Eksponentiell vekst og prosentvis vekst er det samme. Prosentvis vekst over flere perioder gir oss eksponentialfunksjoner.
Eksempel med kjent prosent
Du arver 50 000 kroner av en onkel. I en bank får du 5,5 prosent rente per år hvis du setter pengene i et aksjefond. Vi skal studere dette eksempelet i detalj ved hjelp av noen spørsmål.
Hvor mye har du innestående etter 6 år dersom du ikke rører pengene?
Løsning
Vanligvis vil renta endre seg noe i løpet av 6 år, men her regner vi med at renta er lik alle de 6 årene. Det innestående beløpet øker da med 5,5 prosent for hvert år. Da er det lurt å bruke vekstfaktoren, for da multipliserer vi bare arven med vekstfaktoren 6 ganger, som er det samme som å multiplisere med vekstfaktoren opphøyd i 6.
Innestående beløp blir 68 942 kroner.
Hvor mye har du innestående dersom du lar pengene stå urørt i år?
Løsning
Innestående beløp, B, er en funksjon av antall år x beløpet står inne i banken, og funksjonsuttrykket blir
Bx=50000·1,055x
Funksjonen kalles en eksponentialfunksjon siden variabelen x opptrer som eksponent i en potens.
Tegn grafen til funksjonen B, og finn grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før pengene har vokst til 75 000 kroner.
Grafisk løsning
Vi skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet, og for å få riktig navn på funksjonen, skriver vi B(x)=50000·1.055^x. Så skriver vi inn y=75000 for å få den vannrette linja. Vi finner skjæringspunktet mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".
Fra y-koordinaten til skjæringspunktet får vi at det tar cirka 7,5 år før pengene har vokst til 75 000 kroner.
Løsning ved regning
Matematisk betyr oppgaven at vi ønsker å finne ut når funksjonen B har verdien 75 000. Dette gir oss likningen
Bx=75000
Denne løser vi direkte i CAS. Siden vi har kalt funksjonen Bx i GeoGebra, kan vi referere direkte til den i CAS-feltet.
Vi får det samme svaret som ved grafisk løsning.
Siden Bx er en eksponentialfunksjon, kalles likningen vi løser for en eksponentiallikning.
Eksempel med ukjent prosent
Som vi skrev i det forrige eksempelet, vil renta ved sparing i aksjefond endre seg med ujevne mellomrom. Nå tenker vi oss at det har gått 10 år. Pengene har stått urørt hele tida. Du husker ikke nøyaktig hvor mye du satte inn, men du finner 3 gamle årsoppgaver som forteller hvor mye du hadde etter 2 år, etter 6 år og etter 7 år. Du vet dessuten at nå etter 10 år har du 87 432 kroner innestående. Det betyr at du har følgende opplysninger:
År siden sparingen startet
Sum innestående (kr)
2
55 567
6
72 679
7
77 302
10
87 432
Du ønsker å si noe om hvordan renta har vært i gjennomsnitt disse 10 årene. Du ønsker også å finne ut omtrent hvor mye du satte inn da du startet sparingen.
Hvordan går vi fram for å finne svaret på disse spørsmålene?
Løsning
Siden pengene vokser eksponentielt, kan vi prøve å finne en eksponentialfunksjon som passer best mulig med tallene i tabellen over. Dette gjør vi med regresjon, og vi bruker et verktøy som GeoGebra.
Vi sier at den eksponentialfunksjonen vi kommer fram til, er en modell for sparingen.
Forklar gangen i framgangsmåten når vi skal finne den eksponentialfunksjonen som passer best.
Forklaring
Vi skriver tallene i tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra.
Vi markerer tallene.
Så åpner vi regresjonsanalyseverktøyet og velger regresjonsmodellen "Eksponentiell". Da lager GeoGebra den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene.
Vi velger "Kopier til grafikkfeltet" for å få eksponentialfunksjonen over i grafikkfeltet i GeoGebra (og i algebrafeltet).
Dersom vi gjør som beskrevet over, får vi funksjonen
Bx=50487,672·1,059x
Regresjonsanalyseverktøyet
Grafikkfeltet i GeoGebra vil nå vise grafen til eksponentialfunksjonen og punktene fra tabellen tilsvarende som på bildet nedenfor. Grafen passer ganske bra med punktene.
Nå går vi tilbake til spørsmålene vi stilte i starten av eksempelet.
Foreslå måter som kan brukes for å finne ut hvor mye du satte inn på sparing i aksjefond for 10 år siden. Finn beløpet.
Løsning
Funksjonen Bx gir oss svaret. Når sparingen starter, er x=0. Det betyr at vi må finne B0. Det kan vi gjøre grafisk og med CAS, men her er det enkelt å finne svaret for hånd siden vi skal sette inn tallet 0 i funksjonen.
B0=50487,672·1,0590=50488
Etter modellen satte du inn 50 488 kroner da du startet sparingen.
Hva har renta vært i gjennomsnitt disse årene?
Tips til oppgaven
Stikkordet her er vekstfaktor.
Løsning
Vi leser av vekstfaktoren som grunntallet 1,059 i potensen i eksponentialfunksjonen. Det betyr at den gjennomsnittlige årlige veksten, det vil si renta, har vært på 5,9 prosent.
Vi kan vise dette ved å sette opp uttrykket for vekstfaktoren, som gir likningen
1+x100=1,059
Likningen løser vi ved regning for hånd eller med CAS. Nedenfor har vi løst likningen med CAS.