Formlikhet

Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike.

Den siste vinkelen er $180°-45°-71,57°=63,43°$

Vi regner først ut målestokken når vi går fra $∆DEF$ til $∆ABC$.

$\frac{AB}{DE}=\frac{6,0}{8,0}=0,75$

Så kan vi finne lengden av $AC$.

$AC=10,0 \mathrm{cm}·0,75=7,5 \mathrm{cm}$

$EF=\frac{BC}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{\stackrel{2,1}{\cancel{6,3 }}\mathrm{cm}·4}{\cancel{3}}=8,4 \mathrm{cm}$

Trekantene $DEF$ og $GHF$ har felles vinkel $F$. De parallelle linjene $DE$ og $GH$ skjæres av linjene gjennom $DF$ og $EF$. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs. at vinkel $DEF$ = vinkel $GHF$ osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.

Toppvinklene $ASB$ og $$ CSD$$ er like store. De parallelle linjene gjennom $$ A$$ og $$ B$$ og gjennom $$ C$$ og $$ D$$ skjæres av linjene gjennom $$ A$$ og $$ D$$ og gjennom $$ B$$ og $$ C$$. Når to parallelle linjer skjæres av ei tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike.

$\begin{array}{rcl}\angle ACB& = & \angle DFE\\ & & \\ \angle ACB& =& 71,6°\\ & & \\ \angle CBA& =& \angle FEB=180°-45°-71,6°=63,4°\end{array}$

Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet danner $90°$ med bakken.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Målestokk}& = & \frac{10,5}{0,5}=21\\ & & \\ 2,0 \mathrm{m}·21& =& 42 \mathrm{m}\end{array}$

Treet er 42 meter høyt.

Trekantene $BST$ og $B´ST´$ har felles vinkel $S$. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike.

$\angle PSQ=\angle RST$ fordi de er toppvinkler.

Linjene $PT$ og $RQ$ skjærer de parallelle linjene $PQ$ og $RT$ og vi har da at de samsvarende vinklene er like. For eksempel er $\angle SQP=\angle SRT$.

Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. Da $\angle SQP=\angle SRT$ er sidene $PS$ og $ST$ tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler.

Forholdet mellom tilsvarende sider er konstant.

$\frac{PS}{ST}=\frac{PQ}{RT}\Rightarrow \frac{PS}{5 \mathrm{m}}=\frac{4 \mathrm{m}}{6 \mathrm{m}}\Rightarrow PS=5 \mathrm{m}·\frac{4}{6}=\frac{20 \mathrm{m}}{6}=3,3 \mathrm{m}$

$∆DCE$ og $∆BCA$ er formlike fordi vinkel $C$ er lik i de to trekantene (toppvinkler), og begge trekantene er rettvinklete. Forholdet mellom de tilsvarende sidene $CD$ og $BC$ blir

$$ \frac{200}{2,5}=80$$

$$ DE=AB·25=80·25=2 000$$

Avstanden $DE$ ut til Hatholmen er $$ 2 000$$ meter.