Njuike sisdollui
Bargobihttá

Blandede oppgaver om grenseverdi, vekstfart, kontinuitet og derivasjon

På denne oppgavesida finner du alle løsningene nederst, ikke under hver enkelt oppgave. Prøv å unngå å se på løsningen før du har gjort ditt beste for å løse oppgaven selv!

2.1

Finn grenseverdien dersom den eksisterer. Bruk gjerne CAS til å kontrollere om du har riktig svar.

a) limx22x3-3x+1

b) limx2x-2x2-3x+2

c) limx016-x-4x

d) limxx2-4x+12-3x2

e) limx2x1x+2x22

f) limx±2x25x2x+3

2.2

Under ser du grafen til fx, tegnet med blå farge, og grafen til f'x, tegnet med rød farge. Ta utgangspunkt i det du ser, og prøv å si så mye som mulig om sammenhengen mellom funksjonen og den deriverte.

Tips til oppgaven

Her er det mye å ta av! Vi kan se på sammenhengen mellom topp- og bunnpunktet til f og nullpunktene til f'. Vi kan se på sammenhengen mellom fortegnet til f' og retningen til f. Kanskje kan du finne andre sammenhenger også?

2.3

Deriver funksjonsuttrykkene.

a) fx= x2+5

b) fx=5x3-x+4

c) fx=(2-x2)(x+1)

d) gx=x2+3x3

2.4

Deriver funksjonsuttrykkene.

a) y(x)=3x2+2x-1

b) g(x)=(3x+2)(4x2-2x)

c) hx=(x2+1)(x+4+1x)

d) ix=2+x2x2-x-2

2.5

Deriver funksjonene.

a) fx=ex3+4x

b) gt=ln2t+5x

c) hx=34x3+lnx3

2.6

Deriver funksjonsuttrykkene.

a) fx=5ex3ex+1

b) gx=ln(2x+4)

c) fx=xlnx

2.7

a) Undersøk om kx er diskontinuerlig noen steder.

kx=x2-3        x<12x-4       x>1

b) Undersøk om funksjonen fx er kontinuerlig for  x=0.

fx=x       x>02x        x0

c) Undersøk om funksjonen gx er kontinuerlig for  x=0.

gx=x2+2x+1        x02x+1              x>0

d) Undersøk om hx er kontinuerlig for  x=1.

hx=2x+3         x1x2                x<1

2.8

a) Vi har gitt funksjonen  fx=x2·ex. Finn likningen for tangenten i punktet 1,f1.

b) Vi har gitt funksjonen  fx=x2·x+3. Finn likningen for tangenten i punktet 1,f1.

c) Vi har gitt funksjonen  gx=3x+2x. Finn likningen for tangenten i punktet 2,g(2).

2.9

For deloppgavene under skal du tegne en skisse av en graf som oppfyller kriteriene. (Du skal tegne én graf per deloppgave.)

a) En funksjon f er diskontinuerlig i punktet -2,f-2.

b) En funksjon h er kontinuerlig i hele . Den deriverte skifter aldri fortegn. Den har en tangent med stigningstall 0 der  x=2.

c) For en funksjon j er  limx2-jx=1  og  limx2+jx=2.

2.10 – miniprosjekt

Kan du lage et program som kan ta imot og derivere ulike typer funksjoner?

Tips til oppgaven

Her kan du bruke numeriske metoder for å finne den deriverte. Husk at du må få programmet til å kjenne igjen funksjonen brukeren taster inn. Kanskje må du legge inn noen begrensninger på hva slags funksjoner programmet kan derivere, eller du kan få brukeren til å fortelle deg hva slags funksjon som tastes inn.

Løsninger

2.1

a)

limx22x3-3x+1 = 2·23-3·2+1= 16-6+1= 11

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

b)

limx2x-2x2-3x+2

Vi prøver å sette inn 2 for x:

limx2x-2x2-3x+2 = 2-222-3·2+2= 00

Siden vi får 0 i både telleren og nevneren, prøver vi å forkorte uttrykket:

limx2x-2x2-3x+2 = limx2x-2·1(x-1)·x-2  = limx2x-2·1(x-1)·x-2= limx2 1(x-1)= 12-1=1 
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

c)

limx016-x-4x

Vi setter inn 0 for x og observerer at vi får 0 i både telleren og nevneren:

16-0-40=00

Vi bruker konjugatsetningen til å utvide brøken, slik at vi kan forkorte uttrykket:

limx016-x-4x·16-x+416-x+4 = limx016-x-16x16-x+4= limx0-xx16-x+4= limx0-116-x+4= -14-0+4= -18

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

d)

Vi ser at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi dividerer telleren og nevneren med høyeste potens av x: limxx2-4x+12-3x2 =limxx2x2-4xx2+1x22x2-3x2x2= limx1-4x+1x22x2-3= 1-0+00-3= -13

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:

e)

Vi observerer at telleren og nevneren begge blir 0, og vi bruker konjugatsetningen for å forkorte uttrykket:

limx2x1x+2x22= limx2x1x+2x+2x2= 2122= 2122= 2+12222= 2+24

f)

Vi observerer at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi deler på høyeste potens av x:

limx±2x25x2x+3 = limx±2x2x25x2x2x2xx2+3x2= limx±25x211x+3x2= 2010+0= 2

2.3

a)

fx = x2+5f'x = 2x

b)

fx = 5x3-x+4 = 5x3-x12+4f'x = 5·3x2-12x-12 = 15x2-12x

c)

Vi bruker produktregelen. Det kan være lurt å begynne med å definere og derivere de to faktorene:

u=2-x2 v=x+1u=-2xv'=1

Så kan vi gjennomføre derivasjonen:

f'x = u'·v+u·v'= -2x·x+1+2-x2·1= -2x2-2x+2-x2= -3x2-2x+2

d)

gx = x2+3x3= x5+3x3g'x = 5x4+9x2

2.4

a)

yx = 3x2+2x-1y'(x) = 3x2+2'x-1+3x2+2x-1'= 6xx-1+3x2+212x= 6xx-1·2x+3x2+22x= 12x2-12xx+3x2+22x= 15x2-12xx+22x

Her har vi valgt en annen måte å føre på enn i 2.4.91 c). Finn ut hvilken måte som passer best for deg og bruk den.

b)

g(x) = (3x+2)(4x2-2x)g'(x) = (3x+2)'·(4x2-2x)+(3x+2)·(4x2-2x)'= 3·(4x2-2x)+(3x+2)·8x-2= 12x2-6x+24x2-6x+16x-4= 36x2+4x-4

c)

hx = (x2+1)(x+4+1x)h'x = (x2+1)'·x+4+1x+(x2+1)·x+4+1x'= 2x·x+4+1x+(x2+1)·1-1x2= 2x2+8x+2+x2-1+1-1x2= 3x2+8x+2-1x2

d)

ix = 2+x2x2-x-2=uvi'x = u'·v-u·v'v2

Vi velger her å først definere og derivere u og v og regne ut v2:

u=2+x2v=x2-x-2u'=2xv'=2x+2x-3

v2 = x2-x-22= x22-2·x2·x-2+x-22= x2-2+x-4 

Nå kan vi finne i'x:

i'x = 2x·x2-x-2-2+x2·2x+2x-3x4-2+x-4= 2x3-2x-1-4x+4x-3+2x3+2x-1x4-2+x-4= -4x-4x-1-4x-3x4-2+x-4·x4x4= -4x5+x3+xx8-2x4+1

2.5

a)

fx = ex3+4xu = x3+4xu' = 3x2+4fu = euf'u = euf'x= u'·f'u= 3x2+4·ex3+4x

b)

Her legger vi merke til at leddet 5x er en konstant, siden derivasjonsvariablen er t:

gt = ln2t+5xu = 2t+5xu' = 2gu = lnug'u = 1ug't = u'·g'u= 2·12t+5x= 22t+5x

c)

hx = 34x3+lnx3u = 4x3+lnxu' = 12x2+1xhu = 3u3h'u = 9u2h'x = u'·h'u= 12x2+1x·94x3+lnx2

2.6

a)

fx = 5ex3ex+1f'x = 5ex'·3ex+1-5ex·3ex+1'3ex+12= 5ex3ex+1-5ex·3ex3ex+12= 15e2x+5ex-15e2x3ex+12= 5ex3ex+12

b)

gx = ln(2x+4)g'x = 12x+4·2= 22x+2= 1x+2

c)

fx = xlnxf'x = x'·lnx+x·lnx'= 1·lnx+x·1x= lnx+1

2.7

a)

Vi observerer at kx ikke er definert for  x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen kontinuerlig, siden alle polynomfunksjoner er kontinuerlige i hele . Funksjonen er altså kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde og er ikke diskontinuerlig i noen punkter.

b)

Vi undersøker om funksjonen er kontinuerlig i punktet, det vil si om limx0-fx= fx=limx0+fx:

limx0-fx = 2·0=0f0 = 2·0=0limx0+fx = 0=0

Vi har altså at f er kontinuerlig i punktet.

c)

Vi gjør de samme undersøkelsene for g(x):

limx0-gx = 2·02+2·0+1=1g0 = 2·02+2·0+1=1limx0+gx = 2·0+1=1

Her ser vi at funksjonen er kontinuerlig i punktet.

d)

Vi starter den samme undersøkelsen som i b):

limx1+hx = 2·1+3=5h1 = 2·1+3=5limx1-hx = 12=1

Her ser vi at funksjonen ikke er kontinuerlig i punktet.

2.8

a)

For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet:

y=f1=12·e1=e

Stigningstallet finner vi ved å regne ut f'1:

fx = x2·exf'x = x2'·ex+x2·ex'= 2xex+x2ex= xex2+xf'1 = 1·e12+1= 3e

Så bruker vi ettpunktsformelen for å regne ut:

y-y1 = ax-x1y-e = 3ex-1y = 3ex-3e+ey = 3ex-2e

I CAS trenger vi bare to linjer:

b)

For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet:

y=f1=12·1+3·1=1·4=4

Stigningstallet finner vi ved å regne ut f'1:

fx = x2·x+3f'x = x2'·x+3+x2·x+3'= 2xx+3+x212x= 2x32+6x+12x32= 52x32+6xf'1 = 52·132+6·1= 172

Så bruker vi ettpunktsformelen for å regne ut:

y-y1 = ax-x1y-4 = 172x-1y = 172x-172+82y = 172x-92

I CAS trenger vi bare to linjer:

c)

Vi følger den samme prosedyren som i a):

g2=3·2+22=4

g'x = 3x+2'·x-3x+2·x'x2= 3x-3x-2x2= -2x2g'2 = -222= -12

y-y1 = ax-x1y-4 = -12x-2y =-12x+1+4y = -12x+5

2.9

Til hver av disse oppgavene finnes det uendelig mange løsninger. Diskuter med en medelev eller en lærer om dine forslag oppfyller kriteriene.

CC BY-SA 4.0Dán lea/leat čállán Viveca Thindberg, Stein Aanensen, Olav Kristensen ja Tove Annette Holter.
Maŋemusat ođastuvvon 2021-10-08