Potenser

Noen tall kan faktoriseres på en slik måte at alle faktorene er like. Vi har for eksempel at $$ 64 = 2·2·2·2·2·2$$ . I matematikken har vi funnet en mer effektiv skrivemåte for å multiplisere mange like faktorer med hverandre. Vi skriver

$$ 64=2·2·2·2·2·2=2^6$$

Tallet $$ 2$$ kalles grunntallet, og tallet $$ 6$$ kalles eksponenten. Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal være faktor.

$$ 2^6=\underset{6 \mathrm{ganger}}{\underbrace{2·2·2·2·2·2}}=64$$

Å skrive $$ 2^6$$ er altså bare en annen måte å skrive tallet $$ 64$$ på.

Ved å skrive "def" over likhetstegnet forteller vi at dette er noe som er bestemt, definert, at skal gjelde.

Når vi skal regne med potenser, har vi en del viktige sammenhenger som kan gjøre utregningene lettere for oss.

Multiplikasjon av potenser

Vi kan regne på følgende måte med potenser:

$3^4·3^5=\underset{4 \mathrm{ganger}}{\underbrace{3·3·3·3}}·\underset{5 \mathrm{ganger}}{\underbrace{3·3·3·3·3}}=3^9$

Vi ser at

$3^4·3^5=3^{4+5}=3^9$

Divisjon av potenser

Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre. Foreløpig forutsetter vi at eksponenten i telleren er større enn eksponenten i nevneren:

$\frac{3^6}{3^2}=\frac{3·3·3·3·\cancel{3}·\cancel{3}}{\cancel{3}·\cancel{3}}=3^4$

Vi ser at

$\frac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4$

Negative eksponenter

Hvordan blir utregningen hvis $$ n>m$$, det vil si at potensen i nevneren har større eksponent enn potensen i telleren? Vi bytter om på potensene i det forrige eksempelet slik at vi får $$ \frac{3^2}{3^6}$$ og finner svaret på to måter:

Vi løser først med vanlig brøkregning og får

$\frac{3^2}{3^6}=\frac{\cancel{3}·\cancel{3}}{3·3·3·3·\cancel{3}·\cancel{3}}=\frac{1}{3^4}$

Ved å bruke regneregelen for divisjon av potenser får vi

$\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}$

Vi ønsker at regneregelen for divisjon av potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at $\frac{1}{3^4}$ og $3^{-4}$ må være det samme tallet. Vi innfører en viktig definisjon:

Eksponent = 0

Hva så hvis potensene i telleren og nevneren har like eksponenter? Vi ser på et eksempel.

Ved vanlig brøkregning får vi

$\frac{3^2}{3^2}=\frac{\cancel{3}·\cancel{3}}{\cancel{3}·\cancel{3}}=\frac{1}{1}=1$

Ved å bruke regelen for divisjon av potenser får vi

$\frac{3^2}{3^2}=3^{2-2}=3^0$

Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde. Det betyr at $3^0$ må være lik tallet 1.

Studer følgende regnestykker der definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(2·3\right)}^4& = & \left(2·3\right)·\left(2·3\right)·\left(2·3\right)·\left(2·3\right)\\ & & \\ & =& 2·3·2·3·2·3·2·3\\ & & \\ & =& 2·2·2·2·3·3·3·3\\ & & \\ & =& 2^4·3^4\\ & & \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^4& =& \left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)\\ & & \\ & =& \frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}\\ & & \\ & =& \frac{2·2·2·2}{3·3·3·3}\\ & & \\ & =& \frac{2^4}{3^4}\\ & & \\ {\left(2^3\right)}^4& =& \left(2^3\right)·\left(2^3\right)·\left(2^3\right)·\left(2^3\right)\\ & & \\ & =& (2·2·2)·(2·2·2)·\left(2·2·2\right)·\left(2·2·2\right)\\ & & \\ & =& 2^{12}\\ & & \\ & =& 2^{3·4}\end{array}$$