Njuike sisdollui
Bargobihttá

Trigonometri – blandede oppgaver

Her kan du øve på å løse blandede oppgaver til kapittelet om trigonometri.

Oppgaver

2.1

Finn sinus-, cosinus- og tangensverdien til disse vinklene uten hjelpemidler:

30°, 2π3, -π3, 7π6, -135°, 3π, 300°, -8π3

Tips til oppgaven

Det er lurt å tegne en enhetssirkel og bruke den når du skal finne verdiene.

2.2

Finn tilnærmede verdier til sinus-, cosinus- og tangensverdien til disse vinklene med CAS:

15°, 15, -890°, π5

Tips til oppgaven

Sett vinklene inn i ei liste først.

2.3

Finn

  • amplitude

  • likevektslinje

  • periode

  • faseforskyvning

  • koordinatene til topp- og bunnpunktene

  • nullpunktene

til funksjonene hvis det er mulig. Gjør så mye som mulig uten hjelpemidler.

  • Tegn til slutt grafen til funksjonene. Kontroller at grafen stemmer med det du har funnet.

a) fx=sinx

b) gx=32sin2x+π3-1

c) hx=2tanx2

d) ix=-3sinπ3-2x

e) jx=2cos2x-3

2.4

Finn med CAS

  • amplitude

  • likevektslinje

  • periode

  • faseforskyvning

  • koordinatene til topp- og bunnpunktene

  • nullpunktene

til funksjonene.

  • Tegn til slutt grafen til funksjonene.

a) mx=2,3sin0,8x+1-2

b) nx=0,15sin6,51x-2,6+0,08

2.5

a) Finn den deriverte funksjonen til funksjonene i oppgave 2.3 uten hjelpemidler.

b) Finn den deriverte funksjonen til funksjonene i oppgave 2.4 med CAS.

2.6

Løs likningene uten hjelpemidler om det er mulig.

a) 4cosx-2=0

b) sinx=123 ,   x[0,4π

c) 2sinx=2

d) tan2x=-3

e) 2sin2x-3=0 ,  0x<2π

f) 3sin4x=4 ,  0x<2π

g) 2tan3x-3=0

h) 2cos4x-π3-3=0

i) -2sinx2+1 = 0 ,   x[-2π,2π

j) sin2x+2cos2x-cosx=7

k) Løs likningen sinx·cosx-12cosx+22sinx=24 ved å vise at likningen kan omformes til sinx+acosx+b=0.

Tips til oppgave k)

Multipliser ut uttrykket sinx+acosx+b og sett opp tre betingelser for at det skal være mulig å skrive likningen på denne måten.

2.7

Finn grafisk den generelle løsningen av likningen fx=gx.

2.8

Løs likningene for hånd hvis det er mulig. Kontroller løsningen med et digitalt verktøy.

a) 2arcsin2x=π

b) 2arccosx2-3=0

2.9

a) Yasmin skal løse likningen

2sinx=-3 ,   x[0,2π

Hva er feil i løsningen av likningen?

2sinx = -3sinx = -123x = 4π3      x= 2π-4π3=2π3

L=2π3,4π3

b) Jomar skal løse likningen

2sin22x·cos2x+cos22x=cos2x ,   x[0,2π

Hva er feil i løsningen av likningen?

2sin22x·cos2x+cos22x = cos2x     |·1cos2x2sin22x+cos2x = 121-cos22x+cos2x = 12-2cos22x+cos2x = 1-2cos22x+cos2x+1 = 0cos2x = -1±12-4·-2·12·-2= -1±1+8-4= 1±34

cos2x = 1        cos2x=-122x = k·2π x = k·π     2x = 2π3+k·2πx = π3+k·2π   2x = 2π-2π3+k·2π= 4π3+k·2πx = 2π3+k·2π

Den første løsningen gir løsningene x=0 og x=π.
Den andre løsningen gir løsningen x=π3.
Den tredje løsningen gir løsningen x=2π3.

Løsningsmengden blir

L=0,π3,2π3,π

c) Jade skulle løse likningen

-cos2x+sin2x=1

Løs først likningen med CAS og kontroller at Jade har kommet fram til riktig løsning på likningen.

Jade har likevel to feil i løsningen sin. Hvilke to feil er det? Forklar hvorfor hun ender opp med riktig svar på tross av de to feilene.

-cos2x+sin2x=1

A=a2+b2=-12+12=2

tanφ = ba=1-1=-1φ = 3π4+π=7π4

2sin2x+7π4 = 1sin2x+7π4 = 12=122

2x+7π4 = π4+k·2π      2x+7π4=3π4+k·2π2x = -6π4+k·2π      2x=4π4+k·2πx = -3π4+k·π      x=π2+k·π

d) Jørund skulle løse likningen

12arcsinx+π3=0

Hva er feil i løsningen?

12arcsinx+π3 = 012arcsinx = -π3arcsinx = -2π3sinarcsinx = sin-2π3x = -123

2.10

Funksjonen f er gitt ved

fx=sin2x

Vi ønsker å finne den omvendte funksjonen f-1 til f når vi krever at definisjonsmengden til f skal inneholde tallet 0. Matematisk: 0Df.

a) Vis at funksjonen f er stigende for x=0.

b) Finn den største mulige definisjonsmengden Df som funksjonen f kan ha og samtidig ha en omvendt funksjon når vi krever at definisjonsmengden Df inneholder 0.

2.11

Vi ønsker å finne den omvendte funksjonen til

fx=cos2x+π4

a) Bruk verdimengden til arccosx til å finne en definisjonsmengde Df som gjør at funksjonen f blir én-entydig.

b) Finn den omvendte funksjonen f-1 til f.

c) Vi setter f-1x=g(x). Finn g'x.

2.12

Skriv opp en likning som du kan løse ved hjelp av enhetssirklene nedenfor.

a)

b)

c)

2.13

Løs ulikhetene for hånd og kontroller svaret med CAS.

a) sinx-120 ,   x[0,2π

Tips til oppgaven

Tegn en enhetssirkel og bruk den til å løse oppgaven.

b) cos2x-14>0 ,   x[0,2π

Tips til oppgaven

Her kan det lønne seg å bruke vanlig framgangsmåte for å løse ulikheter.

2.14

Vi har gitt rekka

x+x·sinx+x·sin2x+x·sin3x+ ...

a) Vis at rekka er geometrisk og finn kvotienten k i rekka.

b) For hvilke verdier av x er rekka konvergent?

c) Finn et uttrykk for summen S av rekka.

2.15

Vi har gitt rekka

x+1+2cosxx+1+4cos2xx+1+8cos3xx+1+ ...

a) Vis at rekka er geometrisk.

b) For hvilke verdier av x er rekka konvergent når x[0,2π? Løs oppgaven både ved regning for hånd og med CAS.

c) Finn et uttrykk for summen S av rekka.

2.16

Vi har gitt rekka

sinx+cos2xsinx+cos22xsinx+ ...

a) Vis at rekka er geometrisk.

b) For hvilke verdier av x er rekka konvergent?

c) Finn et uttrykk for summen S av rekka.

Løsninger

2.1

Løsning

sin30°=12, cos30°=123, tan30°=133

sin2π3=sinπ3=123
cos2π3=-cosπ3=-12
tan2π3=-tanπ3=-3

sin-π3=-sinπ3=-123
cos-π3=cosπ3=12
tan-π3=-tanπ3=-3

sin7π6=sin-π6=-sinπ6=-12
cos7π6=cos5π6=-cosπ6=-123
tan7π6=tanπ6=133

sin-135°=-sin45°=-122
cos-135°=cos135°=-cos45°=-122
tan-135°=tan45°=1

sin3π=sinπ=0
cos3π=cosπ=-1
tan3π=0 fordi sin3π=0

sin300°=-sin60°=-123
cos300°=cos60°=12
tan300°=-tan60°=-3

sin-8π3=sin-2π3=-sin2π3=-sinπ3=-123
cos-8π3=cos-2π3=cos2π3=-cosπ3=-12
tan-8π3=tan-2π3=tanπ3=3

2.2

Løsning

Ingen av vinklene har kjente, eksakte verdier. Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra. For å spare inntasting legger vi de fire vinklene inn i ei liste.

2.3 a)

Løsning

fx=sinx=A·sinkx+𝜑+d

Amplituden A=1.

y-verdien til likevektslinja d=0, så likevektslinja er x-aksen.

k=1, som gir at perioden p=2πk=2π1=2π.

𝜑=0, som gir at faseforskyvningen er 0.

Sinusfunksjonen har toppunkter for x=π2+k1·2π der k1, og y-koordinatene er 1. Bunnpunktene er for x=3π2+k1·2π, og y-koordinatene er -1.

Siden likevektslinja er x-aksen, vil nullpunktene være for x-verdier midt mellom x-verdiene til topp- og bunnpunktene. Nullpunktene er derfor x=k1·π.

Grafen til f:

2.3 b)

Løsning

gx=32sin2x+π3-1=A·sinkx+𝜑+d

Amplituden A=32.

y-verdien til likevektslinja d=-1, så likevektslinja er linja y=-1.

k=2, som gir at perioden p=2π2=π.

𝜑=π3, som gir at faseforskyvningen
xf=-𝜑k=-π32=-π6.

g har toppunkter når

sin2x+π3 = 12x+π3 = π2+k1·2π2x = π6+k1·2πx = π12+k1·π

der k1, og y-koordinatene er -1+32=12.

Vi finner et bunnpunkt en halv periode etter et toppunkt, det vil si for x=π12+π2=7π12.

g har derfor bunnpunkter for x=7π12+k1·π, og y-koordinatene er -1-32=-52.

Nullpunktene finner vi ved å løse likningen gx=0. Denne likningen gir ingen eksakte trigonometriske verdier vi kan finne vinkelen til manuelt, så vi bruker CAS i GeoGebra.

Nullpunktene er derfor x=-0,16+k1·π      x=0,68+k1·π.

Grafen til g:

2.3 c)

Løsning

Siden h er en tangensfunksjon, gir det ikke mening å snakke om amplitude, likevektslinje eller topp- og bunnpunkter. Vi ser også bort fra faseforskyvning.

Periode: p2=π     p=2π  (Husk at tangensfunksjonen tanx har periode π.)

Nullpunkter:

hx = 02tanx2 = 0tanx2 = 0x2 = k·π,   kx = k·2π

Grafen til h:

2.3 d)

Løsning

ix=-3sinπ3-2x=A·sinkx+𝜑+d

Her har vi i utgangspunktet negativ verdi for A og k. Derfor skriver vi om funksjonen ved hjelp av sin-x=-sinx.

ix = -3sinπ3-2x= -3sin-2x-π3= 3sin2x-π3

Amplituden A=3.

y-verdien til likevektslinja d=0, så likevektslinja er x-aksen.

k=2, som gir at perioden p=2π2=π.

𝜑=-π3, som gir at faseforskyvningen xf=-𝜑k=--π32=π6.

i har toppunkter når

sin2x-π3 = 12x-π3 = π2+k1·2π2x = 5π6+k1·2πx = 5π12+k1·π

der k1, og y-koordinatene er 3.

Vi finner et bunnpunkt en halv periode etter et toppunkt, det vil si for x=5π12+π2=11π12.

i har derfor bunnpunkter for x=11π12+k1·π, og y-koordinatene er -3.

Nullpunkter:

ix = 03sin2x-π3 = 0sin2x-π3 = 02x-π3 = k1·2π      2x-π3 = π+k1·2π

Vi kan slå sammen disse to løsningene til én. Vi får at nullpunktene er

2x-π3 = k1·π2x = π3+k1·πx = π6+k1·π2

Grafen til i:

2.3 e)

Løsning

Her skriver vi funksjonen om til en sinusfunksjon.

jx = 2cos2x-3= 2sinπ2-2x-3= 2sinπ-π2-2x-3= 2sin2x+π2-3=A·sinkx+𝜑+d

Her brukte vi først sammenhengen mellom sinus og cosinus til komplementvinkler. Etterpå brukte vi at supplementvinkler har samme sinusverdi for å unngå negativ verdi for k.

Amplituden A=2.

y-verdien til likevektslinja d=-3, så likevektslinja er y=-3.

k=2, som gir at perioden p=2π2=π.

𝜑=π2, som gir at faseforskyvningen xf=-𝜑k=-π22=-π4.

Funksjonen har toppunkter når

sin2x+π2 = 12x+π2 = π2+k1·2π2x = k1·2πx = k1·π

der k1, og y-koordinatene er -3+2=-1.

Vi finner et bunnpunkt en halv periode etter et toppunkt, det vil si for x=π2.

j har derfor bunnpunkter for x=π2+k1·π, og y-koordinatene er -3-2=-5.

Funksjonen har ingen nullpunkter siden y-koordinaten til toppunktene er -1.

Grafen til j:

2.4 a)

Løsning

Vi starter med å definere de fire størrelsene A, k, 𝜑 og d, og vi bruker disse til å skrive inn funksjonen mx. Deretter regner vi ut perioden p, faseforskyvningen xf, x-koordinaten xt til ett av toppunktene, x-koordinaten xb til ett av bunnpunktene og til slutt nullpunktene.

x-koordinatene til toppunktene er 0,71+k1·5π2,  k1 og y-koordinaten er -2+2,3=0,3.

x-koordinatene til bunnpunktene er -3,21+k1·5π2, og y-koordinaten er -2-2,3=-4,3.

Nullpunktene er x=0,07+7,85k1      x=1,36+7,85k1

Grafen til m:

2.4 b)

Løsning

Vi gjør tilsvarende som i oppgave a). Vi starter med å definere de fire størrelsene A, k, 𝜑 og d, og vi bruker disse til å skrive inn funksjonen mx. Deretter regner vi ut perioden p, faseforskyvningen xf, x-koordinaten xt til ett av toppunktene, x-koordinaten xb til ett av bunnpunktene og til slutt nullpunktene.

x-koordinatene til toppunktene er 0,64+k1·0,97,  k1 og y-koordinaten er 0,08+0,15=0,23.

x-koordinatene til bunnpunktene er 0,16+k1·0,97, og y-koordinaten er 0,08-0,15=-0,07.

Nullpunktene er x=0,31+0,97k1      x=0,97+0,97k1

Grafen til n:

2.5 a)

Løsning

fx = sinxf'x = cosx

gx = 32sin2x+π3-1g'x = 32cos2x+π3·2= 3cos2x+π3

hx = 2tanx2h'x = 2·1cos2x·12= 1cos2x

ix = -3sinπ2-2xi'x = -3cosπ2-2x-2= 6cosπ2-2x

jx = 2cos2x-3j'x = 2-sin2x·2= -4sin2x

2.5 b)

Løsning

2.6 a)

Løsning

4cosx-2 = 0cosx =12x = π3+k·2π      x=-π3+k·2π,k  

2.6 b)

Løsning

sinx = 123 ,   x[0,4πx = π3+k·2π      x=2π3+k·2π

For begge løsningene får vi løsninger i det oppgitte området når k=0  k=1.

L=π3,2π3,7π3,8π3

2.6 c)

Løsning

2sinx = 2sinx = 122x = π4+k·2π      x=3π4+k·2π,k  

2.6 d)

Løsning

tan2x = -32x = 2π3+k·πx = π3+k·π2,  k

2.6 e)

Løsning

2sin2x-3 = 0 ,  0x<2πsin2x = 1232x = π3+k·2π      2x=2π3+k·2πx = π6+k·π      x=π3+k·π,k  

For begge løsningene får vi løsninger i det oppgitte området når k=0  k=1.

L=π6,π3,7π6,4π3

2.6 f)

Løsning

3sin4x = 4 ,  0x<2πsin4x = 43

Likningen har ingen løsning siden tallet på høyre side er større enn 1.

L=

(Løsningsmengden er den tomme mengden.)

2.6 g)

Løsning

2tan3x-3 = 0tan3x = 323x = arctan32+k·πx = 13 arctan32+k·π3

Løsningen kan godt presenteres slik, men likningen må løses med digitale hjelpemidler dersom vi ønsker en tilnærmet verdi.

2.6 h)

Løsning

2cos4x-π3-3 = 0cos4x-π3 = 1234x-π3 = π6+k·2π      4x-π3=-π6+k·2π4x = π2+k·2π       4x=π6+k·2πx = π8+k·π2       x=π24+k·π2,k  

2.6 i)

Løsning

-2sinx2+1 = 0 ,   x[-2π,2πsinx2 = 12= 122x2 = π4+k·2π      x2=3π4+k·2πx = π2+k·4π      x=3π2+k·4π

Vi får bare løsninger når k=0.

L=π2,3π2

2.6 j)

Løsning

sin2x+2cos2x-cosx=7

Siden høyresiden er et såpass stort tall som 7, kan vi mistenke at likningen ikke har noen løsning. Vi kan argumentere slik:

Høyresiden er 7. På venstre side har vi tre ledd som kan være maksimalt 1, 2 og 1. Venstresiden kan derfor maksimalt bli 4, og likningen har ingen løsning.

Dersom vi prøver å løse denne på vanlig måte uten hjelpemidler, kan løsningen være slik:

Vi starter med å omforme sin2x ved hjelp av enhetsformelen slik at vi får en andregradslikning i cosx.

1-cos2x+2cos2x-cosx = 7cos2x-cosx-6 = 0cosx-3cosx+2 = 0cosx = 3      cosx=-2

Ingen av disse har løsning, så den opprinnelige likningen har derfor heller ingen løsning.

2.6 k)

Løsning

Vi multipliserer ut uttrykket sinx+acosx+b.

sinx+acosx+b=sinxcosx+bsinx+acosx+ab

Vi sammenlikner nå dette med uttrykket på venstre side av likningen etter at vi har flyttet alle ledd på venstre side:

sinx·cosx-12cosx+22sinx-24=0

Dersom omskrivingen skal fungere, må tallene foran sinx og cosx stemme overens. Dette gir

a=-12    b=22

Det er de to første betingelsene. Samtidig må vi sjekke at produktet av a og b blir lik -22, som blir det tredje vilkåret.

a·b=-12·22=-24

Det tredje vilkåret er oppfylt. Det betyr at likningen kan omformes.

sinx+acosx+b = 0sinx-12cosx+22 = 0sinx-12 = 0      cosx+22=0sinx = 12      cosx=22

sinx = 12x = π6+k·2π      x=5π6+k·2πk  

cosx = -22x = 3π4+k·2π      x=-3π4+k·2πk  

Løsningsmengden blir

L=-3π4+k·2π,π6+k·2π,3π4+k·2π,5π6+k·2π

2.7 a)

Løsning

Vi ser at vi får to serier med skjæringspunkter. I den ene serien har skjæringspunktene y-koordinat 0,5, i den andre y-koordinat -0,25. x-verdiene ligger med fast avstand π2 til hverandre. Vi leser av x-verdien π8 til ett av skjæringspunktene. Da kan vi skrive løsningen som

L=π8+k·π2,  k

2.7 b)

Løsning

Vi ser at vi får to serier med skjæringspunkter. Den ene serien får vi når den rette linja skjærer en stigende graf. Ett av disse skjæringspunktene har x-koordinat π8. Den andre serien får vi når den rette linja skjærer en synkende graf. Ett av disse skjæringspunktene har x-koordinat π4.

For begge seriene er avstanden fra skjæringspunkt til skjæringspunkt π2. Vi må derfor skrive opp to uttrykk for løsningen.

L=π8+k·π2, π4+k·π2,  k

2.7 c)

Løsning

Vi ser at vi får to serier med skjæringspunkter. Den ene serien får vi når begge grafene er stigende. Ett av disse skjæringspunktene har x-koordinat 0. Den andre serien får vi når begge grafene er synkende. Ett av disse skjæringspunktene har x-koordinat 45 av π4, det vil si 4π20=π5.

For begge seriene er avstanden fra skjæringspunkt til skjæringspunkt π2. Vi må derfor skrive opp to uttrykk for løsningen.

L=k·π2, π5+k·π2,  k

2.8 a)

Løsning

2arcsin2x = πarcsin2x = π2

π2 er akkurat innenfor verdimengden til arcsinx, så likningen har løsning. Vi får

sinarcsin2x = sinπ22x = 1x = 12

2.8 b)

Løsning

2arccosx2-3 = 0arccosx2-3 = 0

0 er akkurat innenfor verdimengden til arccosx, så likningen har løsning. Vi får

cosarccosx2-3 = cos0x2-3 = 1x2 = 4x = -2      x=2

2.9 a)

Løsning

Yasmin har gjort feil når hun skal finne den andre løsningen. Hun må finne supplementvinkelen til 4π3.

Riktig løsning blir

2sinx = -3sinx = -123x = 4π3      x= π-4π3=-π3x = 4π3      x= 2π-π3=5π3

L=4π3,5π3

2.9 b)

Løsning

Jomar må huske å sjekke om cos2x=0 kan være løsning i likningen siden han dividerer med cos2x. Siden cos2x er felles faktor i alle ledd i likningen, vil cos2x=0 løse likningen siden alle leddene blir null.

Jomar har også glemt å dele alle ledd på 2 to steder når han går fra 2x til x.

Den fullstendige løsningen blir som følger:

2sin22x·cos2x+cos22x = cos2x ,   cos2x02sin22x+cos2x = 121-cos22x+cos2x = 12-2cos22x+cos2x = 1-2cos22x+cos2x+1 = 0cos2x = -1±12-4·-2·12·-2= -1±1+8-4= 1±34

cos2x = 1        cos2x=-122x = k·2π x = k·π     2x = 2π3+k·2πx = π3+k·π   2x = 2π-2π3+k·2π= 4π3+k·2πx = 2π3+k·π

Den første løsningen gir løsningene x=0 og x=π.

Den andre løsningen gir løsningen x=π3 og x=4π3.

Den tredje løsningen gir løsningen x=2π3 og x=5π3.

Så må vi sjekke

cos2x = 02x = π2+k·2π      2x=3π2+k·2π

Disse kan slås sammen til

2x =π2+ k·πx =π4+ k2·π

Dette gir løsningene π4,3π4,5π4 og 7π4 i tillegg til de andre løsningene.

Løsningsmengden blir

L=0,π4,π3,2π3,3π4,π,5π4,4π3,5π3,7π4

2.9 c)

Løsning

Jade gjør disse to feilene:

  1. Hun bytter om på konstantene a og b. a skal være konstanten foran sinusleddet slik at det riktige er at a=1 og b=-1

  2. Hun velger feil vinkel 𝜑. Ut ifra hennes resultat er a,b=-1,1, og 𝜑 bør derfor være en vinkel i andre kvadrant. Hun velger derimot den andre vinkelen med samme tangensverdi, som ligger i fjerde kvadrant.

Med riktig valg av a og b blir a,b=1,-1. Vinkelen 𝜑 skal derfor ligge i fjerde kvadrant. Vi får fortsatt at tan𝜑=-1. Derfor ender Jade opp med riktig vinkel 𝜑 på tross av de to feilene.

De to feilene påvirker ikke utregningen av konstanten A.

2.9 d)

Løsning

Når Jørund har kommet til tredje linje av løsningen, kan han stoppe:

arcsinx=-2π3

Verdimengden til arcsinx er -π2,π2. -2π3 ligger utenfor dette intervallet, så likningen har ingen løsning.

2.10 a)

Løsning

Vi deriverer f:

f'x=cos2x·2=2cos2x

Vi får

f'0=2·cos2·0=2·1=2>0

Den deriverte er positiv når x=0, som betyr at funksjonen er stigende ved denne x-verdien.

2.10 b)

Løsning

Vi må finne topp- og bunnpunktene til f for å finne den største mulige definisjonsmengden.

Vi kan analysere funksjonen ved hjelp av den deriverte. Vi velger her å bruke informasjon vi kan lese rett ut av funksjonsuttrykket. Fra siden om periode, amplitude, frekvens og faseforskyvning har vi at vi kan finne perioden p med

p=2πk=2π2=π

Vi har at f0=sin2·0=0. Da vet vi at x=0 er midt mellom et bunnpunkt og et toppunkt. Avstanden i x-retning mellom disse ekstremalpunktene blir en halv periode, eller π2. Den største mulige definisjonsmengden blir derfor

Df=-π4,π4

2.11 a)

Løsning

På teorisiden om omvendte funksjoner har vi at verdimengden for den omvendte cosinusfunksjonen arccosx er 0,π. Vi velger at verdiene for 2x+π4 må være innenfor dette området.

Dette gir

2x+π4 = 02x = -π4x = -π8

og

2x+π4 = π2x = 3π4x = 3π8

Definisjonsmengden for f blir

Df=-π8,3π8

2.11 b)

Løsning

Vi setter y=fx og får

cos2x+π4 = y2x+π4 = arccosy+k·2π   2x+π4 = -arccosy+k·2πk  

cos2x+π4 er en synkende funksjon i den definisjonsmengden vi har valgt. arccosx er en synkende funksjon, så vi kan se bort fra løsningen på tredje linje.

Fra den første løsningen får vi

2x = arccosy-π4+k·2πx = 12arccosy-π8+k·π

Vi må finne den riktige verdien for k. Vi har at

f-π8 = cos2·-π8+π4= cos-π4+π4= cos0= 1

Da må vi kreve at

f-11 = -π812arccos1-π8+k·π = -π812·0+k·π = 0k = 0

Vi får derfor

f-1x=12arccosx-π8

2.11 c)

Løsning

g'x=12arccosx'=-121-x2

2.12 a)

Løsning

Enhetssirkelen viser supplementvinklene π4 og 3π4, som begge har sinusverdien 122. Vi kan da bruke enhetssirkelen til å løse likningen

sinx=122

2.12 b)

Løsning

Enhetssirkelen viser de to vinklene 5π6 og 2π-5π6=7π6

som har samme cosinusverdi -123. Enhetssirkelen kan hjelpe oss med å løse likningen

cosx=-123

2.12 c)

Løsning

Figuren viser en enhetssirkel med vinkelen π6 og vinkelen som er π større. Skjæringspunktet mellom det venstre vinkelbeinet til vinkelen π6 og linja x=1 har x-koordinaten 133. Dette er derfor tangensverdien til de to vinklene. Enhetssirkelen kan hjelpe oss å løse likningen

tanx=133

2.13 a)

Løsning

Vi ordner ulikheten.

sinx-12  0sinx  12

Vi tegner en enhetssirkel og markerer vinklene der sinx=12.

Vi har at sinx=12 når x=π6  x=5π6. Det er når vinkelen x er i det skraverte området på figuren over at sinus til vinkelen er er mindre eller lik 12. Siden vi bare skal ha løsninger i første omløp, blir løsningen på ulikheten

L=0,π6[5π6,2π

Vi får samme svar med CAS i GeoGebra, men skrevet på en annen måte.

2.13 b)

Løsning

Vi starter med å finne ut når uttrykket på venstre side er null. Etterpå tester vi uttrykket for x-verdier på alle sider av disse nullpunktene.

cos2x-14 = 0cos2x-122 = 0cosx-12cosx+12 = 0cosx+12 = 0    cosx-12=0cosx = 12    cosx=-12

x = π3  x=2π-π3  x= 2π3  x=2π-2π3x = π3  x=5π3  x= 2π3  x=4π3

Det er bare i disse nullpunktene at utrykket kan skifte fortegn. Vi tester uttrykket:

x0π2π3π213π6
cos2x-1434-π434-π41232-14=12

Ulikheten spør etter når uttrykket er større enn 0. Ut ifra tabellen får vi at

L=[0,π32π3,4π35π3,2π

Vi får det samme svaret med CAS i GeoGebra.

2.14 a)

Løsning

Vi sjekker om rekka kan være geometrisk. Vi regner ut forholdet mellom to naboledd for de leddene som er oppgitt:

a2a1=x·sinxx=sinx

a3a2=x·sin2xx·sinx=sinx

a4a3=x·sin3xx·sin2x=sinx

Vi ser at hvert nye ledd får en ekstra faktor sinx. Rekka er derfor geometrisk med kvotient

k=sinx

2.14 b)

Løsning

Vi har at ei geometrisk rekke konvergerer når

-1<k<1

Dette gir

-1<sinx<1

Dette er oppfylt for alle x unntatt når

sinx=1    sinx=-1

Rekka konvergerer derfor for alle reelle tall unntatt når

x=π2+n·π

2.14 c)

Løsning

Rekka er uendelig. Da får vi

S=a11-k=x1-sinx

2.15 a)

Løsning

Her må vi se på x+1 som a1. Vi sjekker om rekka er geometrisk. Da får vi

a2a1=2cosxx+1x+1=2cosx

a3a2=4cos2xx+12cosxx+1=2cosx

a4a3=8cos3xx+14cos2xx+1=2cosx

Vi ser at hvert nye ledd får en ekstra faktor 2cosx. Rekka er derfor geometrisk med kvotient

k=2cosx

2.15 b)

Løsning

Rekka konvergerer når

-1<2cosx<1
-12<cosx<12

Fra enhetssirkelen får vi at dette er oppfylt når

xπ3,2π34π3,5π3

I CAS ser løsningen slik ut:

2.15 c)

Løsning

S=a11-k=x+11-2cosx

2.16 a)

Løsning

Vi sjekker om rekka kan være geometrisk.

a2a1=cos2xsinxsinx=cos2x

a3a2=cos22xsinxcos2xsinx=cos2x

Vi ser at hvert nye ledd får en faktor cos2x. Vi får at rekka er geometrisk med kvotient

k=cos2x

2.16 b)

Løsning

Rekka konvergerer når

-1<cos2x<1

Dette er oppfylt for alle x unntatt når

2x = nπ,   nx = n·π2

2.16 c)

Løsning

S = a11-k=sinx1-cos2x=sinx1-cos2x-sin2x= sinx1-1-sin2x-sin2x=sinx2sin2x= 12sinx

CC BY-SA 4.0Dán lea/leat čállán Bjarne Skurdal.
Maŋemusat ođastuvvon 2022-06-08