Rekker og matematiske bevis – blandede oppgaver
Du finner løsningene til oppgavene nederst på siden.
1.1
I 2017 solgte en forhandler 3 000 sykler. Vi antar at salget vil øke med 300 sykler per år i noen år framover.
a) Sett opp en eksplisitt formel for hvor mange sykler forhandleren vil selge år etter 2016.
b) Hvor mange sykler vil forhandleren til sammen selge fram til og med år 2022?
c) Når vil det årlige salget være på 3 900 sykler?
d) Hvor mange år vil det gå før forhandleren til sammen har solgt 32 400 sykler?
1.2
Figuren nedenfor viser de fire første trekanttallene.
Antall prikker i disse figurene kaller vi for trekanttallene. Trekanttall nummer
a) Finn de neste to trekanttallene,
b) Finn en rekursiv formel for
c) Finn en eksplisitt formel for
1.3
Ta utgangspunkt i den rekursive formelen for
a) Beskriv en algoritme du kan bruke til å regne ut summen av de
b) Lag programmet.
1.4
Vi har gitt følgende rekke:
a) Finn konvergensområdet til rekka.
b) Finnes det en øvre grense for hva summen av rekka kan bli?
1.5
For hver av rekkene nedenfor skal du
finne de tre neste leddene i rekka
finne en eksplisitt formel for
a n finne en rekursiv formel for
ved å regne uta n a n - a n - 1
a)
b)
c)
d)
1.6
En bedrift har i en periode sluppet ut 1 000 tonn CO2 hvert år. Hvis dette fortsetter, vil det samlede utslippet de neste seks årene bli 6 000 tonn CO2. Bedriften får pålegg om at samlet utslipp i disse seks årene ikke må overstige 5 000 tonn.
Bedriften satser på å redusere utslippsmengden med en fast prosentsats hvert år.
Hva må denne prosentsatsen være om de skal nå målet sitt?
1.7
Når man tar opp et lån, kan man av og til velge å betale det tilbake som et serielån. Da betaler man like store avdrag gjennom hele perioden, mens rentebeløpet blir mindre etter hvert som restlånet blir mindre. Det betyr at terminbeløpet også blir mindre etter hvert.
Nedenfor ser du begynnelsen på en tilbakebetalingsplan for et serielån med lånebeløp på 200 000 kroner, årlig rente på 5 prosent og ei tilbakebetalingstid på 20 år (for enkelhets skyld opererer vi med årlige terminbeløp).
År | Avdrag | Rente | Terminbeløp | Restlån |
---|---|---|---|---|
1 | 10 000 | 10 000 | 20 000 | 190 000 |
2 | 10 000 | 9 500 | 19 500 | 180 000 |
3 | 10 000 | 9 000 | 19 000 | 170 000 |
4 | 10 000 | 8 500 | 18 500 | 160 000 |
... | ... | ... | ... | ... |
a) Forklar at summen av rentene og summen av terminbeløpene kan beskrives med hver sin aritmetiske rekke, og finn en eksplisitt formel for ledd nummer
b) Bruk ei av rekkene du fant i a) og finn ut hvor mye du må betale til sammen over 20 år.
c) Lag et program som kan skrive ut ei liste med terminbeløp, rente per termin, totalt beløp til nå og total rentekostnad til nå for hvert år ut fra opplysninger fra brukeren om lånebeløp, rente og antall terminer.
1.8
Finn konvergensområdene og et uttrykk for summen av de konvergerende geometriske rekkene:
a)
b)
c)
d)
1.9
a) I ei uendelig konvergerende geometrisk rekke er
b) I ei uendelig konvergerende geometrisk rekke er
1.10
I begynnelsen av mars 2020 oppdaget myndighetene i Norge de første tilfellene av koronasmitte. Myndighetene visste at hvis ikke tiltak ble satt inn for å hindre spredning av viruset, ville i gjennomsnitt hver koronapasient smitte cirka 2,4 andre personer i løpet av de omtrent 5 dagene man regnet med at pasienten var smitteførende.
a) Forklar at vi kan bruke ei geometrisk rekke som en modell for totalt antall smittede etter
Vi setter
b) Finn en eksplisitt formel for
c) Hvor mange mennesker i dette området har blitt smittet til sammen etter 25 dager etter denne modellen?
d) Finn ut hvor mange smittebærende personer det finnes i dette området 60 dager etter dag 1.
e) Utfordring: I en undersøkelse fant man at en bestemt type koronasykdom gjorde at de som ble syke, i snitt følte seg syk eller preget 20 dager etter at de ble smittet. Hvor mange mennesker i dette området føler seg preget av korona 70 dager etter dag 1?
f) Er tallene du fant i d) og e) realistiske? Forklar!
1.11
En hummerfisker antar at at antall hummere han får hver uke i løpet av de åtte ukene hummerfisket pågår, vil avta med 3 for hver uke. Den første uka han fisket, fikk han 30 hummere. Vi kan se på antall hummere han får ei uke, som et ledd i ei aritmetisk rekke.
a) Finn en formel som viser hvor mange hummere han får i uke
b) Hvor mange hummere regner han med å få de fire første ukene?
1.12
(Oppgaven er hentet fra eksamen 2MZ, 2005.)
En stabel med rør ligger delvis skjult bak en murvegg. På tegninga ser vi toppen av stabelen. I den øverste raden er det fire rør.
a) Skriv opp ei rekke som gir antallet rør i de tre øverste radene.
b) Hva slags rekke er dette? Finn en formel for ledd nummer
c) Hvor mange rør ligger i den 10. rekka målt ovenfra?
d) Hvor mange rør er det til sammen i de 10 øverste rekkene?
e) Det er 270 rør i stabelen til sammen. Hvor mange rader er det i stabelen?
1.13
(Oppgaven er hentet fra eksamen 2MZ, 2006.)
Summen av alle oddetall under 200 er gitt ved rekka
a) Forklar at dette er ei endelig aritmetisk rekke.
b) Finn ved regning hvor mange oddetall det er i rekka.
c) Bestem summen av rekka.
d) Skriv brøken så enkelt som mulig:
1.14
Du oppretter en sparekonto og setter inn 5 000 kroner på kontoen 1. januar 2021. Du vil fortsette med å sette inn 5 000 kroner på denne kontoen 1. januar hvert år framover. Renta du får på kontoen, er fast med 6 prosent per år. Finn ut hvor mye det står på kontoen 31. desember 2024, altså rett før du skal sette inn det 5. beløpet.
1.15
En medisinkur går over 8 dager. Den første dagen får pasienten 50 mg av medisinen. Deretter reduseres mengden med 5 prosent per dag.
a) Hvor mange milligram får pasienten av medisinen den 8. dagen?
b) Hvor mange milligram får pasienten til sammen i løpet av kuren?
1.16
(Oppgaven er hentet fra eksamen 2MZ, 2005.)
I forbindelse med omstillinger på jobben blir Eva tilbudt økonomisk godtgjørelse for å slutte. Hun kan velge mellom to tilbud:
et engangsbeløp på 875 000 kroner utbetalt 1. januar 2016
ei årlig utbetaling på 100 000 kroner den 1. januar hvert år, første gang i 2016 og siste gang i 2025
Eva vil sette alle pengene i banken med en gang hun får dem, og hun vil bruke godtgjørelsen som supplement til pensjonen når hun går av som pensjonist 1. januar 2026. Vi skal sammenligne tilbudene til Eva.
a) Hvor mye penger har hun i banken den 1. januar 2026 når rentesatsen er 2,5 prosent per år, dersom hun velger tilbud 1?
b) Hvor mye penger har hun i banken den 1. januar 2026 når rentesatsen er 2,5 prosent per år, dersom hun velger tilbud 2? Hvilket av tilbudene er best?
c) Hva må renta være for at begge tilbudene skal være like gode?
Eva velger tilbudet med et engangsbeløp og setter pengene i banken. Hun vil bruke hele det oppsparte beløpet til å supplere pensjonen. Hun ønsker å ta ut ti like store årlige beløp den 1. januar hvert år, første gang i 2016.
d) Hvor store årlige beløp kan hun ta ut hvis rentesatsen hele tida er 2,5 prosent?
1.17
Ta for deg rekka
a) Finn en formel for summen av de
b) Bevis ved induksjon at formelen du fant i a), er riktig.
1.18
Den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci har fått en bestemt tallfølge oppkalt etter seg som er slik:
a) Beskriv mønsteret med ord.
b) Koden nedenfor er en rekursiv funksjon som skriver ut fibonaccitall nummer 10. Beskriv med ord hva som skjer når du kjører den.
c) Kjør programmet i b) og bytt ut fibo(10)
med fibo(40)
. Hva observerer du?
d) Lag et program som kan generere og skrive ut fibonaccitall nummer
1.19
En kronisk syk pasient som må ta faste medisiner, får daglig en tablett som inneholder 20 mg av et virkestoff. Kroppen bryter ned 60 prosent av virkestoffet per døgn. Medisinen er farlig hvis den totale mengden i kroppen blir større enn 30 mg.
a) Vis ved utregning at det ikke er trygt for pasienten å følge denne medisineringa over tid.
b) En annen pasient får en tablett som inneholder bare 10 mg av virkestoffet. Er denne medisineringa trygg?
c) Finn det høyeste trygge daglige inntaket av dette virkestoffet.
Løsninger
1.1 for hånd
Løsning
a) Vi kan se på dette som ledd i en aritmetisk følge der
b) Vi har at 2017 er år 1, det betyr at 2022 er år 6. Vi må først finne
Forhandleren selger altså 22 500 sykler i denne perioden.
c) Vi setter uttrykket for
Vi ser at forhandleren selger 3 900 sykler årlig i år 4, altså i 2020.
d) Vi må bruke det vi vet om formelen for summen og formelen for ledd nummer
Vi løser likningen i GeoGebra og får to løsninger (se neste løsningsboks for detaljer),
Siden
1.1 i CAS
Løsning
Her viser vi bare CAS-vinduet, forklaringene finner du i løsningsboksen over.
1.2
Løsning
a) Vi kan gjøre dette på flere måter. Vi velger å observere at for hvert tall legges det på en rad med en prikk mer enn den lengste raden i det forrige tallet. Det vil si at
og
b) Vi observerer at vi i begge tilfellene over legger til en rad med like mange prikker som nummeret på tallet i følgen. Vi har altså en rekursiv formel som er slik:
c) Vi viser to ulike løsninger.
Regresjon i GeoGebra:
Vi legger inn tallene vi kjenner, i regnearket, og vi velger polynomregresjon, grad 2:
Tall nummer | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
Trekanttallene | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 |
Dette gir oss modellen
Legg merke til at ved bruk av denne metoden er det viktig å være nøye på å sjekke at modellen faktisk passer akkurat!
Ved regning:
Vi tegner en figur der vi slår sammen to like trekanttall og får rektangler som har høyde lik høyden på trekanttallet og lengde som er en enhet lengre enn høyden:
Vi ser at vi kan finne antall prikker i disse firkantene ved å multiplisere
1.3
Løsning
a) Vi må først legge inn variabler for trekanttallene som skal legges sammen, og for summen av trekanttallene. Så må vi ha en variabel for hvor mange trekanttall vi skal legge sammen, denne kan vi innhente fra brukeren. Så lager vi ei løkke der vi legger til så mange trekanttall vi skal ha. Til sist skriver vi ut summen.
b) Programmet:
1.4
Løsning
a) Vi har at rekka konvergerer dersom
Siden
Konvergensområdet er
b) Vi finner først et uttrykk for summen ved hjelp av formelen for summen av konvergente geometriske rekker:
For å finne den største verdien må vi se på grenseverdien til uttrykket når
Vi ser at uttrykket ikke har noen grenseverdi, altså kan summen av rekka bli uendelig stor.
Husk at innenfor konvergensområdet vil hver
1.5
Løsning
a)
Vi legger merke til at tallet under brøkstreken øker med 2 for hvert ledd, og vi får
1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + 1 10 + 1 12 Vi legger merke til at nevnerne er det dobbelte av tallets nummer i rekka, det vil si at vi har en eksplisitt formel slik:
a n = 1 2 n a n - a n - 1 = 1 2 n - 1 2 n - 1 a n = a n - 1 + 1 · n - 1 2 n n - 1 - 1 · n 2 n n - 1 = a n - 1 + n - 1 - n 2 n n - 1 = a n - 1 - 1 2 n 2 - 2 n
b)
Vi legger merke til at nevnerne er kvadrattall. Vi får dermed
1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + 1 49 Siden nevnerne er kvadrattall, får vi følgende eksplisitte formel:
a n = 1 n 2 a n - a n - 1 = 1 n 2 - 1 n - 1 2 a n = a n - 1 + 1 · n - 1 2 n 2 n - 1 2 - 1 · n 2 n 2 n - 1 2 = a n - 1 + n 2 - 2 n + 1 - n 2 n 2 n 2 - 2 n + 1 = a n - 1 - 2 n - 1 n 4 - 2 n 3 + n 2
c)
Vi legger merke til at både teller og nevner øker med 1 for hvert ledd:
2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 + 6 7 + 7 8 Vi legger merke til at telleren i hvert ledd er lik
, mens telleren er likn + 1 . Vi får atn + 2 .a n = n + 1 n + 2 a n - a n - 1 = n + 1 n + 2 - n - 1 + 1 n - 1 + 2 a n = a n - 1 + n + 1 n + 2 - n n + 1 = a n - 1 + n + 1 2 n + 2 n + 1 - n · n + 2 n + 1 n + 2 = a n - 1 + n 2 + 2 n + 1 - n 2 - 2 n n 2 + 3 n + 2 = a n - 1 + 1 n 2 + 3 n + 2
d)
Vi legger merke til at hvert ledd er lik kvadratrota av det neste tallet i rekka:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Vi ser at hvert ledd er kvadratrota til leddets nummer i rekka:
a n = n a n - a n - 1 = n - n - 1 a n = a n - 1 + n - n - 1
1.6
Løsning
Tabellen viser utslippene i de seks aktuelle årene.
År | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
Utslipp i tonn | 1000 | 1000·k | 1000·k2 | 1000·k3 | 1000·k4 | 1000·k5 |
Summen av utslippene danner ei geometrisk rekke der
Vi løser i CAS:
Vi ser at bedriften må redusere utslippene sine med 7,35 prosent i året for å nå målet om 5 000 tonn på de neste seks årene.
1.7
Løsning
a) Vi ser først på rentebeløpene. Her ser vi at
Når det gjelder terminbeløpene, er forskjellen den samme: Beløpet synker med 500 kroner per år. Vi får ei aritmetisk rekke med
b) Vi bruker rekka som beskriver terminbeløpene, og finner summen av de 20 første leddene:
Vi ser at vi må betale tilbake til sammen 305 000 kroner hvis vi tar opp dette lånet.
c) Forslag til program:
1.8
Løsning
a) Vi finner
Konvergensområdet:
Vi finner et uttrykk for summen:
b)
Konvergensområdet er
Summen:
c)
Vi skal ha at
Konvergensområdet blir
Summen:
d)
Vi må løse følgende ulikhet:
Vi deler ulikheten i to og løser ulikheten til venstre først:
Vi observerer at vi ikke kan løse ulikheten ved å multiplisere med
Vi har at uttrykket
Vi sjekker fortegnet for
Den venstre ulikheten er oppfylt for
Vi løser ulikheten til høyre:
Vi gjør som i den venstre ulikheten og finner nullpunktet til telleren:
Vi undersøker for
Den høyre ulikheten er dermed oppfylt for
Summen:
1.9
Løsning
Vi bruker formelen for summen av ei konvergerende geometrisk rekke:
a)
b)
1.10
Løsning
a) Siden vi starter med et gitt antall smittede og hver av dem smitter i snitt 2,4 personer, kan vi bruke ei rekke med
b)
c) Vi har at
Vi har at
d) 60 dager etter dag nummer 1 har vi at
Ifølge modellen har vi cirka 365 200 smittebærende personer etter 60 dager.
e) Her må vi først fastsette noen betingelser. De som ble smittet 50 dager etter dag 1 (det vil si ved
Vi ser at det ifølge denne modellen er cirka 1 457 260 personer som fortsatt er preget av koronaen etter 70 dager.
f) Det vil avhenge veldig av hva slags område vi befinner oss i, om disse tallene er realistisk. I Norge finnes for eksempel bare én by som i det hele tatt har så mange innbyggere. Sannsynligheten for at hver person vil fortsette å smitte gjennomsnittlig 2,4 personer, er ikke så stor.
Dersom området er stort, som for eksempel en millionby i India, og kontakten mellom folk er som normalt, kan det kanskje være realistisk. Men på et tidspunkt vil nok uansett R-tallet, som vi kaller antallet mennesker hver smittet smitter videre i snitt, gå ned.
Skal R-tallet opprettholdes, må hver smittede person treffe tilstrekkelig mange mennesker som er mottakelig for smitte, og etter hvert som en befolkning har gjennomgått en sykdom, vil flere ha opparbeidet seg en viss immunitet.
1.11
Løsning
a) Vi har ei aritmetisk rekke med
b) Vi finner
Han får 102 hummere i løpet av de første fire ukene dersom antagelsen stemmer.
1.12
Løsning
a)
b) Dette er ei aritmetisk rekke. Det kan vi se fordi forskjellen mellom påfølgende ledd er 1. Vi har
c)
Det er 13 rør i den 10. rekka ovenfra.
d)
Det er 85 rør til sammen i de 10 øverste radene.
e)
Vi løser ligningen i CAS:
Vi kan bare bruke den positive løsningen, og vi ser at det er 20 rader til sammen i stabelen.
1.13
Løsning
a) Rekka er endelig, for den slutter med et tall. Den er aritmetisk fordi vi kan se at den har en fast differanse, nemlig
b) Vi finner ut hvilket nummer det siste tallet i rekka har:
Det er 100 oddetall i rekka.
c)
d)
Vi finner først summen av alle partallene som er mindre enn eller lik 200:
Vi har at
1.14
Løsning
Vi får ei geometrisk rekke med
Det står 23 815 kroner på kontoen 31. desember 2024.
1.15
Løsning
a) Mengden medisin per dag kan sees på som et ledd i ei geometrisk rekke der
Dosen den 8. dagen er cirka 34,9 mg.
b) Vi finner
Kuren er på til sammen cirka 337 mg.
1.16
Løsning
a) Beløpet forrenter seg 10 ganger, og vi får
Hun har cirka 1 120 074 kroner på konto 1. januar 2016 med dette tilbudet.
b) Det andre tilbudet må vi regne ut ved hjelp av ei geometrisk rekke der
Vi ser at via dette tilbudet sitter hun med cirka 1 148 347 kroner på konto 1. januar 2016. Det er altså tilbud 2 som er best.
c) Vi setter vekstfaktoren lik
Vi ser at vekstfaktoren må være 1,031, altså ei rente på 3,1 prosent, dersom de to tilbudene skal være like gode.
d) Eva har altså 1 120 074 kroner på konto 1. januar 2016. Hun skal ta ut et fast beløp hver måned. Vi kjenner ikke beløpet, så vi kaller det
Vi ser at Eva kan ta ut cirka 124 857 kroner hvert år.
1.17
Løsning
a) Denne kan være vanskelig å finne fram til for hånd. Vi setter inn de første verdiene i følgende tabell i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
Sn | 1 | 5 | 14 | 30 | 55 |
Vi prøver oss fram i GeoGebra, og en funksjon som virker å treffe bra, er
b) Vi skal vise at
Trinn 1
Vi viser først at formelen gjelder for
VS = 1
HS:
Trinn 1 holder.
Trinn 2
Vi antar at
Vi sjekker om dette innebærer at
VS:
HS:
HS = VS
Konklusjon
Q.e.d.
1.18
Løsning
a) Vi ser at hvert tall kan finnes ved å summere de to foregående:
b) Programmet definerer en funksjon for å regne ut fibonaccitall. Dersom
Denne typen funksjon i programmering kaller vi en rekursiv funksjon, altså en funksjon som kaller på seg selv. Når
c) Vi observerer (med mindre du har en svært kraftig datamaskin) at dette tar veldig lang tid. Dette er fordi at de rekursive funksjonene må regne ut alle de tidligere tallene i følgen på samme måte for å kunne finne det neste tallet. Så for hvert tall må funksjonen gå gjennom mange utregninger.
d) Vi kan lage en liste for fibonaccitallene og legge dem inn der. Da går utregningen av neste tall mye raskere enn hvis hvert tall må regnes ut via funksjonen:
1.19
Løsning
a) Dersom kroppen bryter ned 60 prosent av virkestoffet per døgn, har vi at vekstfaktoren er
Vi får da at mengden virkestoff i kroppen over tid blir
Dermed vil konsentrasjonen av virkestoffet i kroppen bli for høy, og medisineringa er ikke trygg.
b) Vi regner på samme måte, her får vi at
Siden det aldri vil være mer enn 16,67 mg av virkestoffet i kroppen, er denne medisineringa trygg for pasienten.
c) Vi setter
Vi ser at dersom vi gir 18 mg virkestoff hver dag, vil summen av rekka konvergere mot 30. Det betyr at det antakelig vil gå greit å bruke denne mengden virkestoff daglig, siden det aldri vil bli mer enn 30 mg i kroppen.