Njuike sisdollui
Bargobihttá

Geometri i rommet – blandede oppgaver

Her kan du øve på å regne med vektorer, kurver, plan og andre geometriske former i tre dimensjoner.

Oppgaver

4.1

I ABC er A=-1,0,1, B=1,-1,0 og C=0,1,-1.

a) Finn arealet av ABC uten hjelpemidler. Kontroller svaret med CAS.

b) Finn omkretsen av ABC uten hjelpemidler.

c) Kontroller uten hjelpemidler utregningen av arealet av trekanten ved å bruke en annen formel for arealet av en trekant.

4.2

Vi har gitt punktene A1,1,1, B3,3,2 og C2,1,2. Finn BAC uten hjelpemidler. Kontroller svaret med CAS.

4.3

Vi har gitt punktene A(2,3,7), B(3,5,2), C(1,1,5) og D3,5,t der t er en vilkårlig konstant.

a) Bestem t slik at ABAD. Løs oppgaven uten hjelpemidler.

b) Bestem t slik at ABCD. Løs oppgaven uten hjelpemidler.

4.4

(Oppgave 3 del 1 eksamen R2 høsten 2012)

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Vi har gitt punktene A(1,1,1), B(2,1,5) og C(3,7,3).

a) Undersøk om ABC er rettvinklet.

b) Bestem koordinatene til et punkt D slik at firkanten ABCD blir et parallellogram.

4.5

(Basert på oppgave 3 del 1 eksamen R2 våren 2013)

Løs oppgaven uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS.

Punktene A1,-1,0, B3,1,1 og C0,0,0 er gitt.

a) Finn arealet av ABC.

b) Bestem AB·AC. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ABC på en annen måte enn i oppgave a).

4.6

Gitt punktene A1,1,1, B3,3,2 og C2,1,2.

a) Finn uten hjelpemidler arealet og omkretsen til trekanten ABC.

b) Finn BAC.

c) Kontroller svarene i a) og b) med CAS.

4.7

(Basert på oppgave 3 del 2 eksamen R2 høsten 2012)

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Vi har gitt vektorene a, b og c. Ingen av vektorene er 0.

a) Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre

  1. når a·b=0

  2. når a×b=0

  3. når a·b×c=0

b) Vis at

a×b2+a·b2=a2·b2

c) Forklar at arealet A av trekanten utspent av vektorene a og b kan skrives som

A=12a2·b2-a·b2

d) Kommenter hva som skjer med arealet A i oppgave c), for hvert av de to tilfellene a·b=0 og a×b=0.

e) Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av trekant ABC når A=1,1,1, B=2,3,4 og C=3,1,5.

4.8

(Basert på oppgave 3 del 2 eksamen R2 våren 2013)

Skissen nedenfor viser en pyramide OABCD som er plassert i et tredimensjonalt koordinatsystem. Fire av hjørnene i pyramiden er O0,0,0, A3,0,0, B3,3,0 og D0,0,4.

a) Finn koordinatene til C når du får vite at grunnflata i pyramiden er kvadratisk.

b) Bestem arealet av sideflata ABD i pyramiden.

c) Sideflata ABD ligger i et plan α. Vis uten hjelpemidler at planet α har likningen

4x+3z-12=0

Kontroller resultatet med CAS.

d) Bestem uten hjelpemidler avstanden fra punktet O til planet α. Kontroller resultatet med CAS.

e) Bestem vinkelen mellom de to planene som sideflatene ABD og BCD ligger i.

f) En drone kommer flyvende langs linja l gitt ved parameterframstillingen

l:x=ty=2z=2

Avgjør om dronen kolliderer med pyramiden. Finn i så fall punktet der dronen treffer pyramiden.

4.9

To fly befinner seg i nærheten av hverandre. Posisjonen til fly A er gitt ved parameterframstillingen

m:x=-8+t10y=-2+t20z=9-t100, t0

Posisjonen til fly B er gitt ved

n:x=7-t20y=-7+t10z=7+t100, t0

der posisjonen er målt i km og tida i sekunder.

a) Hva er farten til flyene?

b) Kolliderer flyene? Eventuelt når og hvor kolliderer de?

c) Forklar hvorfor flyene ikke har noen akselerasjon.

4.10

(Basert på oppgave 6 del 2 eksamen R2 høsten 2013)

Ei rett linje i planet skjærer koordinataksene i Aa,0 og B0,b. Se skissen nedenfor.

a) Vis at likningen til linja kan skrives

y=-bax+b

b) Vis at dette også kan skrives

xa+yb=1

Et plan α i rommet skjærer koordinataksene i Aa,0,0, B0,b,0 og C0,0,c. Se skissen nedenfor.

c) Vis at en normalvektor til planet α er

n=bc,ac,ab

d) Vis at likningen til α kan skrives

xa+yb+zc=1

e) Planet β skjærer x-aksen i D5,0,0 og y-aksen i E0,4,0. Planet er parallelt med z-aksen.

Forklar hvordan vi kan bruke resultatet i oppgave d) til å bestemme likningen for planet β.

4.11

En fotballspiller tar et frispark slik at posisjonen rt til ballen t sekunder etter at ballen er sparket, er

rt=-0.2t,-0.2t2+10t-20,-0.2t2+1.4t ,   t0

Enheten i koordinatsystemet er meter.

a) Hvor blir frisparket tatt?

b) Hvor stor banefart har ballen i starten? Beskriv retningen frisparket går i.

c) Hvor høyt kommer ballen på det høyeste?

d) Hvor lenge er ballen i lufta?

e) Hvor langt unna lander ballen?

f) Finn akselerasjonsvektoren. Hvilken retning har den?

Nå tenker vi oss at et fotballmål med bredde 6 m og høyde 2 m står slik at mållinja er x-aksen og origo er midt i målet. Se figuren nedenfor

g) Går frisparket i mål?

4.12

(Oppgave 5 del 2 eksamen R2 høsten 2014)

Et plan α er gitt ved likningen

2x+y-2z+3=0

a) Bestem likningen for den kuleflata som har sentrum i punktet S11,2,-6, og som har α som tangentplan.

b) Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflata og planet α.

Et plan β er gitt ved

2x+y-2z=0

Dette planet skjærer kuleflata langs en sirkel.

c) Bestem radien i denne sirkelen.

4.13

(Basert på oppgave 5 del 1 eksamen R2 våren 2015)

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Punktene A3,0,0, B0,4,0 og C0,0,1 er gitt.

a) Bestem AB×AC.

b) Bestem arealet av ABC.

c) Punktene A, B og C ligger i et plan α. Bestem likningen for planet α.

En partikkel starter i origo O0,0,0. Etter tida t sekunder er partikkelen i et punkt P gitt ved

OP=t,t23,-t4  ,    t0

Vi setter enheten i koordinatsystemet til meter.

d) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet α? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer α.

e) Finn fartsvektoren til partikkelen og banefarten i kollisjonsøyeblikket.

f) Hva kan du si om akselerasjonen til partikkelen?

4.14

Spiralen er en spiralformet tunnel i Drammen. Her er noen offisielle data om spiralen:

  • Lengde: 1 650 meter

  • Stigning: 10 %

  • Runder: 6,5

  • Diameter: 70 meter

  • Høyde mellom etasjene: cirka 20 meter

  • Takhøyde i tunnelen: cirka 4,5 meter på det høyeste og minkende ned mot veggene

  • Bredde på kjørebanen: cirka 9 meter

Du kan lese mer om Spiralen på nettsidene til Drammen kommune.

a) Forklar hvorfor en stigning på 10 % tilsvarer en vinkel på 0,099 7 radianer. Se artikkelen om stigning på Wikipedia.

b) En bil starter nederst i Spiralen og kjører med konstant banefart på 6 m/s oppover i tunnelen.

Hvor lang tid bruker bilen på én runde i tunnelen? Ta utgangspunkt i lengden på tunnelen og antall runder når du regner.

c) Gjør det samme ved å bruke den horisontale (vannrette) komponenten vh av fartsvektoren, se figuren nedenfor, og ta utgangspunkt i diameteren på tunnelen.

d) Hvorfor blir det ikke samme svar i oppgave b) og oppgave c)?

e) Vi tenker oss at vi plasserer et koordinatsystem med origo i midten av Spiralen ved innkjøringen nederst slik at innkjøringen til tunnelen er i punktet 35,0,0.

Finn en parameterframstilling for posisjonen P til bilen t sekunder etter starten ved hjelp av vinkelen θ på figuren nedenfor.

Tips til oppgaven

Finn en sammenheng mellom θ og t.

f) Bruk parameterframstillingen til å finne ut hvor mange runder bilen har kjørt i tunnelen etter 2 minutter. Kontroller svaret ved å bruke resultatet i oppgave c).

g) Hvor lang tid bruker bilen på å komme gjennom tunnelen?

h) Hva er høydeforskjellen mellom åpningene i tunnelen?

i) Bruk parameterframstillingen i e) til å finne banefarten til bilen.

j) Hva kan du si om retningen på akselerasjonen til bilen?

4.15

(Oppgave 2 del 2 eksamen R2 høsten 2018)

Sentrum i ei kuleflate K1 med radius 2 beveger seg langs ei rett linje. Ved tidspunktet t vil sentrum i K1 ha koordinatene 2t,1,3.

a) Bestem en likning for K1 uttrykt ved t.

b) Ved hvilket tidspunkt vil K1 tangere yz-planet?

Ei annen kuleflate K2 med radius r er gitt ved likningen

K2: x2+y2+z2=r2

c) Ved hvilket tidspunkt vil de to kuleflatene K1 og K2 tangere hverandre dersom r=2?

d) Bestem eksakt den minste verdien til r som gjør at de to kulene tangerer hverandre.

4.16

(Basert på oppgave 9 del 1 eksamen R2 høsten 2019)

Løs oppgavene uten hjelpemidler.

Punktene A1,-1,0, B1,2,4 og C5,1,-4 er sentrum i hver sin kuleflate. De tre kuleflatene tangerer hverandre.

a) Bestem radien til hver av de tre kulene.

b) Bestem tangeringspunktet mellom kuleflata med sentrum i A og kuleflata med sentrum i B.

Løsninger

4.1 a)

Løsning

Vi bruker formelen A=12a×b der a=AB og b=AC.

AB = 1--1,-1-0,0-1=2,-1,-1AC =  0--1,1-0,-1-1=1,1,-2

AB×AC = -1·-2-1·-1,-1·1--2·2,2·1-1·-1= 3,3,3

Arealet blir

AABC = 12AB×AC= 1232+32+32= 123·32= 323

Løsning med CAS:

I linje 5 går det også an å bruke kommandoen Areal(A,B,C), men den gir ikke eksakt svar.

4.1 b)

Løsning

Vi regner ut vektoren for den tredje siden.

BC =  0-1,1--1,-1-0=-1,2,-1

BC=-12+22+-12=1+4+1=6

Vi ser at absoluttverdiene til koordinatene til AB og AC er de samme som for BC. De tre vektorene er derfor like lange, trekanten er likesidet, og omkretsen av trekanten er 36.

4.1 c)

Løsning

Vi kan regne ut arealet med arealsetningen for trekanter.

AABC=12ABACsinBAC

I en likesidet trekant er alle vinklene 60°. Arealet blir

AABC=12·6·6·123=643=323

4.2

Løsning

Vi trenger AB og AC.

AB = 3-1,3-1,2-1=2,2,1AC =  2-1,1-1,2-1=1,0,1

Fra definisjonen av skalarproduktet får vi

AB·AC=AB·AC·cosBACcosBAC = AB·ACAB·AC= 2,2,1·1,0,122+22+12·12+02+12= 2+0+19·2= 33·2= 122

BAC = π4    BAC=2π-π4BAC = π4    BAC=7π4

🤔 Tenk over: Hvorfor trenger vi aldri å ta med den andre løsningen når det er snakk om vinkler i trekanter?

Kontroll med CAS:

4.3 a)

Løsning

Når ABAD, er skalarproduktet mellom vektorene lik 0.

AB = 3-2,5-3,2-7=1,2,-5AD =  3-2,5-3,t-7=1,2,t-7

AB·AD = 01,2,-5·1,2,t-7 = 01·1+2·2-5t-7 = 01+4-5t+35 = 0-5t = -40t = 8

4.3 b)

Løsning

ABCDAB=k·CD

CD =  3-1,5-1,t-5=2,4,t-5

For at vektorene skal være parallelle, må forholdet mellom koordinatene til CD og AB være like.

x-koordinatene: 21=2

y-koordinatene: 42=2

For å få z-koordinatene like må vi kreve at

t-5-5 = 2t-5 = -10t = -5

4.4 a)

Løsning

Vi bruker at

uvu·v=0

AB = 2-1,1-1,5-1=1,0,4AC =  3-1,7-1,3-1=2,6,2BC =  3-2,7-1,3-5=1,6,-2

AB·AC = 1,0,42,6,2=2+0+8=10AB·BC = 1,0,41,6,-2=1+0-8=-7BC·AC = 1,6,-22,6,2=2+36-4=34

Ingen av skalarproduktene er null. Da kan ikke ABC være rettvinklet.

4.4 b)

Løsning

Vi setter D=x,y,z. Dersom ABCD skal være et parallellogram, kan vi bruke at AD=BC eller AB=DC.

AD=x-1,y-1,z-1

AD = BCx-1,y-1,z-1 =1,6,-2

x-1=1y-1=6z-1=-2x=2y=7z=-1

Koordinatene til D er 2,7,-1.

4.5 a)

Løsning

Vi bruker formelen A=12a×b der a=AB og b=AC.

AB = 3-1,1--1,1-0=2,2,1AC =  0-1,0--1,0-0=-1,1,0

AB×AC = 2·0-1·1,1·-1-0·2,2·1--1·2= -1,-1,4

Arealet blir

AABC = 12AB×AC= 12-12+-12+42= 121+1+16= 129·2=322

4.5 b)

Løsning

AB·AC=2,2,1·-1,1,0=2·-1+2·1+1·0=0

Trekanten er dermed rettvinklet, og katetene er AB og AC. Da er arealet av trekanten

AABC = 12Gh = 12AB·AC= 1222+22+12·-12+12+02= 129·2= 322

4.6 a)

Løsning

AB = 3-1,3-1,2-1 = 2,2,1AC = 2-1,1-1,2-1 = 1,0,1BC = 2-3,1-3,2-2 = -1,-2,0

AB = 22+22+12=4+4+1=9=3AC = 12+02+12=1+1=2BC = -12+-22+02=1+4=5

Omkretsen til trekanten ABC er 3+2+5.

AB×AC = 2·1-0·1,1·1-1·2,2·0-1·2= 2,-1,-2

AB×AC = 22+-12+-22=4+1+4=3

Arealet av trekanten ABC er

12AB×AC = 32

4.6 b)

Løsning

Vi trenger

AB·AC=2,2,1·1,0,1=2·1+2·0+1·1=3

Fra definisjonen av skalarproduktet får vi at

cosBAC = AB·ACAB·AC= 33·2= 122BAC = π4

4.6 c)

Løsning

Kontroll med CAS:

4.7 a)

Løsning

1. Når skalarproduktet mellom to vektorer er lik 0 og ingen av vektorene er 0, står vektorene normalt på hverandre.

2. Når vektorproduktet mellom to vektorer skal være lik 0 og ingen av vektorene er 0 fra før, er vektorene parallelle.

3. Dersom b og c er parallelle, er b×c=0. Da blir skalarproduktet med a lik 0 for alle vektorer a, og vi kan ikke si noe om hvordan a ligger i forhold til de to andre vektorene. Er derimot b og c ikke parallelle, må a stå normalt på vektorproduktet b×c for at skalarproduktet skal være 0. Da må a være parallell med alle plan som har b×c som normalvektor. Alternativt kan vi si at det må bety at det finnes plan som alle tre vektorene er parallelle med.

4.7 b)

Løsning

a×b2+a·b2 = a·b·sinu2+a·b·cosu2= a2·b2·sin2u+a2·b2·cos2u= a2·b2sin2u+cos2u= a2·b2

4.7 c)

Løsning

Vi bruker arealformelen A=12a×b sammen med formelen fra oppgave b), a×b2+a·b2=a2+b2. Formelen gir oss

a×b2+a·b2 = a2·b2a×b2 = a2·b2-a·b2a×b2 = a2·b2-a·b2a×b = a2·b2-a·b2

Vi får

A=12a×b=12a2·b2-a·b2

4.7 d)

Løsning

Når a·b=0, får vi

A=12a2·b2-0=12a·b

Det betyr at trekanten er rettvinklet. Det kunne vi også ha sagt med én gang når a·b=0.

Når a×b=0, får vi

A=12a×b=12·0=0

Da har vi heller ingen trekant siden a og b er parallelle.

4.7 e)

Løsning

Vi setter

a = AB=2-1,3-1,4-1=1,2,3b = AC=3-1,1-1,5-1=2,0,4

a2 = 12+22+322=1+4+9=14b2=22+02+422=4+16=20a·b = 1,2,3·2,0,4=1·2+3·4=2+12=14

Arealet blir

A = 12a2·b2-a·b2= 1214·20-142= 121420-14= 1214·6= 122·7·2·3= 21

4.8 a)

Løsning

Siden grunnflata skal være kvadratisk, må AB=OC.

AB=3-3,3-0,0-0=0,3,0

Siden OC er posisjonsvektoren til C, må vi ha at C=0,3,0.

4.8 b)

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Arealet av sideflata ABD er 152.

4.8 c)

Løsning

Vi har fra a) at AB=0,3,0.

AD=0-3,0-0,4-0=-3,0,4

En normalvektor for planet α er da

AB×AD = 0,3,0×[-3,0,4]=3·4-0·0,0·-3-4·0,0·0--3·3=12,0,9=3[4,0,3]

Likningen for planet blir

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0 = 0       4x-3+0y-0+3z-0=0                     4x-12+3z=04x+3z-12=0

CAS gir samme resultat.

4.8 d)

Løsning

For å finne avstanden q fra punktet O til planet α bruker vi avstandsformelen.

q = ax1+by1+cz1+da2+b2+c2=4·0+0·0+3·0-1242+02+32 = -1225=125

CAS gir samme resultat.

4.8 e)

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Vinkelen mellom normalvektorene er 1,2 (linje 10). Dette er mindre enn π2. Vinkelen mellom planene α og β er derfor også 1,2.

Vi kan også finne vinkelen mellom planene med kommandoen Vinkel(α,β).

4.8 f)

Løsning

Siden y- og z-koordinatene i parameterframstillingen til l er konstante, betyr det at l er parallell med x-aksen. Vi kan derfor avgjøre om dronen kolliderer med pyramiden ved å undersøke om den treffer trekanten ABD.

Vi starter med å finne skjæringspunktet P mellom linja l og planet α, som trekanten ABD ligger i.

Hvis dronen kolliderer med pyramiden, er det i tilfelle i punktet P. Linjestykket AD ligger i xz-planet der y-koordinaten alltid er 0. Punktet P ligger derfor til høyre for AD.

Så må vi sjekke hvor P ligger i forhold til BD. Siden P har z-koordinat lik 2, kan vi se om P ligger til høyre eller til venstre for punktet på BD med samme z-koordinat, som er midtpunktet MBD siden z-koordinaten til M er 4-02=2.

Midtpunktet M er regnet ut ved å ta gjennomsnittet av B og D. (Vi kan også finne M med vektorregning eller ved å lage en parameterframstilling for linja gjennom B og D.) Siden y-koordinaten til P er større enn y-koordinaten til M, ligger P til høyre for BD og dermed utenfor trekanten ABD, og dronen treffer derfor ikke pyramiden.

4.9 a)

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Vi får at begge flyene går med den samme konstante farten 0,11 km/s.

4.9 b)

Løsning

Vi får fra linje 6 at linjene skjærer hverandre for samme parameterverdi, det vil si ved samme tidspunkt. Flyene vil derfor kollidere når t=100 i punktet 2,3,8.

4.9 c)

Løsning

Siden parameterframstillingene for farten til flyene ikke varierer med t, er akselerasjonen, som er den deriverte av farten, null.

4.10 a)

Løsning

Vi kan finne uttrykket for linja ved å bruke ettpunktsformelen. Alternativt kan vi bruke denne framgangsmåten:

Linja skjærer y-aksen for y=b. Det betyr at konstantleddet i uttrykket for den rette linja er b. Uttrykket for linja er derfor

y=kx+b

der k er stigningstallet til linja.

Vi har at x=a  y=0. Dette gir

k·a+b = 0k·a = -bk = -ba

Uttrykket for den rette linja gjennom A og B er

y=-bax+b

4.10 b)

Løsning

y = -bax+b         |·1byb = -bxab+bb= -xa+1xa+yb = 1

4.10 c)

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Vi kan også finne normalvektoren med kommandoen Normalvektor(Plan(A,B,C)).

4.10 d)

Løsning

Vi bruker normalvektoren n fra oppgave c) og punktet A sammen med den generelle likningen for et plan. Dette gir

nx·x-x0+ny·y-y0+nz·z-z0 = 0       bcx-a+ac·y-0+abz-0=0             bcx-abc+acy+abz=0      |·1abc                     bcxabc-abcabc+acyabc+abzabc=0xa+yb+zc=1

4.10 e)

Løsning

Vi setter det vi vet, inn i resultatet fra oppgave d).

x5+y4+zc=1

Dersom c øker, vil planet β bli mer og mer parallelt med z-aksen. Dersom c går mot uendelig, blir planet tilnærmet parallelt med z-aksen. Det betyr at leddet zc0. Tar vi bort leddet zc, må det derfor tilsvare at planet er parallelt med z-aksen. Likningen for β blir derfor

x5+y4=1

Alternativ løsning:

Vi setter det vi vet, inn i resultatet fra oppgave d).

x5+y4+zc=1

For et plan parallelt med z-aksen, kan ikke planlikningen inneholde z siden z kan være hva som helst når x og y er valgt. Da må vi kreve at leddet zc må bort. Likningen for β blir derfor

x5+y4=1

4.11 a)

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Frisparket blir tatt fra punktet 0,-20,0.

4.11 b)

Løsning

Vi må finne farten vt, den deriverte av posisjonen rt, for t=0.

Banefarten til ballen når frisparket blir tatt, er 10,1 m/s. Vi ser av fartsvektoren ved t=0 i linje 4 at y-komponenten er klart størst. Siden den er positiv, betyr det at frisparket går omtrent i samme retning som positiv y-akse og noe oppover siden z-komponenten er positiv og litt avbøyd i negativ x-retning.

4.11 c)

Løsning

z-komponenten til rt bestemmer hvor høyt ballen kommer. Den er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet og har derfor et toppunkt. Vi finner toppunktet ved å finne når den deriverte av z-komponenten (det vil si farten i z-retning) er 0.

Ballen kommer 2,45 m opp på det høyeste.

4.11 d)

Løsning

Ballen er i lufta mellom nullpunktene til z-komponenten til rt.

Ballen er i lufta i 7 sekunder.

4.11 e)

Løsning

Vi regner ut lengden av vektoren fra startpunktet til landingspunktet ved hjelp av svaret i forrige oppgave.

Frisparket lander 60,2 m fra der det blir tatt.

4.11 f)

Løsning

Av linje 9 ser vi at akselerasjonsvektoren ikke har noen komponent i x-retning og ligger derfor i yz-planet (x=0). y- og z-komponentene er like store og negative. Linje 10 og 11 gir at akselerasjonsvektoren har vinkelen π4 både med negativ y- og negativ z-akse.

4.11 g)

Løsning

Når ballen krysser mållinja, vet vi at y-komponenten til rt er null.

Den andre løsningen i linje 12 og 13 kan vi ikke bruke siden den er en t-verdi lenge etter at ballen har landet. Vi får av linje 14 at x-komponenten er innenfor målstengene. z-komponenten er 2,05. Det betyr i praksis at ballen treffer tverrliggeren. Det blir derfor ikke mål på dette frisparket.

4.12 a)

Løsning

Radien i kula må være lik avstanden mellom S og planet α.

Likningen for kula blir x-112+y-22+z+62=169.

4.12 b)

Løsning

Vi finner en parameterframstilling for linja gjennom sentrum og punktet der planet α tangerer kuleflata. En retningsvektor for denne linja vil være normalvektoren til planet α. Linja går gjennom punktet S, og vi har parameterframstillingen (linje 5).

Vi finner så den t-verdien som er slik at vi får tangeringspunktet mellom kuleflata og planet ved å sette parameterframstillingen til linja inn i planlikningen (linje 6). Vi finner tangeringspunktet T ved å sette denne verdien for t inn i parameterframstillingen for linja (linje 7).

4.12 c)

Løsning

Vi observerer at planet β har samme normalvektor som planet α, og planene er derfor parallelle. Vi kaller sentrum i skjæringssirkelen for P. Vi finner avstanden PS i linje 9. Et punkt Q på skjæringssirkelen ligger i avstand 13 fra S (siden skjæringssirkelen ligger på kuleflata) og danner en rettvinklet trekant PQS der QS er hypotenusen, se bildet under.

Radien i skjæringssirkelen er 5.

4.13 a)

Løsning

AB = 0-3,4-0,0-0=-3,4,0AC =  0-3,0-0,1-0=-3,0,1

AB×AC = 4·1-0·0,0·-3-1·-3,-3·0--3·4= 4,3,12

4.13 b)

Løsning

Vi bruker formelen A=12a×b der a=AB og b=AC.

Arealet blir

AABC = 12AB×AC= 1242+32+122= 1216+9+144= 12169= 132

4.13 c)

Løsning

En normalvektor for planet er AB×AC=4,3,12. Vi bruker den sammen med punktet C0,0,1 i den generelle planlikningen. Planlikningen for α er

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0 = 0       4x-0+3y-0+12z-1=0                     4x+3y+12z-12=0

4.13 d)

Løsning

Vi setter vektorfunksjonen OP inn i planlikningen.

4·t+3·t23+12·-t4-12 = 04t+t2-3t-12 = 0t2+t-12 = 0t+4t-3 = 0t = -4      t = 3

Posisjonen til partikkelen er

3,323,-34=3,3,-34

Partikkelen treffer planet α etter 3 sekunder i punktet 3,3,-34.

4.13 e)

Løsning

Farten vt er

vt=OP't=1,13·2t,-14=1,23t,-14

v3=1,2·33,-14=1,2,-14

v3 = 12+22+-142= 1+4+116= 5·1616+116= 8116= 94

Banefarten til partikkelen i kollisjonsøyeblikket er 94 m/s.

4.13 f)

Løsning

at=v't=0,23,0.

Akselerasjonen til partikkelen er konstant og lik 23 ms2 i y-retning.

4.14 a)

Løsning

En helningsvinkel w målt til v prosent er det samme som at tanw=v100. Vi regner ut w med CAS.

Helningsvinkelen målt i radianer er 0,099 7.

4.14 b)

Løsning

Vi regner først ut hvor lang en runde er. Så bruker vi at tid er lik strekning delt på fart.

Bilen bruker 42,3 s på en runde i tunnelen.

4.14 c)

Løsning

Vi må finne hvor stor farten er i horisontal (vannrett) retning, for det er den som bestemmer hvor fort bilen kjører en runde. Vi dekomponerer v i en horisontal komponent vh og en vertikal (loddrett) komponent vv.

Dette gir oss

cosw = vhvvh = v·cosw

Så regner vi ut tida T på en runde ved å regne ut strekning delt på fart. Vi løser oppgaven med CAS.

Bilen bruker 36,8 sekunder på å kjøre én runde i tunnelen.

4.14 d)

Løsning

Begge måtene å regne på er riktige. Problemet er at de offisielle tallene som er oppgitt, ikke stemmer overens. Når de har målt lengden på tunnelen til 1 650 meter, kan de ikke ha målt i en avstand slik at diameteren blir 70 meter. Det kan være fordi de har prøvd å ta hensyn til at du ikke kjører samme lengde når du kjører opp som når du kjører ned. Hvorfor blir det forskjell?

4.14 e)

Løsning

Figuren gir oss at

x=rcosθ, y=rsinθ

Vinkelen θ målt i radianer kan vi skrive som

θ=br

der b er lengden av sirkelbuen (definisjonen på en vinkel målt i radianer).

Siden bilen går med farten vh sett ovenfra, får vi at

b=vh·t

Totalt gir dette at

θ=br=vhtr=vcoswrt

og videre at

x=rcosvcoswrt, y=rsinvcoswrt

For å finne z-koordinaten til P må vi finne ut hvor fort bilen beveger seg i vertikal retning. Ved hjelp av figuren i oppgave b) får vi at farten vv i vertikal retning er

vv=vsinw

Når bilen har beveget seg z meter oppover, blir derfor

z=vv·t=vv·sinw·t

Vi bruker CAS til å komme fram til parameterframstillingen.

4.14 f)

Løsning

Vi må finne ut hva vinkelen θ er, og regne ut hvor mange omdreininger det tilsvarer. Vi kan kontrollere svaret siden vi har fra oppgave c) at omløpstida er 37 sekunder.

Bilen har kjørt 3 og en kvart runde etter 2 minutter.

4.14 g)

Løsning

Vi velger å bruke informasjonen om at det er 6,5 runder i tunnelen.

Det tar temmelig nøyaktig 4 minutter å kjøre tunnelen når farten er 6 m/s.

4.14 h)

Løsning

Vi må finne z-koordinaten til OP når t=239,4, det vil si når bilen kjører ut av tunnelen på toppen.

Høydeforskjellen er 143 m.

4.14 i)

Løsning

Vi finner banefarten ved å regne ut OP'.

Legg merke til at GeoGebra ikke automatisk forenkler det trigonometriske uttrykket ved hjelp av enhetsformelen. I linje 14 finner vi at banefarten er konstant lik 6 m/s.

4.14 j)

Løsning

Vi finner akselerasjonsvektoren ved å regne ut OP''.

Siden z-komponenten til akselerasjonsvektoren er null, er det ingen akselerasjon i denne retningen. De to andre komponentene er cosinus- og sinusfunksjoner med samme periode som posisjonsvektoren OP, men med like, negative faktorer foran. x- og y-komponentene har derfor motsatt retning i forhold til x- og y-komponentene til OP, noe som betyr at akselerasjonsvektoren peker innover mot sentrum i spiralen.

4.15 a)

Løsning

Vi bruker den generelle likningen for ei kule med radius r og sentrum i a,b,c.

x-a2+y-b2+z-c2 = r2x-2t2+y-12+z-32 = 22x-2t2+y-12+z-32 = 4

4.15 b)

Løsning

Siden y- og z-koordinatene til sentrum i kuleflata K1 er konstante, beveger kuleflata seg parallelt med x-aksen. Kuleflata tangerer yz-planet når avstanden i x-retning fra sentrum til yz-planet er lik radien i kula, som betyr at absoluttverdien til x-koordinaten til sentrum er lik 2.

Kula tangerer yz-planet ved tidspunktene t=-1 og t=1.

Alternativ løsning:

Når sentrum i kula er i yz-planet, er x-koordinaten lik 0. Da er sentrum i kula i punktet P0,1,3. Kula tangerer yz-planet når avstanden mellom sentrum og P er lik 2. Da kan vi bruke kommandoen "Avstand" i CAS og løse likning.

4.15 c)

Løsning

De to kuleflatene K1 og K2 vil tangere hverandre når avstanden mellom sentraene er lik summen av radiene, det vil si 4.

Alternativt kan vi løse likningen Avstand(S1,S2)=4.

Kuleflatene vil tangere hverandre når t=-62, og når t=62.

4.15 d)

Løsning

Når kulene tangerer hverandre, er summen av radiene lik avstanden mellom sentraene, det vil si r+2. Den minste verdien for r får vi derfor når avstanden mellom sentraene er minst.

Uttrykket i svaret i linje 5 er minst når t=0. I linje 6 setter vi inn denne t-verdien og får at den minste verdien for radien r er 10-2.

Alternativ løsningsmetode:

K2 vil ha sin minste mulige størrelse når sentrum i K1 er i punktet P siden det er dette punktet som er nærmest origo O, noe vi kan vise ved å sette opp uttrykket for lengden av OP. Se også den alternative løsningen av oppgave b).

Den minste verdien for radien r om kuleflatene skal kunne tangere hverandre er 10-2.

4.16 a)

Løsning

Vi skal bestemme radien til hver av de tre kulene. Avstanden mellom to av de tre punktene vil alltid være summen av to kuleradier siden kuleflatene tangerer hverandre. Vi lar lengden til radiene i de tre kulene få betegnelsene rA, rB og rC. Da kan vi sette opp følgende tre likninger:

AB=rA+rB ,   AC=rA+rC ,   BC=rB+rC

Vi får et likningssett der de tre radiene er ukjente.

AB = 1-1,2--1,4-0=0,3,4AC = 5-1,1--1,-4-0=4,2,-4BC = 5-1,1-2,-4-4=4,-1,-8

AB =02+32+42=25=5AC = 42+22+-42=36=6BC = 42+-12+-82=81=9

Vi får fra de to første likningene at

5=rA+rBrB=5-rA

6=rA+rCrC=6-rA

Vi setter dette inn i den tredje likningen.

9 = rB+rC9 = 5-rA+6-rA9 = 11-2rA2rA = 11-9rA = 1

Dette gir videre at

rB = 5-1=4rC = 6-1=5

4.16 b)

Løsning

Tangeringspunktet P ligger på AB. Vi har at AB=5 og AP=rA=1. Da får vi at

OP = OA+AP= OA+15AB= 1,-1,0+150,3,4= 1-0,-1+35,0+45= 1,-25,45

Tangeringspunktet P har koordinatene 1,-25,45.

Alternativ løsning:

Vi setter tangeringspunktet P=x,y,z. Da får vi at

AP=x-1,y--1,z-0=x-1,y+1,z

Vi har videre at

rA=1=AP ,   APAB ,   AB=5

Da får vi at

AP = 15ABx-1,y+1,z = 150,3,4= 0,35,45x-1 = 0    ,    y+1=35    ,    z=45x = 1    ,    y=-25    ,    z=45

Tangeringspunktet P har koordinatene 1,-25,45.

CC BY-SA 4.0Dán lea/leat čállán Bjarne Skurdal, Utdanningsdirektoratet, Stein Aanensen ja Olav Kristensen.
Maŋemusat ođastuvvon 11/22/2023