Funksjonsbegrepet. Definisjonsmengde og verdimengde
Her kan du arbeide med oppgaver om funksjonsbegrepet. Løs oppgavene uten hjelpemidler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.
Oppgave 1
a) Tegn og beskriv begrepene: koordinatsystem, x-akse, y-akse, koordinater og punkt.
b) Tegn et koordinatsystem. Sett navn på aksene. Tegn punktene (2,3) og (4,4). Trekk ei linje mellom punktene.
c) Samarbeidsoppgave: Den ene eleven lager et koordinatsystem, og den andre eleven bestemmer hvilke punkter den første eleven skal tegne i koordinatsystemet sitt. Klarer dere å lage figurer av punktene?
Oppgave 2
Dere trenger en taxi. Det koster 60 kroner for å bestille en taxi hjem til dere og så 14 kroner per kilometer. Den faste kostnaden er 60 kroner, og den variable kostnaden er 14 kroner. Siden vi ikke vet hvor mange kilometer taxien skal kjøre, bruker vi bokstaven x for antall kilometer. Prisen for taxituren kaller vi P. Hvor stor blir P? Prisen er avhengig av hvor mange kilometer vi kjører, og vi skriver .
P(x)=14·x+60
a) Forklar med dine egne ord hva funksjonsuttrykket, P(x), viser.
Løsning
Funksjonsuttrykket viser prisen for en taxitur når man kjører x kilometer. Det koster 60 kroner i fast pris når man ringer etter taxi, og deretter 14 kroner per kilometer man kjører med taxien.
b) Lag en verditabell for x-verdiene 10, 20, 30, 40 og 50.
Løsning
Verditabell
Antall kilometer, x
10
20
30
40
50
Pris, P(x)
200
340
480
620
760
c) Forklar hva verditabellen forteller deg.
Løsning
Verditabellen viser prisen for en taxitur når man kjører henholdsvis 10, 20, 30, 40 og 50 kilometer.
Oppgave 3
Figuren ovenfor viser radien og arealet til tre sirkler.
a) Hvilken størrelse er det som bestemmer arealet til en sirkel?
Løsning
Radien bestemmer størrelsen på arealet til en sirkel.
b) Kan vi si at arealformelen for en sirkel A=π·r2 er en funksjon? Forklar i så fall hvorfor.
Løsning
Arealet av sirkelen bestemmes av radien. Til enhver verdi av radien, r, finnes en nøyaktig verdi av arealet til sirkelen. Vi kan da si at arealet til en sirkel er en funksjon av radien, r.
Oppgave 4
Tenk deg at du er på butikken og handler smågodt.
a) Skriv ned et funksjonsuttrykk som viser sammenhengen mellom pris P og antall hekto smågodt du kjøper. La prisen på smågodt være 9,90 kroner per hekto og x hvor mange hekto du kjøper.
Løsning
Funksjonsuttrykker kan væreP(x)=9,90·x.
b) Lag et nytt funksjonsuttrykk, Q(x), som viser hvor mye du betaler når du kjøper smågodt. Nå er prisen satt ned til 7,90 kroner per hekto, men du må betale 5,00 kroner for begeret som du fyller smågodtet i.
Løsning
En funksjon som viser prisen, Q(x), har x som variabel (siden du kan kjøpe så mange hekto smågodt du ønsker), og x multipliseres med pris per hekto. Til slutt må prisen for begeret, 5,00 kroner, legges til som en engangskostnad.
Q(x)=7,90·x+5,00
Oppgave 5
Du husker sikkert at formelen for arealet av et kvadrat er
A=side·side=s2
a) Lag en tabell i et regneark der du finner arealet til kvadrater med sidelengder 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lager tabellen.
Løsning
Regnearket kan se slik ut:
Regneark
A
B
B (formelvisning)
1
Sidekant i kvadratet
Arealet av kvadratet
2
2
4
=A2^2
3
4
16
=A3^2
4
6
36
=A4^2
5
8
64
=A5^2
6
10
100
=A6^2
7
12
144
=A7^2
8
14
196
=A8^2
9
16
256
=A9^2
Nedenfor kan du se utregningene i et ekte regneark.
b) Kan du et navn på tallene som viser de ulike arealene?
Løsning
Man kan kalle arealet av et kvadrat for et kvadrattall.
Oppgave 6
Du og familien din er på ferie og vil leie en bil. Dere tar en tur for å undersøke pris og får dette tilbudet: fastpris 650 kroner og 6,20 kroner per kilometer.
a) Bruk disse opplysningene til å skrive et funksjonsuttrykk, K(x), som kan brukes for å regne ut kostnadene ved å leie en bil.
Løsning
Et funksjonsuttrykk som viser kostnadene, K(x), som en funksjon av antall kilometer, x, kan skrives som
K(x)=6,20·x+650
b) Velg fem forskjellige turlengder, for eksempel 50 km, 100 km og så videre. Regn ut kostnadene for hver av dem, og sett opp tallene i en verditabell.
Løsning
Verditabell
Antall kilometer, x
50
100
150
200
250
Kostnadene, K(x)
960
1 270
1 580
1 890
2 200
c) Bruk resultatene fra b) til å tegne en graf til K.
Løsning
Vi legger punktene inn i et koordinatsystem. Punktene ligger på ei rett linje. Det ser vi også når vi skriver inn funksjonsuttrykket og får tegnet grafen, som går gjennom alle punktene.
d) Bruk grafen, og finn ut hvor mye det koster å kjøre 18 mil.
Løsning
Vi tegner linjax=180og finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til K med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktet F på grafen i oppgave c).
Det koster 1 766 kroner å kjøre 18 mil (180 kilometer).
Oppgave 7
I 2008 hadde Camilla et mobilabonnement. Hun betalte 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som
k(t)=0,49·t+99
der t varierer fra og med 50 til og med 200.
a) Lag en verditabell for k.
Løsning
Verditabell
t
50
100
150
k(t)
123,50
148,00
172,50
b) Tegn grafen til k.
Løsning
c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.
Løsning
y-aksen viser kostnadene. Vi finner 160 på y-aksen og lager ei rett linje til grafen. Vi leser av x-verdien og får cirka 125. Camilla har altså ringt i cirka 125 minutter når kostnaden er 160 kroner. Se grafen i b).
Oppgave 8
Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f, g, h og i. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene. En spissparentes 〉 i et punkt på grafen betyr at punktet ikke er en del av grafen, mens en hakeparentes ] betyr at punktet er en del av grafen, det tilsvarer hvordan disse symbolene blir brukt for intervaller.
a)
Løsning
Df=〈-1,2〉,Vf=[0,4〉
b)
Løsning
Dg=⟨-6,6⟩,Vg=[-1,1]
c)
Løsning
Dh=R,Vh=[-2,→〉
d)
Løsning
Di=R,Vi=〈←,5]
Oppgave 9
Bestem definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene under.
a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet.
Løsning
Df=[0,24〉,Vf=5,25
b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen.
Løsning
Dg=[0,12⟩,Vg=-60,-30
c) Funksjonen h viser vannstanden i Bergen fra en flomåling til neste flomåling.
Løsning
Dh=[0,12〉,Vh=40,160
Opplysninger om tidevann og vannstand for Norskekysten på Kartverket:
Vannstand og antall timer mellom hver flomåling varierer litt fra døgn til døgn. Vi har tatt utgangspunkt i data fra Bergen 04.01.2010 og laget en tilnærmet riktig kurve.
d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en fem timer lang handletur.
Løsning
Di=[0,5⟩,Vi=100,200,700,1000
Oppgave 10
Bestem definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene under.
a) Funksjonen B viser omtrentlig folketallet i verden fra og med år 1900 til år 2000.
Løsning
DB=[0,100〉,VB=[1.5,5.7〉
b) Funksjonen S viser antall sauer (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer.
Løsning
Ds=[0,12〉,Vs=100,170
c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for 420 000 kroner og fem år framover.
Løsning
DR=0,5,VR=140000,420000
d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter, til den er framme på skolen en time senere.
Løsning
DE=0,60,VE=0,50
Oppgave 11
Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene.
a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever på skolen.
Løsning
DL=50,2000,VL=5,150
b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere på skolen.
Løsning
DE=5,150,VE=50,2000
c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall appelsiner i posen.
Løsning
DV=0,25,VV=0,5
d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i husstanden.
Løsning
DM=1,8,VM=3,25
Oppgave 12
Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret.
a)
Løsning
Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi.
b)
Løsning
Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi.
c)
Løsning
Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi.
d)
Løsning
Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi.
Oppgave 13
Du skal strikke et firkantet sjal. I oppskriften står det at hvis du lager 22 masker i bredden, tilsvarer det 10 cm. Strikker du 25 masker i høyden, blir det også 10 cm.
a) Hvor mange masker i bredden blir det per cm?
Løsningsforslag
Vi vet at 22 masker er 10 cm. Da kan vi finne antall masker på én cm ved å dele 22 med 10.
22masker10cm=2,2maskercm
b) Dersom sjalet skal være 45 cm bredt, hvor mange masker må vi legge opp i bredden da?
Løsningsforslag
Vi må multiplisere antall masker per cm med antall cm vi skal strikke. Vi får at antall masker blir
2,2maskercm·45cm=99masker
c) Forklar at du kan beskrive antall masker i breddenb(x) ved hjelp av uttrykket 2,2x, der x er antall cm i bredden.
Løsningsforslag
Når vi skal finne ut hvor mange masker det blir i bredden, må vi gange 2,2 med antall cm, altså får vi
b(x)=2,2·x=2,2x
d) Finn en tilsvarende formel eller funksjon h(y) for antall masker det blir i høyden når høyden er y cm.
Løsningsforslag
Antall masker per cm i høyden blir
25masker10cm=2,5maskercm
h(y)=2,5·y=2,5y
e) Hvorfor bruker vi ikke samme bokstav for antall cm i bredden (x) og antall cm i høyden (y)?
Løsningsforslag
Vi bruker ikke samme bokstav fordi de måler to forskjellige ting. Den ene måler bredden, den andre måler høyden, og de vil ha ulike verdier i praksis.
f) En venninne bestiller et sjal av deg. Det skal være 70 cm bredt og 40 cm høyt. Hvor mange masker blir det i bredden og i høyden?
Løsningsforslag
Opplysningene betyr at x=70 og y=40. Antallet masker i bredden blir
b(70)=2,2·70=154
mens antallet masker i høyden blir
h(40)=2,5·40=100
g) Hvor mange masker blir det totalt på dette sjalet?
Løsningsforslag
Dette blir som arealet av et rektangel målt i masker. Vi må multiplisere antall masker i bredden med antall masker i høyden. Antallet masker totalt blir
154·100=15400
h) Prøv å anslå hvor lang tid det tar å strikke dette sjalet.
i) Undersøk hvor raskt en strikkemaskin kan strikke dette sjalet. Regn også ut hvor mange slike sjal strikkemaskinen kan lage på den tiden det tar å strikke et sjal manuelt.
j) Hvor bredt blir et sjal dersom du legger opp 132 masker i bredden?
Løsningsforslag
Her er det mange måter å gå fram på. Vi tar utgangspunkt i formelen b(x)=2,2x. Vi vet nå at b(x)=132. Da får vi
2,2x=1322,2x2,2=1322,2x=60
Bredden blir 60 cm.
k) Lag en formel eller funksjon x(b) for bredden i cm når antall masker er b.
Løsningsforslag
Dette blir det motsatte av funksjonen b(x).
Alternativ 1
Vi kan snu på formelen b(x)=2,2x. For å gjøre det enklere, skriver vi nå
b=2,2x. (Husk at b(x) bare er en skrivemåte. Størrelsen har navnet b.)
Vi ønsker å ende opp med x=. Da gjør vi omtrent som i forrige oppgave.
b=2,2xb2,2=2,2x2,2b2,2=xx=b2,2
Nå kan vi regne ut bredden x ut ifra antall masker b, og vi kan skrive
xb=b2,2
Alternativ 2
Vi vet at 22 masker i bredden tilsvarer 10 cm. Da vil 1 maske tilsvare
10cm22=0,455cm
For å finne ut hvor langt et visst antall masker b er, må vi multiplisere b med dette tallet. Det gir oss
xb=0,455·b=0,455b
l) Studer de to svaralternativene i forrige oppgave. Er de like?
Løsningsforslag
Vi tar utgangspunkt i formelen/funksjonen i alternativ 2.
xb=0,455·b=1022·b1=10·b22·1=10·b10·2,2=b2,2
Konklusjon: Det er samme formel.
m) Finn tilsvarende formel eller funksjon for høyden y(h) når det er h masker i høyden.
Løsningsforslag
Dette blir det motsatte av funksjonen h(y).
Alternativ 1
Vi kan snu på formelen h(y)=2,5y. For å gjøre det enklere, skriver vi nå h=2,5y. (Husk at h(y) bare er en skrivemåte. Størrelsen har navnet h.)
Vi ønsker å ende opp med y=. Vi får
h=2,5yh2,5=2,5y2,5h2,5=yy=h2,5
Nå kan vi regne ut høyden y ut ifra antall masker h, og vi kan skrive
yh=h2,5
Alternativ 2
Vi vet at 25 masker i høyden tilsvarer 10 cm. Da vil 1 maske tilsvare
10cm25=0,4cm
For å finne ut hvor høyt et visst antall masker h er, må vi multiplisere h med dette tallet. Det gir oss
yh=0,4·h=0,4h
n) Du oppdager at du har kjøpt feil garn. På garnet er det oppgitt en helt annen strikkefasthet, det står at 12 masker i bredden skal gi 10 cm. Forholdet mellom masker i bredden og masker i høyden er det samme som i det opprinnelige garnet. Kan du lage tilsvarende formler for dette garnet, sånn at du kan bruke det i stedet?
Løsningsforslag
Vi får
bx=1210·x=1,2·x=1,2x
Da må den motsatte formelen bli
xb=b1,2
Forholdet mellom antall masker i høyden og antall masker i bredden skal være det samme. Med originalgarnet er dette forholdet 2522. Hvis vi setter det ukjente tallet på masker i høyden for n med det andre garnet, blir forholdet n12. Disse to forholdene må være like, og vi får
n12=2522n·1212=25·1222n=13,6
Selv om vi ikke kan strikke 13,6 masker, kan vi regne med tallet 13,6. Vi får videre at
hy=13,610·y=1,36·y=1,36y
Den motsatte formelen blir
yh=h1,36
o) Hva er forskjellen mellom en funksjon og en formel? Diskuter.
Oppgave 14
Tove og Christian liker å være fysisk aktive, og i tillegg liker de å lage matematiske sammenligninger. (Man kan vel kanskje kalle dem litt nerdete?) Da Norge ble stengt ned på grunn av koronakrisen, var de mye på tur både sammen og hver for seg. De syklet, løp og gikk tur både i fjellet og på flatmark.
I denne oppgaven forutsetter vi at de sykler, løper og går tur med jevn fart selv om de helt sikkert ikke gjorde det.
a) En av turene de syklet, var en kupert rute på 28,6 km. Tove brukte 1 time og 34 minutter. Lag et uttrykk s(t) som beskriver hvor langt Tove har kommet etter t minutter.
Løsningsforslag
Vi må finne ut hvor langt Tove kommer på ett minutt. Tiden i minutter er
1h34min=60min+34min=94min
Antall km per minutt blir
28,6km94min=0,304km/min
Dette er et mål på farten til Tove.
Vi kan da sette opp følgende uttrykk:
s(t)=0,304t
b) Christian brukte 1 time og 2 minutter på den samme sykkelturen. Lag et uttrykk t(x) som beskriver hvor lang tid Christian har brukt på x km.
Løsningsforslag
Vi gjør om tiden til minutter.
1h2min=60min+2min=62min
Her er vi interessert i antall minutter per km. Da må vi gjøre det motsatte av hva vi gjorde i forrige oppgave.
62min28,6km=2,17min/km
Dette er også et mål på fart, men i stedet for å si noe om hvor langt Christian kommer per minutt som i forrige oppgave, sier tallet her noe om hvor lang tid han bruker per km. Hvis vi multipliserer dette tallet med hvor langt han har syklet, får vi hvor lang tid han brukte. Vi får derfor
t(x)=2,17x
c) Lag en formel for hvor langt Tove har kommet som funksjon av hvor langt Christian har kommet.
Tips 1
Her skal vi altså fram til en funksjon s, ikke s(t), men s(x) siden x er hvor langt Christian har kommet.
Tips 2
Erstatt t i formelen for s(t) med formelen t(x).
Løsningsforslag
s(x)=0,304t=0,304·t(x)=0,304·2,17x=0,66x
d) Hva forteller formelen i oppgaven over oss?
Løsningsforslag
Formelen forteller oss at for hver km Christian sykler, sykler Tove 0,66 km eller 660 m.
e) Hvor langt har Tove syklet når Christian har syklet 5 km?
Løsningsforslag
Her har vi at x=5. Da får vi
s(5)=0,66·5=3,3
Tove har syklet 3,3 km når Christian har syklet 5 km.
f) En av fjellturene de liker godt, er 6,9 km lang. De hadde hver sin tur, og Christian (som skrøt av at han tok det rolig) brukte 1 time og 9 minutter. Tove, derimot, hang i stroppen og slet seg inn til 1 time og 40 minutter. Lag et uttrykk t(x) som viser hvor langt Tove har gått som en funksjon av hvor langt Christian har gått.
Tips
Her må vi gjøre tilsvarende som i oppgavene over, men vi kan ta noen snarveier.
Løsningsforslag
Vi fant i oppgave c) at vi endte opp med å multiplisere de to forholdstallene for km/min for Tove og min/km for Christian.
Tove:
1h40min=60min+40min=100min
6,9km100min=0,069km/min
Christian:
1h9min=60min+9min=69min
69min6,9km=10min/km
Vi får
s(x)=0,069·10x=0,69x
g) Er Christian like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel?
Svar
Tove kommer lenger per km Christian har kommet på fottur siden konstanten i formelen for fottur (0,69) er større enn for sykling (0,66). Christian er derfor ikke like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel (selv om forskjellen ikke er veldig stor).
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.