Blandede oppgaver om grenseverdi, vekstfart, kontinuitet og derivasjon
2.1
Finn grenseverdien dersom den eksisterer. Bruk gjerne CAS til å kontrollere om du har riktig svar.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.2
Under ser du grafen til
Tips til oppgaven
Her er det mye å ta av! Vi kan se på sammenhengen mellom topp- og bunnpunktet til
2.3
Deriver funksjonsuttrykkene.
a)
b)
c)
d)
2.4
Deriver funksjonsuttrykkene.
a)
b)
c)
d)
2.5
Deriver funksjonene.
a)
b)
c)
2.6
Deriver funksjonsuttrykkene.
a)
b)
c)
2.7
a) Undersøk om
b) Undersøk om funksjonen
c) Undersøk om funksjonen
d) Undersøk om
e) Utfordring: Bruk definisjonen til den deriverte for å vise at
f) Forklar hvorfor det ikke vil være tilstrekkelig å sjekke om grenseverdien til den deriverte eksisterer for å vise at en funksjon er kontinuerlig, men ikke deriverbar.
2.8
a) Vi har gitt funksjonen
b) Vi har gitt funksjonen
c) Vi har gitt funksjonen
2.9
For deloppgavene under skal du tegne en skisse av en graf som oppfyller kriteriene. (Du skal tegne én graf per deloppgave.)
a) En funksjon
b) En funksjon
c) En funksjon
d) En funksjon
e) For en funksjon
f) En funksjon
2.10 – miniprosjekt
Kan du lage et program som kan ta imot og derivere ulike typer funksjoner?
Tips til oppgaven
Her kan du bruke numeriske metoder for å finne den deriverte. Husk at du må få programmet til å kjenne igjen funksjonen brukeren taster inn. Kanskje må du legge inn noen begrensninger på hva slags funksjoner programmet kan derivere, eller du kan få brukeren til å fortelle deg hva slags funksjon som tastes inn.
Løsninger
2.1
a)
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
b)
Vi prøver å sette inn
Siden vi får 0 i både telleren og nevneren, prøver vi å forkorte uttrykket:
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
c)
Vi setter inn
Vi bruker konjugatsetningen til å utvide brøken, slik at vi kan forkorte uttrykket:
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
d)
Vi ser at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi dividerer telleren og nevneren med høyeste potens av
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
e)
Vi observerer at telleren og nevneren begge blir 0, og vi bruker konjugatsetningen for å forkorte uttrykket:
f)
Vi observerer at både telleren og nevneren går mot uendelig. Vi deler på høyeste potens av
2.3
a)
b)
c)
Vi bruker produktregelen. Det kan være lurt å begynne med å definere og derivere de to faktorene:
Så kan vi gjennomføre derivasjonen:
d)
2.4
a)
Her har vi valgt en annen måte å føre på enn i 2.4.91 c). Finn ut hvilken måte som passer best for deg og bruk den.
b)
c)
d)
Vi velger her å først definere og derivere
Nå kan vi finne
2.5
a)
b)
Her legger vi merke til at leddet
c)
2.6
a)
b)
c)
2.7
a)
Vi observerer at
b)
Vi undersøker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet, det vil si om
Vi har altså at
Vi observerer at grenseverdien ikke eksisterer for
c)
Vi gjør de samme undersøkelsene for
Her ser vi at funksjonen er både kontinuerlig og deriverbar i punktet.
d)
Vi starter den samme undersøkelsen som i b):
Her ser vi at funksjonen ikke er kontinuerlig i punktet og dermed heller ikke deriverbar der. Vi trenger ikke egentlig å gå videre, siden en diskontinuerlig funksjon ikke kan være deriverbar, men hvis vi gjennomfører resten av undersøkelsene, vil vi se at grenseverdiene for de to uttrykkene til den deriverte er like på begge sider i dette tilfellet. Husk at dette likevel ikke betyr at grenseverdien til den deriverte eksisterer.
e)
Vi finner de to grenseverdiene:
Her har vi vist at funksjonen er deriverbar og dermed også kontinuerlig i punktet
f)
En funksjon kan være kontinuerlig og ikke deriverbar. Dersom vi finner ut at grenseverdien til den deriverte ikke eksisterer, har vi bare funnet ut at funksjonen ikke er deriverbar. Dermed må vi sjekke om den er kontinuerlig på vanlig måte. Dersom funksjonen er deriverbar, vet vi at den også er kontinuerlig.
2.8
a)
For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet:
Stigningstallet finner vi ved å regne ut
Så bruker vi ettpunktsformelen for å regne ut:
I CAS trenger vi bare to linjer:
b)
For å finne likningen til ei rett linje trenger vi stigningstallet og et punkt. Vi starter med å finne y-verdien til punktet:
Stigningstallet finner vi ved å regne ut
Så bruker vi ettpunktsformelen for å regne ut:
I CAS trenger vi bare to linjer:
c)
Vi følger den samme prosedyren som i a):
2.9
Til hver av disse oppgavene finnes det uendelig mange løsninger. Diskuter med en medelev eller en lærer om dine forslag oppfyller kriteriene.