Blandede oppgaver om grenseverdi, vekstfart, kontinuitet og derivasjon
På denne oppgavesida finner du alle løsningene nederst, ikke under hver enkelt oppgave. Prøv å unngå å se på løsningen før du har gjort ditt beste for å løse oppgaven selv!
2.1
Finn grenseverdien dersom den eksisterer. Bruk gjerne CAS til å kontrollere om du har riktig svar.
a)
b) limx→2x-2x2-3x+2
c) limx→016-x-4x
d) limx→∞x2-4x+12-3x2
e) limx→−2x−1x+2x2−2
f) limx→±∞2x2−5x2−x+3
2.2
Under ser du grafen til fx, tegnet med blå farge, og grafen til f'x, tegnet med rød farge. Ta utgangspunkt i det du ser, og prøv å si så mye som mulig om sammenhengen mellom funksjonen og den deriverte.
Tips til oppgaven
Her er det mye å ta av! Vi kan se på sammenhengen mellom topp- og bunnpunktet til f og nullpunktene til f'. Vi kan se på sammenhengen mellom fortegnet til f' og retningen til f. Kanskje kan du finne andre sammenhenger også?
2.3
Deriver funksjonsuttrykkene.
a) fx=x2+5
b) fx=5x3-x+4
c) fx=(2-x2)(x+1)
d) gx=x2+3x3
2.4
Deriver funksjonsuttrykkene.
a) y(x)=3x2+2x-1
b) g(x)=(3x+2)(4x2-2x)
c) hx=(x2+1)(x+4+1x)
d) ix=2+x2x2-x-2
2.5
Deriver funksjonene.
a) fx=ex3+4x
b) gt=ln2t+5x
c) hx=34x3+lnx3
2.6
Deriver funksjonsuttrykkene.
a) fx=5ex3ex+1
b) gx=ln(2x+4)
c) fx=xlnx
2.7
a) Undersøk om kx er diskontinuerlig noen steder.
kx=x2-3x<12x-4x>1
b) Undersøk om funksjonen fx er kontinuerlig for x=0.
fx=xx>02xx≤0
c) Undersøk om funksjonen gx er kontinuerlig for x=0.
gx=x2+2x+1x≤02x+1x>0
d) Undersøk om hx er kontinuerlig for x=1.
hx=2x+3x≥1x2x<1
2.8
a) Vi har gitt funksjonen fx=x2·ex. Finn likningen for tangenten i punktet 1,f1.
b) Vi har gitt funksjonen fx=x2·x+3. Finn likningen for tangenten i punktet 1,f1.
c) Vi har gitt funksjonen gx=3x+2x. Finn likningen for tangenten i punktet 2,g(2).
2.9
For deloppgavene under skal du tegne en skisse av en graf som oppfyller kriteriene. (Du skal tegne én graf per deloppgave.)
a) En funksjon f er diskontinuerlig i punktet -2,f-2.
b) En funksjon h er kontinuerlig i hele ℝ. Den deriverte skifter aldri fortegn. Den har en tangent med stigningstall 0 der x=2.
c) For en funksjon j er limx→2-jx=1 og limx→2+jx=2.
2.10 – miniprosjekt
Kan du lage et program som kan ta imot og derivere ulike typer funksjoner?
Tips til oppgaven
Her kan du bruke numeriske metoder for å finne den deriverte. Husk at du må få programmet til å kjenne igjen funksjonen brukeren taster inn. Kanskje må du legge inn noen begrensninger på hva slags funksjoner programmet kan derivere, eller du kan få brukeren til å fortelle deg hva slags funksjon som tastes inn.
Løsninger
2.1
a)
limx→22x3-3x+1=2·23-3·2+1=16-6+1=11
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
b)
limx→2x-2x2-3x+2
Vi prøver å sette inn 2 for x:
limx→2x-2x2-3x+2=2-222-3·2+2=00
Siden vi får 0 i både telleren og nevneren, prøver vi å forkorte uttrykket:
limx→2x-2x2-3x+2=limx→2x-2·1(x-1)·x-2=limx→2x-2·1(x-1)·x-2=limx→21(x-1)=12-1=1 Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
c)
limx→016-x-4x
Vi setter inn 0 for x og observerer at vi får 0 i både telleren og nevneren:
16-0-40=00
Vi bruker konjugatsetningen til å utvide brøken, slik at vi kan forkorte uttrykket:
Vi ser at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi dividerer telleren og nevneren med høyeste potens av x: limx→∞x2-4x+12-3x2=limx→∞x2x2-4xx2+1x22x2-3x2x2=limx→∞1-4x+1x22x2-3=1-0+00-3=-13
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
e)
Vi observerer at telleren og nevneren begge blir 0, og vi bruker konjugatsetningen for å forkorte uttrykket:
Vi observerer at kx ikke er definert for x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen kontinuerlig, siden alle polynomfunksjoner er kontinuerlige i hele ℝ. Funksjonen er altså kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde og er ikke diskontinuerlig i noen punkter.
b)
Vi undersøker om funksjonen er kontinuerlig i punktet, det vil si om limx→0-fx=fx=limx→0+fx: