Andre typer modeller og mønstre

Vi har tallrekka  $$ 3+7+11+15 + ...$$

a) Hvilket mønster følger denne tallrekka? Hva blir de to neste leddene?

b) Vis at ledd nummer $n$ i tallrekka er gitt ved formelen  $a_n=4n-1$.

Vi har tallrekka  $$ 2+4+8+16 + ...$$

a) Hvilket mønster følger denne tallrekka? Hva blir de to neste leddene?

b) Vis at ledd nummer $n$ i tallrekka er gitt ved formelen  $a_n=2^n$.

Rektangeltallene kan framstilles slik figuren viser.

Vi kaller det første rektangeltallet  $R_1=2$, det neste rektangeltallet kaller vi  $R_2=6$, det tredje rektangeltallet kaller vi  $R_3=12$  og så videre.

a) Forklar hva vi gjør for å komme fra en figur til den neste. Hva er mønsteret i det vi gjør?

b) Forklar at det fjerde rektangeltallet inneholder 20 prikker.

c) Gitt tabellen nedenfor.

Plott punktene i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver antall prikker i rektangeltallene. La $x$ være nummeret på rektangeltallet, og la $P\left(x\right)$ være antall prikker i tallet.

Løsning

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet. Ved å prøve med ulike regresjonstyper får vi at andregradsfunksjonen

$$ P\left(x\right)=x^2+x$$

passer helt perfekt med verdiene i tabellen.

Vinkelsummen i en trekant er 180°, i en firkant er vinkelsummen 360°, og i en femkant er vinkelsummen 540°.

a) Lag en formel som viser vinkelsummen i en mangekant med n antall sider.

I en regulær mangekant er vinklene like store. For eksempel er vinklene i en regulær trekant 60°, i en regulær firkant er vinklene 90°, og i en regulær femkant er vinklene 108°.

b) Finn et uttrykk som viser vinkelen i en regulær femkant og en regulær sjukant. Kan du tenke deg hva som kan være en formel for vinkelen i en regulær $n$-kant?

Løsning

Vi kaller vinkelen i en regulær femkant for $$ v$$. En regulær femkant består av 5 helt like (kongruente) likebeinte trekanter. I hver trekant er  $$ u+u+w=2u+w=180°$$. Er du enig i at  $$ v=2u$$? Da kan vi skrive

$$ \begin{array}{rcl}v+w & =& 180°\\ v & =& 180°-w\end{array}$$

Hvis vi ser på sentrum i femkanten, har vi også at  $$ 5w=360°$$. Dette gir

$$ w=\frac{360°}{5}$$

Setter vi dette inn i likningen over, får vi at

$$ v=180°-\frac{360°}{5}$$

Vi kan regne ut svaret til 108°, men her er poenget å komme fram til en formel.

Hvis vi gjør det samme som over med en regulær sjukant, får vi at

$$ v=180°-\frac{360°}{7}$$

Vi får derfor at vinkelen $$ v$$ i en regulær $$ n$$-kant blir

$$ v=180°-\frac{360°}{n}$$

Sammenhengen mellom temperatur målt i fahrenheit, $$ F$$, og celsius, $$ C$$, er gitt ved formelen

$F=1,8C+32$

a) Hvor mange grader fahrenheit har vi når vi har 0 grader celsius?

b) Løs formelen med hensyn på $$ C$$.

c) Hvor mange grader celsius har vi når temperaturen er 65 grader fahrenheit?

Skriv opp alle oddetallene til og med 29. Det første tallet er 1. Hva er summen av de to neste oddetallene? Hva er summen av de tre neste? Fortsett etter samme mønster. Ser du noe mønster i summene du får?

$\underset{1}{\underbrace{1}} \underset{8}{\underbrace{3 5}} \underset{?}{\underbrace{7 9 11}} 13 ...$

Gatebildet i sentrum av Kristiansand, kvadraturen, er regelmessig bygd opp med rette gater der gater som krysser hverandre danner vinkler på omtrent 90 grader. "Kvartalene", områdene avgrenset av gater, har tilnærmet form av rektangler.

Vi tenker oss nå byen enda mer regelmessig slik at alle "kvartaler" har en kvadratisk grunnflate.

Tenk deg at du skal gå fra gatehjørne A til gatehjørne B.

a) Hvor mange forskjellige "korteste veier" er det mellom A og B?

Løsning

Vi tegner opp alle muligheter og finner av figuren nedenfor at det er 10 forskjellige "korteste veier".

Det er seks "kvartaler" (grønne kvadrater) i rektanglet som dannes av gatehjørnene A og B, som er start- og sluttpunktene for turen.

b) Er det andre muligheter for formen til rektanglet som dannes av gatehjørnene A og B når det skal inneholde seks "kvartaler"? Hvor mange "korteste veier" får vi da? Lag tegninger som viser disse veiene.

Løsning

Vi kan sette sammen kvadratene etter hverandre. Det blir nå 7 "korteste veier".

c) Prøv å finne antall "korteste veier" når antall "kvartaler" som omsluttes av gatehjørnene A og B varierer fra 1 til 9. Skriv svarene i en tabell som den nedenfor, der vi har fylt ut svaret for 6 kvartaler ut ifra oppgave a) til c). Finner du noe mønster i dine oppdagelser?

d) Kan du si noe om sammenhengen mellom antall kvartaler som omsluttes og formen på de omsluttende kvartalene?

e) Det viser seg at tallene i Pascals talltrekant forteller hvor mange "korteste veier" som leder fra toppen og fram til et krysningspunkt i talltrekanten. Studer talltrekanten nedenfor, og se at dette stemmer med dine resultater.

f) Utvid Pascals talltrekant (eller finn en variant som er stor nok på internett), og finn ut hvor mange former 12 kvartaler kan danne, og hvor mange forskjellige "korteste veier" de enkelte har.

g) Utvid Pascals talltrekant, og finn ut hvor mange former 24 kvartaler kan danne, og hvor mange forskjellige "korteste veier" de enkelte har.

Nedenfor ser du fire figurer som består av prikker. I figur 1 er det 1 prikk. I figur 2 er det 3 prikker. I figur 3 er det 6 prikker, og i figur 4 er det 10 prikker.

a) Hva slags geometriske former har disse figurene?

b) Kan du fortsette og lage figur 5, 6, 7 og 8 etter samme mønster?

Antall prikker i figurene kalles for trekanttall. Vi skriver  $t_1=1, t_2=3, t_3=6$   og så videre.

c) Kan du forklare hvorfor vi kan skrive

$$ \begin{array}{rcl}{t}_1 & =& 1\\ t_2 & =& 1+2=3\\ t_3 & =& 1+2+3=6\\ t_4 & =& 1+2+3+4=10 \end{array}$$

og generelt

$$ t_n=1+2+3+ ... +n$$ ?

d) Fyll ut tabellen. Finner du igjen noen av tallkolonnene i Pascals talltrekant? Hva slags tall får du i kolonnen til høyre?

e) Kan du finne en formel eller en matematisk modell for antall prikker i figur nummer $$ n$$?

Løsning

Hvis vi setter to like figurer oppå hverandre slik som bildet viser, får vi et rektangel der bredden er lik figurnummeret (her: 4), og høyden er én større enn figurnummeret. Da har vi altså dobbelt så mange prikker som figurtallet, så vi kan regne ut antall prikker i figurtall nummer 4 (og dermed trekanttall nummer 4) som

$$ t_4=\frac{5·4}{2}\left(=10\right)$$

Antall prikker i figurtall nummer $$ n$$, og dermed formelen for trekanttall nummer $$ n$$, blir

$$ t_n=\frac{\left(n+1\right)·n}{2}$$

f) Sett sammen to nabofigurer. Hva slags figur får du? Ser du noen sammenheng med den høyre kolonnen du fikk i oppgave d)?

Løsning

For eksempel danner figurene 5 og 4 et kvadrat. Summen av alle par av nabofigurer danner alltid et kvadrat. Derfor får vi også kvadrattallene i kolonnen til høyre i oppgave d).

g) Bruk formelen for trekanttallene, og vis at når du legger sammen to nabotrekanttall, får du alltid et kvadrattall. (Dette er en 1T-oppgave.)

Tenk deg at en av dine forfedre i år 1900 satte inn 100 kroner i banken. Han fikk en avtale med banksjefen om en garantert årlig rente på 10 prosent. Din forfar døde, og nå viser det seg at du er den heldige arving til bankkontoen.

a) Lag en matematisk modell for hvordan pengene har vokst i banken når vi forutsetter at renta hele tida er 10 prosent. La $$ x$$ stå for antall år etter 1900.

b) Vis et grafisk bilde av modellen. Hva er beløpet på kontoen i år 2021?

Løsning

Vi skriver inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra og skriver inn punktet (121, f(121)).

I 2021 står det litt over 10 millioner på kontoen.

c) Du lar være å bruke pengene i dag og velger i stedet å la pengene stå på kontoen til du nærmer deg pensjonsalderen. Hva står på kontoen i år 2068?

Løsning

År 2068 vil si at  $$ x=168$$. Vi skriver inn punktet (168, f(168)).

De 100 kronene satt inn i 1900 vil ha vokst til omtrent 900 millioner kroner i året 2068. Merk at tallene på $$ y$$-aksen er så store at de skrives på standardform.

d) Albert Einstein sa en gang "Renters rente-effekten er den sterkeste kraften vi kjenner". Hva mente Einstein med det?

Flytt på 2 piler (fyrstikker) og få 4 like kvadrater. Alle pilene skal brukes. Hver pil utgjør én side i et kvadrat.  

Formelen  $$ V=\frac{4}{3}\pi r^3$$  viser sammenhengen mellom radius til ei kule og volumet av kula.

a) Lag en plan for hvordan du kan bruke denne modellen for å finne radius til en fotball.

b) Få tak i en fotball og utfør planen.

En modell for svingetida til en pendel er  $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  der $$ T$$ er svingetida, $$ l$$ er snorlengden og $$ g$$ er tyngdens akselerasjon, som har verdien $$ 9,81 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$.

a) Lag deg en pendel av et lodd eller lignende. Mål svingetida for pendelen for varierende snorlengder. Lag en modell for svingetida $$ T$$ som funksjon av snorlengden $$ l$$.

b) Sammenlikn din modell med denne modellen. Hva finner du?

c) Hvor lang må snorlengden være for at du på en enkel måte kan bruke pendelen til å telle sekunder?

d) Kanskje har noen i din familie et pendelur hjemme. I så tilfelle, undersøk hvordan du kan stille dette uret til å gå riktig.  

En kortkunst: Ta ut 21 kort fra en kortstokk. Fordel disse kortene i tre kolonner med sju kort i hver kolonne. La kortene ligge med billedsida opp, og la dem ikke overlappe mer enn at det er mulig å se hvilke kort som ligger i hver kolonne. Be en venn om å velge ut og tenke på ett bestemt kort og fortelle deg i hvilken kolonne dette kortet ligger.

Så samler du inn kortene, kolonne for kolonne, men du passer på å legge kolonnen med det valgte kortet i midten.

Så legger du ut kortene igjen i 3 kolonner, men slik at de tre øverste kortene blir de første kortene i hver kolonne, de tre neste kortene blir kort nummer to i hver kolonne og så videre.

Du ber så din venn fortelle i hvilken kolonne det valgte kortet nå ligger.

Du gjentar prosedyren beskrevet ovenfor og ber din venn for tredje gang fortelle i hvilken kolonne det valgte kortet ligger.

Så samler du inn kortene, kolonne for kolonne, og du passer igjen på å legge kolonnen med det valgte kortet i midten.

Nå vil alltid det valgte kortet ligge som nummer elleve i bunken!

Du kan nå, på en kreativ og mystisk måte, fortelle din venn hvilket kort hun har valgt.

Din oppgave

Hvorfor er det slik at det valgte kortet alltid vil havne på plass nummer elleve?

Klarer du å skrive inn hvert av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 i hver sin rute slik at når du summerer tallene i tre ruter, enten vannrett, loddrett eller diagonalt, så blir summen alltid den samme?

Eksamen 2P våren 2015 del 2: oppgave 4
Eksamen 2P høsten 2014 del 2: oppgave 4
Eksamen 2P våren 2014 del 2: oppgave 6
Eksamen 2P høsten 2012 del 1: oppgave 9
Eksamen 2P høsten 2012 del 2: oppgave 7