Her kan du utforske hvordan formlikhet, målestokk og egenskaper ved geometriske figurer kan brukes i praktiske situasjoner.
Løsningsforslag til oppgavene finner du nederst på sida.
2.4.1
Cecilie har bygd en liten sandkasse til sønnen sin. Sandkassen har kvadratformet bunn og sidekanter som er 120 cm lange. Høyden på sandkassen er 30 cm.
a) Hvor mange kubikkmeter naturgrus må Cecilie kjøpe for å fylle sandkassen helt?
b) Cecilie har en liten tilhenger som har 500 kg som største nyttelast. 1 tonn naturgrus tilsvarer cirka 0,7 m³. Kan Cecilie laste all grusen hun kjøper i denne tilhengeren?
2.4.2
Figuren nedenfor viser ei traktorskuffe.
Skuffa er lagd av jernplater med en tykkelse på 6 mm. Jernet har en vekt på 7,87 g per cm3.
Hvor mange kilo veier skuffa?
2.4.3
Et svømmebasseng har en rektangelformet bunn med lengde 9,80 m og bredde 5,20 m. Høyden er 1,90 m overalt. Alle målene er innvendige. Veggene og bunnen i bassenget er av betong og er 20 cm tykke.
a) Hvor mange kubikkmeter betong har gått med til å lage vegger og bunn?
b) Bunnen og veggene i bassenget skal dekkes av fliser. Hvor stort er dette arealet?
2.4.4
Adrianne skal male en tresøyle som støtter opp en balkong. Søylen har form som en sylinder med diameter 30 cm og høyde 4,20 m.
Søylen skal ha to strøk maling, og Adrianne får vite at en liter maling dekker 6 m2. Hvor mange liter maling vil Adrianne trenge for å male søylen?
2.4.5
Leo er veldig interessert i pyramider og har studert verdens mest kjente pyramide, Kheopspyramiden, som ligger like utenfor Kairo i Egypt. Denne pyramiden har kvadratisk grunnflate med sidelengde 230 m. Høyden på pyramiden var opprinnelig 146 meter, men 10 meter har forsvunnet. En venn av Leo lurer på hvor stort volum Kheopspyramiden har.
a) Beregn volumet av den opprinnelige Kheopspyramiden.
For å prøve å få vennen til å forstå hvor stor Kheopspyramiden egentlig er, tenker Leo å sammenligne pyramiden med det lokale svømmebassenget. Dette svømmebassenget har en innvendig lengde på 25,0 meter, en bredde på 12,5 meter og en gjennomsnittsdybde på 2,4 meter.
b) Hvor mange liter vann rommer dette svømmebassenget?
c) Hvor mange slike basseng kan "fylles" i den opprinnelige Kheopspyramiden?
2.4.6
Bildet viser et kart over en eiendom med gårds- og bruksnummer 138/10. Dette er en hyttetomt med en hytte og et anneks. Hytta og annekset er tegnet inn på eiendommen.
a) Hvilken geometrisk figur synes du tomta ligner mest på?
b) Eieren ønsker å sette opp et gjerde langs hele tomtegrensa. Hvor langt blir gjerdet?
Tips til oppgaven
Bruk informasjonen på bildet til å finne målestokken.
Målene vil variere med skjermstørrelse og skjermoppløsning hvis du måler direkte på skjermen. En papirutskrift av kartet kan også gi helt andre mål.
c) Etter at hytta og annekset ble bygd, ville eieren så ny plen over hele tomta (inkludert den delen av tomta som er markert som vei). Hvor mange esker med plenfrø og hvor mye gjødsel måtte kjøpes inn?
Tips til oppgaven
Her må du innhente nødvendig informasjon selv. Husk å skrive opp hvilke forutsetninger du gjør.
2.4.7
Bjarne ønsker seg ny og større TV. TV-en må få plass i åpningen mellom veggen og pipa, der avstanden er 130 cm. Hvor stor TV kan Bjarne få plass til? (Husk at TV-er måles i tommer.)
Tips til oppgaven
Dette er en utforskende oppgave. Før du gjør beregninger, må du undersøke hvordan størrelsen på TV-skjermer måles, og du må sette deg inn i måleenheten tommer. Du må også undersøke hva det vanlige forholdet mellom høyde og bredde på en TV er.
2.4.8
a) Lag et program som beregner hvor mange tommer en TV-skjerm er ut fra bredden på skjermen. Programmet skal la brukeren taste inn ønsket bredde på TV-skjermen (i cm) og ut fra dette beregne hvor mange tommer en skjerm med denne bredden vil være. Vi går ut fra at skjermen har bredde- og høydeforholdet 16:9.
b) Utvid programmet slik at også forholdet mellom bredde og høyde oppgis av bruker.
2.4.9
Et klinometer er et måleapparat som blant annet kan brukes for å måle hvor mye et skip krenger eller høyden på trær eller bygninger.
For å regne ut høyden, , på for eksempel en flaggstang, sikter vi på toppen av flaggstanga med klinometeret og leser av siktevinkelen, v. Ut fra denne vinkelen finner vi et forholdstall, k, i en tabell, som du finner en forenklet utgave av nedenfor.
Vinkel, v
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
Forholdstall, k
0
0,176
0,364
0,577
0,839
1,192
1,804
2,748
I tillegg måler vi avstanden fra oss til flaggstanga, l, og avstanden fra øyet og ned på bakken, a. Vi bruker denne formelen:
H=(l·k)+a
Andreas vil måle høyden av flaggstanga si med et klinometer. Han stiller seg 10 meter fra flaggstanga, sikter mot toppen og leser av vinkelen v=30°. Andreas måler avstanden 165 cm fra øyet sitt og ned til bakken.
a) Beregn hvor høy flaggstanga til Andreas er.
b) Lag et program som lar brukeren oppgi avstanden til et objekt, l, avstanden fra øyet til bakken, a, og konstanten, k. Programmet skal så beregne hvor høyt objektet er. Oppgi alle lengder i meter.
2.4.10
Mary har laget et pyramidekort. Grunnflaten i kortet er et kvadrat. Sidene i pyramiden er likebeinte trekanter. På bildet ser du mønsteret hun brukte.
I tillegg til selve pyramiden har hun lagd en kvadratisk ramme, som hun kan tre ned over pyramiden for å holde den sammen.
a) På figuren har vi brettet ut det pyramideformede kortet. Finn overflaten til pyramidekortet. (Vi ser her bort fra rammen som er tredd over kortet.)
Tips til oppgaven
Finn høyden i trekanten fra det spisseste hjørnet og ned på sidekanten i grunnflaten.
Mary selger kortene hun lager i en nettbutikk, og der må hun angi høyden av pyramidekortet. Hun har målt høyden tidligere og mener å huske at høyden var 15 cm.
b) Gjør en beregning som viser at pyramidekortet er cirka 15 cm høyt.
Hullet i rammen som tres over kortet, er et kvadrat. Dette hullet skal være så stort at rammen blir liggende 10 cm over grunnflaten i pyramiden.
c) Regn ut hvor stort hullet i rammen må være.
Denne oppgaven er en omarbeidet versjon av en oppgave fra eksamen i 1P, våren 2012.
2.4.11
På bildet ser du en boks "Stabbur-Makrell". Bunnen av boksen er tilnærmet lik et rektangel og to halvsirkler og har form som vist på figuren til høyre. Rektangelet har lengde 8,2 cm og bredde 6,6 cm.
Anta at sideflaten står vinkelrett på topp og bunn, og at boksen er 2,1 cm høy.
a) Bestem volumet av boksen.
b) Bestem overflaten av boksen.
Denne oppgaven er hentet fra eksamen i 1P, våren 2015.
2.4.12
På bildet ser du en lampeskjerm av stoff med fire like sider. Skissen nedenfor viser én side av lampeskjermen, med mål satt på.
a) Bestem arealet av én side av lampeskjermen.
b) Hvor mye stoff går det med til en lampeskjerm når det må beregnes 10 prosent ekstra stoff til overlapp og kanter?
Denne oppgaven er hentet fra eksamen i 1P, våren 2018.
2.4.13
Ei kake har form som en sylinder med diameter 26,0 cm og høyde 8,0 cm.
a) Bestem volumet av kaka. Oppgi svaret i liter.
Ingrid skal dekke kaka med marsipan på toppen og på sidene. Hun vil starte med å kjevle ut en sirkel av marsipan. Denne sirkelen blir marsipanlokket.
I oppskriften står det at hun må gjøre følgende for å bestemme hvor stort marsipanlokket bør være:
Mål hvor stor diameter kaka har, og hvor høy den er. Legg sammen diameteren og to ganger høyden. Legg deretter til 7 cm ekstra. Da har du den totale diameteren til lokket.
b) Bestem arealet av marsipanlokket.
c) Vis at forholdet mellom arealet av marsipanlokket og overflatearealet av kaka er tilnærmet lik 1,6.
Denne oppgaven er hentet fra eksamen i 1P, våren 2019.
Løsninger
2.4.1
a)
120cm·120cm·30cm=432000cm3=0,432m3
Cecilie må kjøpe 0,432 kubikkmeter naturgrus for å fylle sandkassen helt.
b)
Oppgaven kan løses på flere måter. Vi velger å finne ut hvor stort volum 500 kg naturgrus har, siden tilhengeren maksimalt kan frakte 500 kg. Når ett tonn naturgrus tilsvarer 0,7 m3, må 500 kg naturgrus tilsvare halvparten av dette volumet.
0,7m32=0,35m3
Tilhengeren kan maksimalt frakte 0,35 m3 naturgrus, så Cecilie kan ikke laste all grusen i tilhengeren.
2.4.2
Traktorskuffa er satt sammen av fire plater: bunnplate, to sideplater og ei bakplate.
Bunn: 230cm·86cm·0,6cm=11868cm3
To sideplater: 2·86cm·76cm2·0,6cm=3921cm3
Bakplate: 230cm·76cm·0,6cm=10488cm3
Totalt volum:
11868cm3+3921,6cm3+10488cm3=26277,6cm3
26277,6cm3·7,87g/cm3=206806g
Skuffa veier 0,21 tonn.
2.4.3
a)
Her er det kanskje enklest å regne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekke dem fra hverandre. For å spare litt inntasting, starter vi med å skrive inn de tre målene i variablene l,b og h. Vi tar med enheten m her for å få enhet på svaret.
Så regner vi ut det utvendige volumet inkludert vegger og gulv og det innvendige volumet og trekker disse fra hverandre.
Det gikk med 23,13 m3 betong.
Alternativt kan vi regne ut volumet av bunnen og de fire veggene direkte.
b)
Vi må regne ut (det innvendige) arealet av de fire veggene pluss bunnen.
Arealet er 108 m2.
2.4.4
Vi går ut fra at topp og bunn av søylen ikke skal males, noe som betyr at vi ikke trenger å ta med overflaten av disse.
Adrianne trenger 1,32liter maling for å male søylen.
2.4.5
a)
Volumet av en pyramide er gitt ved formelen V=G·h3.
Volumet V av den opprinnelige Kheopspyramiden var 2570000m3.
b)
Svømmebassenget rommer 750000liter.
c)
3 430 svømmebasseng av denne typen kan "fylles" i Kheopspyramiden.
2.4.6
a)
Eiendommen har tilnærmet form som et trapes.
b)
Gjerdets lengde vil være lik omkretsen av trapeset. For å finne hvor langt gjerdet blir, må vi derfor måle de fire sidekantene på kartet. Vi finner målestokken ved å måle den angitte 30-metersstreken på kartet og bruke forholdsregning. NB: Målene vil variere ut fra om du tar utskrift eller om du måler på skjermen.
Vi måler sidekantene til 5,3 cm, 4,5 cm, 4,8 cm og 4,4 cm.
30 meter i virkeligheten måles til 4,4 cm på kartet.
30m4,4cm=x1cmx=6,8m
Målestokk: 1 cm på kartet er 6,8 m i virkeligheten.
Omkrets: 5,3+4,5+4,8+4,4·6,8m=129,2m
Gjerdet blir cirka 130 meter langt.
b)
Det er flere måter å løse denne oppgaven på.
Eksempel på løsning:
Vi velger å beregne arealet av bygningene og trekke dette fra det totale arealet for å finne hvor stort areal som skal ha plen. Vi må også finne informasjon om hvor mye hagegjødsel og frø som anbefales per m2.
Anslag for tomtas areal, ut fra at den har tilnærmet form som et trapes:
(5,3·6,8m+4,8·6,8m)·4,4·6,8m2=1027m2
Areal som skal ha plen: 1027m2-160m2=867m2
På nettsidene til Felleskjøpet finner vi følgende anbefalinger:
5–10 kg hagegjødsel per 100 m2
1,2–1,5 kg frø per 100 m2
Vi bestemmer oss for å bruke den største anbefalte mengden av både hagegjødsel og frø.
Eieren trenger 8,67·10kg=86,70kg hagegjødsel og 1,5kg·8,67=13kg frø.
Plenfrø selges i pakker med 5 kg eller 25 kg. Eieren kan gå litt ned i mengde, siden beregningene er gjort ut fra den største anbefalte mengden, og kjøpe 2 pakker frø à 5 kg, det vil si 10 kg frø. Alternativt kan eieren kjøpe 3 pakker frø à 5 kg, det vil si 15 kg frø, og dermed få mer frø enn anbefalt.
2.4.7
Størrelsen på TV-skjermer angis ut fra hvor lang skjermens diagonal er. Dette målet oppgis ofte i tommer. 1 tomme er 2,54 cm.
Forholdet mellom bredde og høyde på en TV-skjerm varierer, i 2021 er 16:9 det mest vanlige. I tillegg til selve skjermen er det en ramme på 1–4 cm.
Bjarne har egentlig plass til en TV som er opp til 130 cm i bredden. Hvis vi setter av 4 cm til ramme på hver side, vil selve skjermen maksimalt kunne være 122 cm.
Vi finner først hvor stor høyde en skjerm med bredde lik 122 cm vil ha. Deretter bruker vi Pytagoras' setning for å beregne diagonalen, og til slutt beregner vi hvor mange tommer diagonalen er.
Bjarne kan velge en TV som har en skjerm som er maksimalt 55 tommer, men dersom rammen er bredere enn 4 cm på hver side, må han velge en skjerm som er mindre enn 55 tommer.
2.4.8
a) Programmet beregner antall tommer til TV-skjerm ut fra bredden. Det er programmert i Python.
b) Vi utvider programmet fra oppgave a).
2.4.9
a)
Tabellen viser at en vinkel på 30° gir k=0,577.
H=10m·0,577+1,65=7,42m
Flaggstanga til Andreas er 7,42 meter.
b)
Vi lager programmet i Python.
2.4.10
a)
Vi ser på én av trekantene og bruker Pytagoras' setning.
52+h2=172
Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.
Høyden i trekantene er cirka 16,2 cm. Overflaten blir arealet av de fire trekantene pluss kvadratet i midten.
Overflaten av pyramidekortet er cirka 425 cm2.
b)
Når kortet brettes til en pyramide, vil høyden i trekantene bli hypotenus i en rettvinklet trekant som har en katet lik 5 cm og en katet lik indre høyde i pyramiden.
Pyramidekortet er cirka 15 cm høyt.
c)
Den delen av pyramiden som er over hullet, er en liten pyramide som er formlik med hele pyramiden. Det betyr at den lille pyramiden har en tilsvarende rettvinklet trekant som beskrevet i oppgave b), der indre høyde er den ene kateten, mens halve hullets bredde er den andre kateten. Også mellom disse to trekantene vil det være formlikhet.
Indre høyde i den store pyramiden er beregnet til 15,5 cm. Indre høyde i den lille pyramiden vil være 10 cm mindre, det vil si 5,5 cm.
Vi bruker forholdsregning for å finne sidekantene i hullet:
Grunnflaten består av to halve sirkler og et rektangel.
Volumet av boksen er 225 cm2, som tilsvarer 0,23 liter.
b)
Overflaten av boksen består av grunnflate (bunn), topp og sideflate. Topp og bunn har like store areal, mens sideflatens areal er omkretsen multiplisert med høyden.
Omkretsen er omkretsen av halvsirklene på endene pluss de to korteste sidene i rektangelet.
Overflaten av boksen er 296 cm2.
2.4.12
a)
Hver av sidene av lampeskjermen har form som et trapes.