Gruppert datamateriale

Husk at histogramhøyde er frekvens delt på klassebredde. Når vi bruker GeoGebra, trenger vi også ei liste med klassegrensene, og disse tallene er fine å bruke til å regne ut klassebreddene.

I GeoGebra lager vi lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøydene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høyder)".

Under innstillingene til $$ y$$-aksen har vi latt $$ y$$-aksen krysse ved 140.

Vi starter med medianen. Nedenfor har vi lagt til en kolonne med kumulativ frekvens til frekvenstabellen.

Medianeleven er elev nummer

$$ \frac{323+1}{2}=162$$

Elev nummer 162 havner så vidt i klassen med høyder fra og med 175 til 180. Elev nummer 162 blir elev nummer  $$ 162-160=2$$  i denne klassen. Medianhøyden blir da

$$ 175 \mathrm{cm}+\frac{2}{64}·5 \mathrm{cm}=175,2 \mathrm{cm}$$

Medianhøyden blir her nesten det samme som klassegrensen siden medianeleven har et nummer som bare er litt større enn den kumulative frekvensen til klassen over.

Gjennomsnittshøyden er 175,3 cm, og standardavviket er 8,0 cm. Vi bruker det vanlige standardavviket siden vi har tilgang på alle tallene. Se GeoGebra-ark nederst på sida.

Antall personer i tusen:

$1536+622+722+1422+287+220=4809$

Det bodde cirka 4,8 millioner i Norge i 2009.

Vi legger tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra. Vi minner om at histogramhøyde er frekvens delt på klassebredde.

I GeoGebra lager vi deretter lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøydene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høyder)".

Vi lager en kolonne med kumulativ frekvens i regnearkdelen i GeoGebra.

Medianalderen er person nummer (i tusen)

$$ $ \frac{4 809+1}{2}=2 405$$$

Av kolonnen med kumulative frekvenser får vi at tall nummer 2 405 havner i klassen med alder fra og med 35 til 45. Det er fordi kumulativ frekvens for denne klassen er større enn 2 405 og kumulativ frekvens for klassen [25, 35⟩ er mindre (2 158). Tall nummer 2 405 blir tall nummer

 $$ 2 405-2 158=247$$

i denne klassen. Medianalderen blir da

$$ 35 \mathrm{år}+\frac{247}{722}·10 \mathrm{år}=38,4 \mathrm{år}$$

Medianalderen er altså 38 år.

Gjennomsnittsalderen er 40 år, og standardavviket er 24 år. Se GeoGebra-ark nederst på sida der vi også har regnet ut medianalderen i regnearkdelen.

Vi legger tallene i regnearkdelen i GeoGebra.

Vi velger å presentere resultatene i et histogram. Vi lager lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøyder fra oppgaven over.

Vi setter opp resultatene i stigende rekkefølge.

Medianen blir gjennomsnittet av tiende og ellevte måling, som er uthevet i tabellen over.

Medianen er

$\frac{103,8 \mathrm{km}/\mathrm{t}+104,1 \mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=103,95 \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 104,0 \mathrm{km}/\mathrm{h}$

Medianen er den midterste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiene er sortert i stigende rekkefølge. I denne oppgaven har vi 20 fartsmålinger. Siden vi nå har et gruppert materiale, bruker vi ikke gjennomsnittet av tall nummer 10 og 11, men det første tallet, tall nummer 10. Vi legger til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Da ser vi at tall nummer 10 må ligge i intervallet $$ [100, 105\rangle $$. Tall nummer 10 ligger  $$ 10-5=5$$  plasser fra venstre klassegrense.

Medianhastigheten blir

$$ \left(100+\frac{5}{7}·5\right)\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 103,6 \mathrm{km}/\mathrm{h}$$

I den første oppgaven bruker vi enkeltmålingene til å finne medianen. I den andre oppgaven finner vi først i hvilken gruppe medianen ligger. Vi beregner så hvor i gruppa medianen omtrent må ligge. Ved denne beregningen forutsetter vi at målingene i gruppa fordeler seg jevnt. Dette blir ikke helt nøyaktig, og svarene vil i de fleste tilfeller være ulike.

Gjennomsnittsfart med enkeltmålingene: 105,9 km/h

Gjennomsnittsfart med grupperte tall: 104,5 km/h

Se det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgaven.

I den første utregningen finner vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av de 20 målingene. I den andre bruker vi klassemidtpunktet og beregner gjennomsnittsfarten ut fra dette. Vi antar dermed at målingene i hver klasse fordeler seg jevnt, noe som gir en viss unøyaktighet.

Valget av type standardavvik kommer an på hvordan tallene skal brukes. Statens vegvesen ønsker å si noe om hvor fort (alle) bilene kjører på denne vegstrekningen. De har ikke kapasitet til å måle alle bilene som kjører, så de har målt et utvalg av dem. Derfor blir det mest riktig å bruke utvalgstandardavvik i denne situasjonen.

Dersom målet hadde vært å si noe om spredningen kun på de 20 bilene som ble målt, ville det ha vært mest riktig å bruke det vanlige standardavviket (populasjonsstandardavviket).

Standardavvik med enkeltmålingene: 10,3 km/h

Standardavvik med grupperte tall: 11,5 km/h

Se det nedlastbare GeoGebra-arket til oppgaven.

Her blir det også litt forskjellig svar siden det første tallet er basert på enkeltmålingene og det andre på tallene når de er gruppert.