Njuike sisdollui
Bargobihttá

Kjerneregelen

Øv på å derivere sammensatte funksjoner ved hjelp av kjerneregelen.

Kjerneregelen

f(x)=g(u(x))f'(x)=g'(u)·u'(x)

2.4.50

Bruk kjerneregelen til å derivere funksjonsuttrykkene nedenfor.

Tips til oppgavene
  • Finn kjernen u.

  • Finn deretter gu og ux.

  • Regn ut g'u og u'x.

  • Sett sammen, og finn f'x til slutt.

a) fx=4x-12

Løsning

fx = 4x-12      u=4x-1gu = u2               g'u=2uux = 4x-1           u'x=4f'x = g'u·u'x= 2u·4= 8u= 84x-1

b) fx=x2-1

Løsning

fx = x2-1           fx = x2-112          u=x2-1gu = u12                   g'u=12u-12ux = x2-1                u'x=2xf'x = g'u·u'x= 12u-12·2x= 12x2-1-12·2x= 12x2-1·2x= 2x2x2-1= xx2-1

c) fx=2x2-14x2

Løsning

fx = 2x2-14x2                    u=2x2-14xgu = u2                                  g'u=2uux = 2x2-14x                         u'x=4x-14f'x = g'u·u'x= 2u·4x-14= 2·2x2-14x·4x-14= 4x2-12x·4x-14= 16x3-x2-2x2+18x= 16x3-3x2+18x

d) fx = 6x2+23

Løsning

fx =  6x2+23fx=6·x2+213               u=x2+2gu=6u13                              g'u=6·13u13-1ux=x2+2                          u'x=2xf'x=g'u·u'x=6·13u13-1·2x=2u-23·2x=2x2+2-23·2x=4xx2+232

2.4.51

Deriver funksjonene.

a) fx=2x2-43

Løsning

fx = 2x2-43                    u=2x2-4gu = u3                              g'u=3u2ux = 2x2-4                        u'x=4xf'x = g'u·u'x= 3u2·4x               = 32x2-42·4x= 34x4-2·2x2·4+16·4x= 12x4x4-16x2+16= 48xx4-4x2+4

b) fx=x2-4x+32

Løsning

fx = x2-4x+32                u=x2-4x+3gu=u2                                   g'u=2uux=x2-4x+3                      u'x=2x-4f'x=g'u·u'x=2u·2x-4=2x2-4x+3·2x-4= 4x2-4x+3·x-2

c) fx = 3x2-232

Løsning

fx = 3x2-232            u=3x2-2gu = u32                 g'u=32u12                 ux = 3x2-2             u'x=6xf'x = g'u·u'x = 32u12·6x = 323x2-212·6x = 9x3x2-2

2.4.52

Deriver funksjonene.

a) fx=x2-4

Løsning

fx = x2-4             u=x2-4gu = u12                   g'u=12u-12                                ux = x2-4                 u'x=2xf'x = g'u·u'x= 12x2-4-12·2x= xx2-4

b) fx = x2+22x

Løsning

fx = x2+22x=uxvx

der

ux=x2+22  ,    vx=x

Dette gir

u'x=2·x2+2·2x=4xx2+2  ,    v'x=1

Vi brukte kjerneregelen i derivasjonen av ux. Vi bruker kvotientregelen og får

f'x = u'x·vx-ux·v'xx2= 4xx2+2·x-x2+22·1x2= x2+24x2-x2+2x2= x2+23x2-2x2

2.4.53

Deriver funksjonene.

a) fx=2xx-32

Løsning

fx = 2xx-32

Vi bruker kvotientregelen og kjerneregelen:

fx = 2xx-32f'x = 2x'·x-32-2x·x-32'x-322= 2·x-32-2x·2x-3·1x-322= 2x-32-4xx-3x-34= 2x-3-4xx-33= 2x-6-4xx-33= -6-2xx-33

b) fx = 2x23x-22

Løsning

fx = 2x23x-22

Vi bruker kvotientregelen og kjerneregelen:

f'x = 2x2'·3x-22-2x2·3x-22'3x-222=4x·3x-22-2x2·23x-2·33x-24 3=4x·3x-2-12x23x-23=12x2-8x-12x23x-23=-8x3x-23