida til et lite basseng som har form som et firkantet prisme og er fylt helt opp med vann. Bunnen har sidekanter som er 3 meter og 2 meter, mens høyden i bassenget er 1,05 meter. Hvor mye vann rommer bassenget når det er helt fullt?

f) Bestem hvor lang tid det tar å tømme bassenget. Åpningen er også her en sirkel med radius 0,01 meter.

g) Sammenlign tida det tar å tømme bassenget med tida det tok å tømme den sylinderformede tanken i b). Både bassenget og tanken er fylt med cirka 6 300 liter vann og skal tømmes helt. Hvorfor er utløpstidene forskjellige?

3.10

En liten lampeskjerm er beskrevet som det totale omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av to funksjonsuttrykk:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{-{\left(x-6\right)}^2+16}, x\in \left[6,10\right]$$

$$ g\left(x\right)=-x+10, x\in \left[0,6\right]$$

a) Tegn lampeskjermen ved hjelp av GeoGebra 3D.

b) Lampeskjermen skal dekoreres av en kunstner, og kunstneren trenger å vite hvor stor overflaten til hver av de to delene av lampeskjermen er.

Beregn overflaten til hver del når alle mål er gitt i cm. Bestem også den samlede overflaten.

3.11

Et litt spesielt drikkeglass framkommer ved omdreining av grafene til to funksjoner. Drikkeglasset har en indre del der man kan fylle drikke, men i tillegg er det være et "rom" mellom indre og ytre del som kan fylles med en væske med fin farge og/eller annet dekorativt innhold.

a) Bruk GeoGebra 3D for å tegne drikkeglasset når utgangspunktet er omdreining av grafene til funksjonene $$ f$$ og $$ g$$:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{2x-4}+1, x\in \left[2,12\right]$$

$$ g\left(x\right)=\sqrt{x}+2, x\in \left[0,12\right]$$

b) Beregn ved hjelp av CAS hvor mange liter drikke det er plass til i drikkedelen av glasset hvis det er fylt helt opp. Alle mål er i centimeter. NB: Vi ser bort fra at når glasset skal produseres i virkeligheten, må veggene ha en tykkelse, så i oppgavene regner vi veggene som "uendelig tynne".

c) Beregn hvor mange desiliter "dekorativ væske" det er plass til mellom de to delene.

3.1 a)

3.1 b)

3.1 c)

3.1 d)

3.1 e)

3.1 f)

3.1 g)

3.2 a)

3.2 b)

3.2 c)

3.2 d)

3.3 a)

3.3 b)

3.3 c)

3.3 d)

3.4

Løsning

Den samlede inntekten de neste 10 årene vil være cirka 1 834 millioner kroner.

3.5 a)

3.5 b)

3.5 c)

3.6 a)

3.6 b)

1import math
2
3# Definerer funksjon
4def f(x):
5    return 3.9*math.sin(0.27*x+2.91)+4.1
6    
7# Informasjon gis
8print("Funksjonen f(x)=3,9*sin(0,27x+2,9)+4,1 angir temperaturen gjennom et døgn i Stavanger.")
9print("Dette programmet gjør en numerisk beregning av gjennomsnittsverdien")
10print("til temperaturen fra et tidspunkt til et annet.")
11
12x1 = int(input("Skriv inn starttid, hel time: "))
13x2 = int(input("Skriv inn sluttid, hel time: "))
14
15antallRektangler = int(input("Skriv inn antall rektangler:"))
16
17dx=(x2-x1)/antallRektangler
18
19# Startverdi for x settes lik nedre grense for x
20xVerdi=x1
21
22#Startverdi for totaltAreal
23totaltAreal=0
24
25# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
26while xVerdi<x2:
27    # beregner høyden av rektangel
28    fx=f(xVerdi)
29    
30    # beregner areal av rektangel
31    areal=fx*dx
32    
33    # legger til beregnet areal totalt areal
34    totaltAreal=totaltAreal+areal
35    
36    # beregner neste x-verdi
37    xVerdi=xVerdi+dx
38    
39snitt=totaltAreal/(x2-x1)
40print(f"Gjennomsnittstemperaturen fra kl. {x1} til kl. {x2} er {snitt:.1f}.")

3.6 c)

3.7 a)

3.7 b)

3.7 c)

3.8

Løsning

a) Oppgaven spør etter $$ f\left(30\right)=0,388$$, se linje 2 i CAS-utklippet nedenfor. 30 sekunder etter at pumpa er slått på, pumper den 0,39 L/s.

b) Vi må finne ut hvilken verdi funksjonen går mot når $$ t$$ blir stor. Oppgaven spør etter $$ \underset{t\to \infty }{\lim }f\left(t\right)=0,5$$, se linje 3 i CAS-utklippet nedenfor. Etter at pumpa har blitt varm, klarer den å pumpe 0,5 L/s.

c) Oppgaven spør etter samlet mengde når $$ t\in \left[0,60\right]$$, som betyr integralet av funksjonen fra 0 til 60. Se linje 4 i CAS-utklippet. I løpet av det første minuttet klarer pumpa å pumpe 20,5 L.

d) Oppgaven spør etter hva den øvre integrasjonsgrensa skal være for at integralet av funksjonen fra 0 og oppover skal bli 500. Se linje 5 og 6 i CAS-utklippet. Pumpa må stå på i 17 minutter for å fylle tanken på 500 L.

3.9 a)

3.9 b)

Løsning

Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:

$$ \begin{array}{rcl}T & =& -{\int }_a^0\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy\\ & =& -{\int }_2^0\frac{\mathrm{\pi }·1^2}{0,6\pi {\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\\ & =& -{\int }_2^0\frac{1}{0,6·{\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\end{array}$$

Det bestemte integralet beregnes i CAS:

Det tar 10 642 sekunder å tømme vanntanken, det vil si cirka 3 timer.

3.9 c)

Løsning

$$ \mu =0,6$$. $$ r=0,01$$.

Radius for tanken lik 1 meter gir $$ A\left(y\right)=\mathrm{\pi }·1^2=\mathrm{\pi }$$.

Vannstanden skal senkes fra $$ a=3 \mathrm{m}$$ til $$ b=1 \mathrm{m}$$.

Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:

$$ \begin{array}{rcl}T & =& -{\int }_a^b\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy\\ & =& -{\int }_3^1\frac{\mathrm{\pi }}{0,6\pi {\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\\ & =& -{\int }_3^1\frac{1}{0,6·{\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\end{array}$$

Det bestemte integralet beregnes i CAS:

Det tar 5 509 sekunder å tømme tanken, det vil si cirka 1,5 time.

3.9 d)

3.9 e)

3.9 f)

Løsning

$$ \mu =0,6$$. $$ r=0,01$$.

Arealet av bunnflaten, $$ A\left(y\right)=2·3 =6$$.

Vannstanden skal senkes fra $$ a=1,05 \mathrm{m}$$ til $$ b=0 \mathrm{m}$$.

Vi setter inn verdiene i uttrykket for utløpstida:

$$ \begin{array}{rcl}T & =& -{\int }_{1,5}^0\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy\\ & =& -{\int }_{1,5}^0\frac{6}{0,6\pi {\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\end{array}$$

Det bestemte integralet beregnes i CAS:

Det tar 14 727 sekunder å tømme det prismeformede bassenget, det vil si cirka 4 timer.

3.9 g)

3.10 a)

Løsning

Vi tegner hvert omdreiningslegeme for seg:

Overflate(u,f(u)sin(t),f(u)cos(t),u,6,10,t,0,2pi)

Overflate(u,g(u)sin(t),g(u)cos(t),u,0,6,t,0,2pi)

3.10 b)

Løsning

Toppen som har form som ei halvkule, har en overflate som er tilnærmet lik 101 cm².

Den nederste delen som har form som ei avkortet kjegle, har en overflate som er tilnærmet lik 373 cm².

Den totale overflaten er summen av de to overflatene, som er 474 cm².

3.11 a)

Løsning

3.11 b)

Løsning

Det er plass til 533 cm³ drikke i drikkedelen av glasset hvis det er fylt helt opp. Dette tilsvarer 0,533 liter drikke.

3.11 c)

Løsning

Det er plass til 192 cm³ væske i drikkebegerets "mellomrom". Dette tilsvarer 1,92 desiliter.