Pytagoras’ setning

Tegn en trekant som er rettvinklet og der de korteste sidene er tre og fire enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem enheter lang?

Ta nå alle de tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden $$ c$$ er $$ c^2=5^2=25$$.

Kvadratet av sidelengden $$ a$$ er $$ a^2=3^2=9$$.

Kvadratet av sidelengden $$ b$$ er $$ b^2=4^2=16$$.

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste sida. Hva ser du?

Vi ser at $25=9+16$. Det er det samme som $$ c^2=a^2+b^2$$.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste sida i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagoras' setning:

$$ {\mathrm{hypotenus}}^2={{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2$$

$$ c^2=a^2+b^2$$

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har den samme bokstaven på motstående hjørner og sider.

Lag et kvadrat med sidelengder $a+b$. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe det ut av et stivt papir, eller du kan tegne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler $a$ og $b$, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du $c$.

Det grå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde $c$ og areal $c^2$.

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik $a+b$ .

Samlet areal til de fire rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at de grå arealene i de to figurene er like store, altså at $$ c^2=a^2+b^2$$ . Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.

Eksempel 1. Hypotenusen er ukjent

Vi ønsker å finne ut hvor lang sida $$ c$$ på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og Pytagoras' setning gir:

$$ \begin{array}{rcl}{c}^2& = & 2,0^2+5,0^2\\ & & \\ c^2& =& 4,0+25,0\\ & & \\ c^2& =& 29,0\\ & & \\ c& =& \sqrt{29,0}\\ & & \\ c& =& 5,38\approx 5,4\end{array}$$

Sida $$ c$$ er 5,4 centimeter.

Eksempel 2. Kateten er ukjent

Vi ser nå på den neste trekanten. Denne gangen velger vi å bruke CAS for å finne den ukjente sida ved hjelp av Pytagoras' setning:

Sida $AB$ er 5,9 meter.

Eksempel 3. Et praktisk eksempel

En stige skal plasseres 2,4 meter fra en husvegg slik at den akkurat når opp til vinduskarmen i et vindu i andre etasje. Vinduskarmen er 4,6 meter over bakken.

Hvor lang må stigen være?

Løsning

La stigen være $x$ meter lang.

Pytagoras' setning gir

Stigen må være $5,2$ meter lang.

Her kan du se en video som viser hvordan man kan bruke Pytagoras' setning i praksis når man skal lage rette vinkler.

Se videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noe av det du lærte til å sjekke om hjørnene i klasserommet ditt eller i stua hjemme er rette? Alt du trenger, er en tommestokk eller et målebånd!