Funksjonsanalyse og modellering – blandede oppgaver
Gjør varierte oppgaver om funksjonsanalyse og modellering her.
Oppgaver
FM-100
Vi skal finne ekstremalpunktene til funksjonen
Vi skal vise at vi kan skrive om denne funksjonen til en generell sinusfunksjon.
a) Start med å skrive om funksjonen uten hjelpemidler til en sum av en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon ved hjelp av identiteten
cos2v=cos2v-sin2v
b) Forklar hvordan du kan skrive funksjonen f på en enda enklere måte.
c) Forenkle funksjonen f ved hjelp av framgangsmåten i b).
d) Finn ekstremalpunktene til funksjonen f uten hjelpemidler.
e) Gjør hele oppgaven med CAS.
FM-101
Aleksander driver med svømming. Han har notert hvor mye han hadde trent hver dag de åtte første dagene i februar.
Han fant at tida Tx han brukte på treningen per dag, var gitt ved funksjonen
Tx=0,6x3-8x2+28x+42,DT=1,2,3,4,5,6,7,8
Treningsmengden Tx er i minutter, og x er datoen, som betyr at for eksempel T2 er treningsmengden 2. februar.
Løs oppgavene med bruk av programmering.
a) Når trente Aleksander mest? Hvor mange minutter trente han da?
b) Hvor mye trente han til sammen disse 8 dagene?
FM-102
Tabellen nedenfor viser hvordan verdien til en bil sank etter at den var ny i starten av januar 2012.
Verdiutvikling på bil
År
Verdi
2012
600 000
2014
400 000
2016
300 000
2018
240 000
2020
160 000
2022
120 000
a) Finn en matematisk modell Vx som kan beskrive verdiendringen på bilen.
Tips til oppgaven
Her kan det være lurt å velge x lik alderen på bilen.
b) Beskriv hvordan verdien til bilen endret seg.
c) Hvor lang tid tok det ifølge modellen før verdien til bilen ble halvert?
d) Når sank verdien til bilen mest? Hvor mye sank den i verdi per år da?
e) Hvor mye sank verdien i gjennomsnitt per år i løpet av de 10 første årene?
f) Når var verditapet per år omtrent like stort som det gjennomsnittlige verditapet per år de 10 første årene?
FM-103
Marie målte hvor mye nedbør som kom hver time i løpet av et døgn det regnet hele tida. Du kan laste ned målingene som ei semikolonseparert CSV-fil nedenfor. (Vi anbefaler at du endrer navn på CSV-fila etter at du har lastet den ned.)
a) Bruk Python og finn en matematisk modell som passer godt med målingene til Marie. Tegn grafen til modellen sammen med målingene.
b) Bruk Python og finn ut hvor mye det regnet dette døgnet, både ved å bruke modellen og målingene.
c) Bruk Python og finn ut hvor mye det regnet i gjennomsnitt per time dette døgnet både ved å bruke modellen og målingene.
d) Bruk Python og finn ut når det regnet mest per time både ved å bruke modellen og målingene.
e) Gjør de samme deloppgavene ved å bruke GeoGebra.
Tips til oppgaven
Åpne CSV-fila i et regneark og kopier cellene over i regnearkdelen til GeoGebra.
Før du gjør det, må du på forhånd passe på at Excel leser punktum som desimalskilletegn. Velg "Fil" på menylinja i Excel, deretter "Alternativer" og så "Avansert". Ta bort markeringen ved "Bruk systemskilletegn", ta bort det som står i feltet "Desimalskilletegn", og skriv et punktum der. Trykk på "OK".
FM-104
Nedenfor kan du laste ned ei GeoGebra-fil med temperaturen målt i °C annenhver time etter midnatt på et feriested.
a) Finn en modell for temperaturen T1 gitt på formen T1x=Asinkx+𝜑+d der x er antall timer etter midnatt.
b) Hva er perioden til modellen T1?
På et annet feriested varierer temperaturen mer. Minimumstemperaturen er 18 °C, og maksimumstemperaturen er 34 °C. Maksimumstemperaturen og minimumstemperaturen inntreffer på samme tidspunkt på døgnet som på det første feriestedet.
c) Finn en modell for temperaturen T2 på dette feriestedet når vi antar at T2 er på samme form som T1, og tegn grafene til T1 og T2 i det samme koordinatsystemet.
d) Hadde de to feriestedene den samme gjennomsnittstemperaturen dette døgnet?
FM-105
En bil kjører med farten 10m/s. Diameteren på hjulet er 52 cm. Hvis vi følger et punkt ytterst på bilhjulet, vil høyden h på punktet over bakken variere som en sinusfunksjon.
a) Lag en modell som viser høyden på et slikt punkt som funksjon av tida t målt i sekunder.
b) Bruk modellen til å finne ut hvor mange ganger hjulet roterer på ett sekund. Kontroller svaret ved å ta utgangspunkt i farten til bilen og omkretsen til hjulet.
c) Ventilen på hjulet sitter 7 cm fra ytterkanten av hjulet. Lag en tilsvarende modell for høyden over bakken til ventilen.
FM-106
(Basert på oppgave 4 del 2 eksamen R2 våren 2012)
En automatisk strømbryter for utelys skal programmeres. Lyset skal slås på når det begynner å mørkne. Dette tidspunktet varierer gjennom året. En modell for tidspunktet er gitt ved
ft=19-4cosπ180·t
der ft er tidspunktet lyset skal slås på, målt i timer etter midnatt, og der t er antall dager regnet fra nyttår. I denne modellen forutsettes det at alle måneder har 30 dager.
a) Regn ut f85. Hva betyr dette tallet?
b) Tegn grafen til f. Bestem perioden, amplituden og likevektslinja til f.
c) Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lyset slås på?
d) Bestem når på året lyset slås på klokka 18.00.
e) Bestem når på året dagslyset varer lengst ifølge modellen.
f) Juster modellen så den passer bedre til at et år er 365 dager, og at 21. desember er den mørkeste dagen i året.
FM-107
(Basert på oppgave 2 del 2 eksamen R2 våren 2016)
Daglengden D i Bergen er tilnærmet gitt ved funksjonen
Dt=6,63sin0,0172t-1,39+12,5
Her er Dt daglengden målt i timer, og t er antall dager fra nyttår.
a) Tegn grafen til D for t∈0,365.
b) Bruk Dt til å bestemme den korteste og den lengste daglengden i Bergen.
c) Når er daglengden i Bergen 14 timer?
d) Undersøk på hvilken dato daglengden vokser raskest. Hvor mye øker daglengden per døgn da?
FM-108
(Basert på oppgave 5 del 1 eksamen R2 høsten 2018)
En bøye beveger seg opp og ned med bølgene. Bildet viser bøyen sett ved tre ulike tidspunkter. I løpet av 4 s vil bøyen bevege seg 2,4 m i vertikal retning fra det høyeste punktet til det laveste punktet.
La ft være høyden til bøyen (i meter) over likevektslinja ved tidspunktet t (målt i sekund). Gå ut fra at bøyen er på sitt høyeste punkt når t=0. Vi er interessert i bevegelsen til bøyen de første 10 sekundene.
Vi går ut fra at ft kan skrives på formen
ft=Asinct+𝜑+d
a) Bestem funksjonsuttrykket til ft.
b) Når er bøyen på likevektslinja?
c) Når er bøyen 0,6 m over likevektslinja?
d) Når beveger bøyen seg raskest opp og ned?
e) Når er den vertikale (loddrette) akselerasjonen til bøyen størst?
FM-109
(Basert på oppgave 1 del 2 eksamen R2 våren 2020)
Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket ("strømforbruket") for en bolig måned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh.
Energiforbruk gjennom et år
Måned
Energiforbruk (kWh)
1
1 540
2
1 480
3
1 320
4
1 050
5
800
6
750
7
660
8
730
9
940
10
1 170
11
1 300
12
1 520
Du kan laste ned ei GeoGebra-fil med dataene nedenfor.
a) Finn en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.
For en annen bolig er funksjonen f gitt ved
ft=1300+730sin0,52t+1,07
en god modell for energiforbruket per måned i 2019. Her er f1 forbruket i januar, f2 forbruket i februar og så videre.
b) Når økte forbruket raskest, ifølge modellen f?
c) Bestem ∫012ftdt. Gi en praktisk tolkning av svaret.
d) Hva var det gjennomsnittlige energiforbruket per måned i 2019?
Energiprisen varierer også med tida på året. Funksjonen p gitt ved
pt=0,85+0,17sin0,52t+1,07
er en god modell for energiprisen i kroner per kWh. Her er p1 den gjennomsnittlige energiprisen i januar, p2 den gjennomsnittlige prisen i februar og så videre.
e) Bestem den årlige energikostnaden til boligen dersom vi legger modellene f og p til grunn.
Grafen vil ha bunnpunkter midt imellom toppunktene, det vil si når
x=11π12+k·π-π2=11π6+k·π-6π12=5π12+k·π
y-verdien til bunnpunktene blir
3·-1+32=32-3
Vi får at
toppunktene til f er 11π12+k·π,32+3
bunnpunktene til f er 5π12+k·π,32-3
Løsning FM-100 e)
På linje 6 og linje 7 sjekker vi at vi får samme svar for topp- og bunnpunktene som i oppgave d).
Løsning FM-101 a)
Vi lager et program som går systematisk gjennom de aktuelle funksjonsverdiene og plukker ut største og minste funksjonsverdi.
Vi får denne utskriften:
"Aleksander trente mest den 2. februar, og da trente han i 70.8 minutter. Han trente minst den 6. februar, og da trente han i 70.8 minutter."
Løsning FM-201 b)
Vi lager et program som summerer funksjonsverdiene for alle x-verdiene.
Vi får denne utskriften: "Aleksander trente til sammen i 8.2 timer."
Løsning FM-102 a)
Vi skriver tallene inn i regnearket i GeoGebra, markerer tallene og velger "Regresjonsanalyse".
Siden verdien på bilen faller mindre og mindre, kan en eksponentiell modell passe godt. Vi velger regresjonsmodellen "Eksponentiell" og ser at grafen stemmer ganske bra med tallene i tabellen. En matematisk modell som passer godt med tallene, er
Vx=604581·0,85x
der x er antall år etter 2012.
Løsning FM-102 b)
Siden modellen er en eksponentialfunksjon, reduseres bilen i verdi med en fast prosent hvert år. Siden vekstfaktoren er 0,85, synker bilen i verdi med 15 prosent hvert år.
Løsning FM-102 c)
Vi velger å løse oppgaven med CAS.
Bilens verdi ble halvert etter litt over 4 år, det vil si utpå våren i 2016.
Løsning FM-102 d)
Vi vet at en slik eksponentialfunksjon synker raskere jo mindre x er. Oppgaven spør derfor etter momentan vekstfart når x=0.
Vi velger å løse oppgaven med CAS.
Bilen synker mest i verdi når den er helt ny, og da synker den i verdi per år med 98 200 kroner, eller nesten 100 000 kroner.
Løsning FM-102 e)
Oppgaven spør etter den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen i intervallet 0,10.
I gjennomsnitt sank bilen i verdi hvert år de 10 første årene med 48 500 kroner, eller nesten 50 000 kroner.
Løsning FM-102 f)
Oppgaven spør etter når den momentane vekstfarten til funksjonen er lik den gjennomsnittlige vekstfarten, altså når den er lik svaret i forrige oppgave.
I året 2016 var verditapet per år omtrent lik det gjennomsnittlige verditapet de 10 første årene.
Løsning FM-103 a)
Vi leser inn datafila med metoden "read_csv" fra biblioteket "pandas". Vi skriver ut resultatet av importen for å sjekke at importen gikk greit (linje 13). Så bruker vi metoden "curve_fit" fra biblioteket "scipy" og velger å gjøre en sinusregresjon på tallene. (Vi kunne også valgt en tredjegradsfunksjon som modell.) Regresjonen feiler hvis vi ikke spesifiserer startverdier for regresjonskonstantene med kodeordet p0 (linje 19). Det holder å sette nye startverdier for A og for k. Nedenfor finner du fullstendig kode.
Programmet gir denne utskriften:
"Funksjonen blir fx=-0,507sin0,325x+1,70+1,48."
Løsning FM-103 b)
Vi tar utgangspunkt i programmet i oppgave a), fjerner den koden som har med plotting av grafen å gjøre, og legger til koden nedenfor.
Koden gir utskriften nedenfor:
"Nedbørsmengden dette døgnet var 34.2 mm regnet ut som integral. Nedbørsmengden dette døgnet var 34.5 mm regnet ut fra måledataene."
Løsning FM-103 c)
Her kan vi ikke bruke gjennomsnittsverdien til sinusfunksjonen, det vil si konstantleddet, som mål på gjennomsnittlig nedbør per time siden perioden til funksjonen ikke går opp i 24 timer. Vi bruker tallene fra forrige oppgave og setter inn koden nedenfor i programmet.
Koden gir utskriften nedenfor:
"Gjennomsnittlig nedbør per time ut ifra modellen er 1.43 mm. Gjennomsnittlig nedbør per time ut ifra målingene er 1.44 mm."
Løsning FM-103 d)
Vi kan finne toppunktet på sinusfunksjonen med numeriske metoder. Men det er enklere å bruke at funksjonen har et toppunkt når argumentet til sinusfunksjonen er 3π2 (siden konstanten A er negativ). Dette gir at funksjonen har toppunkt for
x=3π2-𝜑k
For å finne største verdi for nedbør i målingene bruker vi listekommandoene "max()" og "index()".
Vi setter inn koden nedenfor i programmet.
Koden gir denne utskriften:
"Det regnet mest 9.28 timer etter midnatt etter modellen, og da regnet det 1.99 mm per time. Det regnet mest 10 timer etter midnatt etter målingene, og da regnet det 2.1 mm per time."
Løsning FM-103 e)
Vi kopierer måledataene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer og bruker regresjonsverktøyet med valget "Sin". Modellfunksjonen blir
fx=1,482+0,507sin0,325x-1,45
Legg merke til at funksjonsuttrykket ikke er det samme som vi fikk med regresjon med Python, men funksjonene kan skrives om til den andre ved å bruke at Asinkx+𝜑=-Asinkx+𝜑±π.
Bruk av måledataene
Vi finner total nedbørsmengde ved å markere alle tallene for nedbør og velge "Sum" fra verktøyknappen Σ eller ved å bruke formelen =Sum(B1:B24) (dersom tallene er i disse cellene). Vi får at det regnet totalt 34,5 mm dette døgnet. Den største målingen kan vi finne ved å markere tallene og velge "Maksimum" fra den samme verktøyknappen eller bruke formelen =Maks(B1:B24). I begge tilfeller får vi at den største måleverdien er 2,1 mm. Den gjennomsnittlige nedbøren per time kan vi finne ved å markere tallene og velge "Gjennomsnitt" fra den samme verktøyknappen eller bruke formelen =gsnitt(B1:B24). I begge tilfeller får vi at i gjennomsnitt regnet det 1,438 mm per time.
Bruk av modellen
Vi bruker CAS.
Vi får at den totale nedbørsmengden er 34,2 mm ifølge modellen. I gjennomsnitt regnet det 1,43 mm per time dette døgnet. Det regnet mest 9,3 timer etter midnatt, og da regnet det 1,99 mm per time. Dette er de samme tallene som vi fikk ved å bruke Python.
Løsning FM-104 a)
Vi åpner GeoGebra-fila, markerer tallene i regnearkdelen og velger regresjonsanalyseverktøyet. Der velger vi sinusregresjon. En modell T1for temperaturen dette døgnet er
T1x=27,0+5,99sin0,262x-2,36
Løsning FM-104 b)
Vi finner perioden p ut ifra konstanten k (frekvensen) foran x i argumentet til sinusfunksjonen med formelen p=2πk.
Perioden er 24,0 timer eller ett døgn.
Løsning FM-104 c)
Den nye funksjonen T2x må ha samme periode og faseforskyvning som T1x siden topp- og bunnpunktet skal være på samme sted. Det betyr at koeffisientene inne i argumentet til sinusfunksjonen skal være uendret.
Vi må regne ut ny likevektslinje d og amplitude A.
Løsning FM-104 d)
Perioden til begge funksjonene er så godt som ett døgn. Da er konstandleddet d i funksjonene et mål på gjennomsnittstemperaturen siden funksjonen svinger like mye opp som ned når vi går et helt antall perioder bortover.
På det første feriestedet var gjennomsnittstemperaturen 27,0 °C. På det andre feriestedet var gjennomsnittstemperaturen 26,0 °C. I gjennomsnitt var det derfor 1 grad varmere på det første feriestedet enn det andre dette døgnet.
Løsning FM-105 a)
Vi skal komme fram til en generell sinusfunksjon
ht=Asinkt+𝜑+d
for høyden h til punktet over bakken. Perioden p til sinusfunksjonen må være det samme som den tida det tar for hjulet å rotere én omdreining. Da har bilen kjørt med farten v en strekning lik omkretsen O av hjulet.
p=Ov=πdv
Frekvensen k blir
k=2πp=2ππdv=2vd=2·10m/s0,52m=38,46s-1
Måleenheten s-1 kalles også Hz (hertz). Amplituden A og likevektslinja d blir det samme som radien i hjulet. Modellen før vi bestemmer 𝜑, blir
ht=0,26sin38,46t+𝜑+0,26
For å bestemme 𝜑 kan vi for eksempel si at punktet på hjulet er på bakken når t=0. Det gir
h0=00,26sin38,46·0+𝜑+0,26=0sin𝜑+1=0sin𝜑=-1𝜑=3π2
Modellen blir
ht=0,26sin38,46t+3π2+0,26
Løsning FM-105 b)
Løsning ved bruk av modellen
Fra t=0 til t=1 har vinkelen, argumentet til sinusfunksjonen, økt fra 0 til 38,46. Dette tilsvarer 38,462π=6,1 omdreininger.
Løsning ved bruk av farten og omkretsen til hjulet
På ett sekund kjører bilen 10 m. Vi må finne ut hvor mange hjulomkretser det går på 10 m.
10π·d=10π·0,52=6,1
Løsning FM-105 c)
Den nye modellen for ventilen vil ha samme frekvens som modellen for punktet ytterst på dekket siden ventilen roterer like fort som punktet. Modellen vil også ha samme likevektslinje siden ventilen er like langt over høyden til sentrum i hjulet som under. Vi kan bruke samme faseforskyvning hvis vi antar at ventilen ligger på linja mellom sentrum og punktet ytterst på dekket. Den eneste forskjellen blir amplituden, som blir d2-7=0,522-0,07=0,19. Modellen blir
hvt=0,19sin38,46t+3π2+0,26
Løsning FM-106 a)
f85 betyr når lyset skal slås på 85=2·30+25 dager etter nyttår, det vil si 25. mars. Da skal lyset slås på klokka 18.39.
Løsning FM-106 b)
Ut ifra funksjonsuttrykket til f får vi at amplituden er 4 timer og likevektslinja er y=19. Perioden p er
p=2πk=2ππ180=2·180=360
Perioden er 360 dager, som er naturlig siden det er forutsatt at månedene har 30 dager slik at ett år blir 12·30=360.
Løsning FM-106 c)
Siden vi skal finne gjennomsnittet i løpet av én periode til funksjonen, er likevektslinja målet på gjennomsnittet. Det gjennomsnittlige tidspunktet i løpet av året for når lyset slås på, er klokka 19.00.
Løsning FM-106 d)
Vi løser likningen ft=18 i linje 4. Fra linje 5 får vi løsning når k1=1 for den første løsningen og k1=0 for den andre.
76=2·30+16,284=9·30+14
Lyset slås på klokka 18 den 16. mars og den 14. oktober.
Løsning FM-106 e)
Dagslyset varer lengst når lyset blir slått på senest, det vil si der funksjonen f har et toppunkt. Funksjonen har et toppunkt når cosinusfunksjonen har verdien -1, det vil si når argumentet er π. Dette gir
π180·t=πt=180
Dagslyset varer lengst 180 dager etter nyttår, det vil si den 30. juni ifølge modellen.
Løsning FM-106 f)
Vi setter at den nye modellen gt skal være på formen
gt=Acoskt+𝜑+d
Vi antar at amplituden og likevektslinja er de samme som i modellen f. Den nye funksjonen g må ha periode på 365 dager. Det betyr at
k=2πp=2π365
Funksjonen g skal bunnpunkt for t=365-(31-21)=355. Det betyr at
2π365·355+𝜑=0
En modell som passer bedre til kalenderåret slik det er, er
gt=19-4cos2π365·t-142π73
Løsning FM-107 a)
Vi skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon".
Løsning FM-107 b)
Vi har at den største verdien for funksjonen er når sinus er 1, og da er det første leddet i funksjonen lik amplituden til sinusfunksjonen, det vil si 6,63. Den største verdien får vi da ved å legge til det konstante leddet 12,5. Tilsvarende har funksjonen den minste verdien når sinus er -1. Da blir det første leddet lik -6,63.
Fra linje 1 og 2 får vi at den lengste daglengden i Bergen er 19 timer og 8 minutter, mens den korteste daglengden er 5 timer og 52 minutter (linje 3 og 4).
Løsning FM-107 c)
Vi skriver inn linja y=14 i algebrafeltet og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" på linja og funksjonen Dt.
Daglengden i Bergen er 14 timer 94 dager etter nyttår og 250 dager etter nyttår.
Løsning FM-107 d)
Vi tegner den deriverte ved å skrive D'(t) i algebrafeltet og finner toppunktet til den deriverte med kommandoen Ekstremalpunkt(D'(t),50,150).
Daglengden øker mest 81 dager etter nyttår, det vil si den 22. mars, og da øker den med 0,114 timer eller omtrent 7 minutter per døgn.
Løsning FM-108 a)
Likevektslinje: Siden høyden skal måles fra likevektslinja, blir d=0.
Amplitude: A=2,42=1,2
Periode: Når bøyen beveger seg fra høyeste til laveste punkt, har den beveget seg en halv periode. Dette gir p=4·2=8. Dermed er frekvensen
c=2π8=π4
Faseforskyvning: Når bøyen er på sitt høyeste punkt, har vi at sinusuttrykket er lik 1. Da må vinkelen være π2. Siden bøyen er på sitt høyeste punkt når t=0, får vi
π4·0+𝜑=π2𝜑=π2
Funksjonsuttrykket til f blir
ft=1,2sinπ4t+π2
Løsning FM-108 b)
Når funksjonen er på likevektslinja, er ft=0. Dette gir
ft=01,2sinπ4t+π2=0sinπ4t+π2=0
π4t+π2=k·π14t=-12+kt=-2+4k
der k∈ℤ. Vi får løsning i det aktuelle området for k∈1,2,3.
k=1:t=4·1-2=2k=2:t=4·2-2=6k=3:t=4·3-2=10
Bøyen er på likevektslinja etter 2 s, 6 s og etter 10 s.
k∈ℤ. Vi må se etter løsninger i intervallet 0,10. Den første løsningen gir oss løsning for k=1. Den andre gir løsning for k=0∨k=1. Dette gir
t=-43+8=-43+243=203
t=43
t=43+8=43+243=283
Bøyen er 0,6 m over likevektslinja etter 43s=1,3s, etter 203s=6,7s og etter 283s=9,3s.
Løsning FM-108 d)
Funksjonen vt for farten til bøyen i loddrett retning er den deriverte av posisjonen i loddrett retning, det vil si f't.
vt=f't=1,2cosπ4t+π2·π4=0,3πcosπ4t+π2
Størst fart vil si at vi må finne når fartsfunksjonen har sin største og minste verdi. Funksjonen vil ha sin største og minste verdi når cosinusfunksjonen har verdien 1 og -1, det vil si når
π4t+π2=k·π14t=k-12t=4k-2
k∈ℤ. Dette gir de samme løsningene som i oppgave b). Vi får at bøyen har størst fart etter 2 s, etter 6 s og etter 10 s, det vil si når bøyen krysser likevektslinja.
Løsning FM-108 e)
Funksjonen at for den loddrette akselerasjonen til bøyen er
at=v't=-0,3πsinπ4t+π2·π4=-0,75π2sinπ4t+π2
Størst akselerasjon vil si at vi må finne når akselerasjonsfunksjonen har sin største og minste verdi. Funksjonen vil ha sin største og minste verdi når sinusfunksjonen har verdien 1 og -1, det vil si når
π4t+π2=π2+k·π14t=kt=4k
k∈ℤ. Vi må se etter løsninger i intervallet 0,10. Vi får løsninger for k∈0,1,2.
k=0:t=4·0=0k=1:t=4·1=4k=2:t=4·2=8
Vi får at bøyen har størst akselerasjon etter 0 s, etter 4 s og etter 8 s. Dette er tidspunkter midt mellom tidspunktene der bøyen krysser likevektslinja, som betyr at bøyen er i et toppunkt eller et bunnpunkt.
Løsning FM-109 a)
Vi markerer tallene i regnearkdelen i GeoGebra og velger regresjonsanalyseverktøyet. Siden vi skal fram til en trigonometrisk funksjon, bruker vi regresjonsmodellen "Sin".
En funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen, er
gx=1108,5+442,9sin0,520x+1,164
Løsning FM-109 b)
Vi skriver inn modellen ft i CAS og finner nullpunktene til den dobbeltderiverte.
I linje 4 ser vi ved hvilket av nullpunktene grafen er stigende. Forbruket øker raskest i måned nummer 10, som er oktober.
Legg merke til at vi bruker sløyfeparenteser i linje 2 for å kunne legge inn begrensninger for t.
Vi kunne også ha løst oppgaven ved å bruke at sinusfunksjonen endres raskest på likevektslinja, det vil si når argumentet til sinusfunksjonen er k·π,k∈ℤ.
Løsning FM-109 c)
Funksjonen f står for energiforbruk per måned. Når vi integrerer den, får vi derfor samlet mengde energiforbruk, og integralet blir derfor det totale energiforbruket året 2019. Det samlede energiforbruket var 15 547 kWh.
Løsning FM-109 d)
Det gjennomsnittlige energiforbruket per måned i 2019 var 1 296 kWh.
Løsning FM-109 e)
Vi finner kostnadene for en måned ved å regne ut ft·pt. Når vi skal finne total kostnad for hele året, blir dette samlet mengde av produktet ft·pt, som vi regner ut ved å integrere fra 0 til 12.