Statistikk – blandede oppgaver

Tallene Zelda har kommet fram til, gjelder i utgangspunktet for en enkelt time på lørdagen. Hun bør oppgi mellom hvilke klokkeslett målingene ble gjort. I tillegg til å presentere de ulike statistiske størrelsene kan hun regne ut hvor mange kunder som var innom i løpet av timen, og hun kan for eksempel framstille frekvenstabellen i et søylediagram.

I presentasjonen av de statistiske størrelsene bør hun si at hun har funnet det vanlige standardavviket. Dersom tallene skal brukes til å si noe generelt om besøket på lørdager, bør egentlig utvalgsstandardavviket brukes i stedet for det vanlige standardavviket.

• Velg statistikkvariabelen "Reiser".

• Velg kvartalene 2021K1 og nyere.

• Under "Transportmåte" velger du "Fly".

• Under "Reisetype" velger du "Korte feriereiser i alt" og "Lange feriereiser i alt".

• Trykk på "Vis tabell".

• Velg "Lagre data som ..." og "Excel". Åpne regnearket i et vanlig regnearkprogram, og legg sammen tallene så du får totalt antall feriereiser med fly for hvert år. Kopier tallene over i regnearkdelen til GeoGebra.

For å svare bedre på hvilken modell som er mest riktig, kan du finne nyere tall for detaljhandelen hvis det er mulig. Se "Kilder" nederst på sida.

Tenk gjennom hvordan du vil at brukeren av programmet skal taste inn tallene. Det enkleste er kanskje at brukeren trykker entertasten mellom hvert tall. Alternativt må det legges inn for eksempel et komma mellom hvert tall dersom alle tallene skal skrives inn på én gang.

Vi kan kopiere tallene direkte inn i regnearkdelen i GeoGebra. Da havner tallene for eksempel cellene A1 til og med X1. Vi lager lista med kommandoen

data = A1:X1

Så bruker vi kommandoene "gsnitt", "Median" og "Typetall", alle med argumentet "data", og vi gir resultatet logiske navn.

gjennomsnittet = gsnitt(data)

medianen = Median(data)

typetallet = Typetall(data)

Fasit

Gjennomsnittet er 4,88.

Medianen er 5.

Typetallet er 6.

Her spørs det hva man vil legge vekt på. Gjennomsnittet og medianen er ganske nær hverandre. Vi kan si at i gjennomsnitt hadde Marie 5 passasjerer. Samtidig er det absolutt flest turer med full kjerre, altså 6 passasjerer. Så det går også an å hevde at "den typiske" turen er med 6 passasjerer.

Her bruker vi kommandoene "Maks", "Min", "Q3", "Q1" og "stavvp". Vi bruker "stavvp" (vanlig standardavvik) siden vi har tilgang på alle tallene i tallmaterialet.

variasjonsbredden = Maks(data) - Min(data)

kvartilbredden = Q3(data) - Q1(data)

standardavviket = stavvp(data)

Fasit

Variasjonsbredden er 4.

Kvartilbredden er 2.

Standardavviket er 1,2.

Vi tegner boksplottet med kommandoen

BoksPlott(2,1,data,false)

Her stikker det ikke ut noe på høyre side av boksen som markerer kvartilbredden. Det er fordi øvre kvartil er lik den største verdien (6). Årsaken til det er at Marie har hatt mange nok turer med full kjerre, altså 6 passasjerer.

Dette er en frekvenstabell.

Her er det kanskje enklest å bruke regnearkdelen i GeoGebra og skrive antall kunder per minutt i cellene A2 til A10 og frekvensene i cellene B2 til B10. Skriv overskrifter i cellene A1 og B1.

Så lager vi lister av tallene.

tall = A2:A10

frekvenser = B2:B10

Deretter bruker vi kommandoene "gsnitt" og "Median", denne gangen med to lister som argument ("tall" og "frekvenser"). Typetallet er det tallet som har den største frekvensen, og dette leser vi rett av tabellen.

gjennomsnittet = gsnitt(tall,frekvenser)

medianen = Median(tall,frekvenser)

Fasit

Gjennomsnittet er 3,85.

Medianen er 4.

Typetallet er 2.

Her bruker vi kommandoene "Maks", "Min", "Q3", "Q1" og "stavvp" for vanlig standardavvik.

variasjonsbredden = Maks(tall) - Min(tall)

kvartilbredden = Q3(tall, frekvenser) - Q1(tall, frekvenser)

standardavviket = stavvp(tall, frekvenser)

Fasit

Variasjonsbredden er 8.

Kvartilbredden er 4.

Standardavviket er 2,29.

Kommandoen for boksplottet er

BoksPlott(2,1,tall,frekvenser,false)

Gjennomsnittet er 33,22.

Medianen er 36.

Se ellers den nedlastbare GeoGebra-fila.

I dette tallmaterialet er det ingen tall som forekommer flere enn én gang. Derfor blir det meningsløst å snakke om typetallet her.

Vi kan også si at i et tallmateriale der antallet målinger er mye mindre enn antall mulige måleverdier, vil det stort sett bare være én forekomst av tallene. Dersom det tilfeldigvis skulle være to forekomster av et tall, vil ikke det gi noe nyttig informasjon om tallmaterialet om vi oppgir dette som typetall.

Variasjonsbredden er 35.

Kvartilbredden er 15,5.

Standardavviket er 10,09.

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen til GeoGebra og lager lista "data" av tallene. Så bruker vi kommandoen gsnitt(data). Gjennomsnittlig antall feriereiser med fly er 5,87 millioner.

Med kommandoen Median(data) får vi at medianen for antall feriereiser med fly er 6,49 millioner.

Vi bruker kommandoene

Maks(data)-Min(data)
Q3(data)-Q1(data)
stavvp(data)

og får dette resultatet:

Variasjonsbredden for antall flyreiser er 4,82.
Kvartilbredden for antall flyreiser er 0,54.
Standardavviket for antall flyreiser er 1,59.

Kommandoen

BoksPlott(2,1,data,false)

gir boksplottet nedenfor.

Boksplottet blir veldig "skeivt" siden alle tallene unntatt ett er samlet mellom 6 og 7.

Linjeediagrammer kan vi lage ved å kopiere tallene inn i et vanlig regnearkprogram som Excel eller Google Regneark.

Den gjennomsnittlige omsetningen per innbygger i detaljhandelen er 80 780 kroner.

Medianen for omsetningen per innbygger i detaljhandelen er 80 180 kroner.

Variasjonsbredden er 25 133 kroner.

Kvartilbredden er 9 980 kroner.

Standardavviket er 6 905 kroner.

Vi ser at omsetningen per innbygger har økt jevnt og trutt med ett til to tusen fra år til år unntatt fra 2019 til 2020. Da økte den plutselig med mer enn 10 000. Årsaken kan være at folk reiste mindre og handlet mer det første året av koronapandemien.

Vi lager en ny kolonne for antall år etter 2010 i regnearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet på denne kolonnen og kolonnen med tallene for detaljhandelen.

Vi velger lineær og eksponentiell modell i regresjonsverktøyet. En lineær modell gir funksjonen

$$ g\left(x\right)=2070,31x+70428$$

En eksponentiell modell gir funksjonen

$$ h\left(x\right)=70943·1,{03}^x$$

Året 2030 betyr at  $$ x=20$$. Vi regner ut $$ g\left(20\right)$$ og $$ h\left(20\right)$$ i algebrafeltet eller med CAS og får

$$ \begin{array}{rcl}g\left(20\right) & =& 111 835\\ h\left(20\right) & =& 117 592\end{array}$$

Omsetningen vil være 111 835 kroner med en lineær modell og 117 592 med en kroner med en eksponentiell modell.

Hvis vi ser bort fra tallet for 2020, har utviklingen vært nokså jevn. Begge modellene spår at det skal øke mer enn dette. Slik sett vil den lineære modellen kanskje passe best i tida framover. Tallet for 2020 er kanskje påvirket av at det var koronapandemi, og at folk brukte mer penger på å handle enn å reise. At det skal fortsette å øke like mye i årene etter 2020, virker litt usannsynlig.

I denne oppgaven er det ikke noe eksakt svar på hva som må være med for å få full uttelling på en prøve eller en eksamen. Løsningen nedenfor er et forslag til hva som kan gjøres.

Vi skriver inn tallene i regnearkdelen i GeoGebra i cellene A1 til A14 og lager lister både av hver uke og av begge ukene sett under ett. Så bruker vi diverse statistiske kommandoer for å finne de ulike størrelsene. Nedenfor har vi avskrift av algebrafeltet i GeoGebra av dataene for de to ukene sett under ett.

data = A1:A14
→ {740, 800, 910, 635, 1090, 350, 810, 630, 480, 290, 605, 1230, 410, 900}

antall = Lengde(data)
→ 14

gjennomsnitt = gsnitt(data)
→ 705.71

kvartilbredde = Q3(data) – Q1(data)
→ 420

median = Median(data)
→ 687.5

standardavvik = stavvp(data)
→ 264.79

sum = Sum(data)
→ 9880

variasjonsbredde = Maks(data) – Min(data)
→ 940

Totalt sett for de to ukene ble salget på 9 880 kroner med et standardavvik på 265 kroner. Gjennomsnittlig salg per dag var 706 kroner. Salgstallene for en dag har variert med 940 kroner.

Avskrift av algebrafeltet for tallene for uke 28

data = A1:A7
→ {740, 800, 910, 635, 1090, 350, 810}

antall = Lengde(data)
→ 7

gjennomsnitt = gsnitt(data)
→ 767.14

kvartilbredde = Q3(data) – Q1(data)
→ 275

median = Median(data)
→ 800

standardavvik = stavvp(data)
→ 213.67

sum = Sum(data)
→ 5335

variasjonsbredde = Maks(data) – Min(data)
→ 740

Avskrift av algebrafeltet for tallene for uke 29

data = A8:A14
→ {630, 480, 290, 605, 1230, 410, 900}

antall = Lengde(data)
→ 7

gjennomsnitt = gsnitt(data)
→ 649.29

kvartilbredde = Q3(data) – Q1(data)
→ 490

median = Median(data)
→ 605

standardavvik = stavvp(data)
→ 296.99

sum = Sum(data)
→ 4545

variasjonsbredde = Maks(data) – Min(data)
→ 940

Vi ser at salget var best i uke 28 med et totalt salg på 5 335 kroner. Se tallet "sum". Samtidig er spredningen i salgstallene størst i uke 29. Både kvartilbredde, variasjonsbredde og standardavvik er størst i uke 29. Av tallene for variasjonsbredde ser vi at salget har variert med 940 kroner i uke 29 og 740 kroner i uke 28. Vi ser også at medianen for uke 29 ligger nesten 200 under medianen for uke 28, mens gjennomsnittet bare ligger cirka 110 under. Det tyder på at i uke 29 var det flere dager med lavt salg og noen få dager med høyt salg. Det passer godt med at salgsrekorden for de to ukene var fredagen i uke 29, mens dagen med lavest salg var onsdagen i den samme uka.

Medianen for uke 28 ligger over gjennomsnittsverdien mens det er omvendt for uke 29. Det betyr at i uke 28 er det noen få dager med veldig lavt salg som trekker gjennomsnittet ned, mens det er motsatt for uke 29.

Oppgaven kan også løses ved å bruke verktøyet for analyse av en variabel i GeoGebra.

Vi legger tallene inn i GeoGebra og finner følgende statistiske tall:

Vi ser av gjennomsnittet at det var flere overnattinger i forbindelse med feriereiser i 2019 enn i 2020. Samtidig er standardavviket og variasjonsbredden større for 2020 enn for 2019. Det betyr at variasjonen mellom de 12 månedene i 2020 var stor.

Vi velger å lage et søylediagram over tallene. Da er det kanskje enklest å bruke et vanlig regnearkprogram. Vi har brukt regnearket vi kan laste ned fra Statistisk sentralbyrå på denne statistikken som utgangspunkt.

Vi ser at i april 2020 var det svært få overnattinger. Tre måneder senere, i juli, har vi det største antallet overnattinger i en måned for de to årene. Det tyder på at spredningen var større i 2020 enn i 2019.

Årsaken til det er nok at i store deler av mars og april 2020 var Norge nedstengt på grunn av koronapandemien. Samme sommer var det ikke mulig å gjøre feriereiser til utlandet, noe som førte til at folk reiste på ferie hjemme. Dette kan forklare det høye antallet overnattinger i Trøndelag i juli 2020.

Forslag til algoritme som tar utgangspunkt i at hvert tall mates inn separat:

• Skriv til skjermen: "Dette programmet regner ut gjennomsnittet av de tallene som blir tastet inn."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn ett og ett tall og trykk enter for hvert tall. Skriv inn "x" når du er ferdig."

• Så lenge vi ikke er ferdige med å skrive inn tall:

  • Skriv til skjermen: "Nytt tall: "

  • Ta imot input fra brukeren.

  • Hvis det som kommer inn er et tall, legg til tallet i en sum og øk en teller for antall tall med 1.

  • Hvis ikke (og brukeren har skrevet en "x"), er vi ferdige.

• Del summen på antall tall.

• Skriv til skjermen "Gjennomsnittet av tallene er <resultatet av utregningen i forrige punkt>."

Kommentar: Dersom du velger å skrive inn alle tallene samtidig med for eksempel komma mellom hvert tall, må du lage en rutine for å plukke ut tallene fra den lange tekststrengen vi da får. Dette gjør vi i den alternative løsningen nedenfor.

Alternativ løsning

Løsningen tar utgangspunkt i at alle tallene skrives inn på én gang med komma (,) mellom hvert tall (husk at desimaltall må skrives med punktum i Python).

• Skriv til skjermen: "Dette programmet regner ut gjennomsnittet av de tallene som blir tastet inn."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn tallene med ett komma mellom hvert tall."

• Ta imot lista med tall fra brukeren og lagre i en tekstvariabel.

• Gå gjennom tekstvariabelen og legg det som står mellom hvert komma (altså hvert tall) til ei liste.

• Legg sammen tallene i lista og del på antall tall.

• Skriv til skjermen: "Gjennomsnittet av tallene er <resultatet av utregningen i forrige punkt>."

Kode som tar utgangspunkt i at tallene skrives inn ett og ett:

1print("Dette programmet regner ut gjennomsnittet "
2    "av de tallene som blir tastet inn.")
3print("Skriv inn ett og ett tall og trykk enter for hvert tall."
4    " Skriv inn 'x' når du er ferdig.")
5summen = 0           # skal bli summen av alle tallene
6antall = 0           # skal inneholde antall tall
7ferdig = False       # brukes for å stoppe innlesingen av tall
8           
9while ferdig == False:         # så lenge ferdig har verdien False
10    tall = input("Nytt tall: ")
11
12    if tall != "x":         # hvis tallet ikke er "x", dvs. et "ekte" tall
13        summen = summen + float(tall)  # legger tallet til summen
14        antall = antall + 1           # øker antall tall med 1
15    else:         # hvis tallet er en "x"    
16        ferdig = True         # med dette vil while-løkka stoppe
17
18gjsnitt = summen/antall     # regner ut gjennomsnittet
19print(f"Gjennomsnittet av tallene er {gjsnitt:.2f}.")

Alternativ løsning

Koden nedenfor tar utgangspunkt i at alle tallene skrives inn på én gang med komma mellom hvert tall. Til å skille tallene og legge dem i ei liste, bruker vi funksjonen "split", se nederst på sida.

1print("Dette programmet regner ut gjennomsnittet "
2    "av de tallene som blir tastet inn.")
3print("Skriv inn alle tallene med komma ',' imellom. Unngå mellomrom.")
4
5tekstinput = input()          # tar imot alle tallene
6    # konverterer tekststrengen til liste med tall (som fortsatt er tekst)
7talliste = tekstinput.split(",")
8
9for i in range(len(talliste)):
10    talliste[i] = float(talliste[i])    # konverterer alle tallene til ekte tall
11
12gjsnitt = sum(talliste)/len(talliste)   # regner ut gjennomsnittet
13print(f"Gjennomsnittet er {gjsnitt:.2f}.")

Forslag til algoritme som tar utgangspunkt i at tallene skrives inn ett og ett:

• Skriv til skjermen: "Dette programmet regner ut gjennomsnittet av tall sortert i en frekvenstabell."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn ett og ett av de ulike forekomstene av måleverdier og trykk enter for hvert tall. Skriv inn "s" når du er ferdig."

• Skriv til skjermen: "Nytt tall: "

• Ta imot tallet fra brukeren. Hvis tallet er et tall: Legg til tallet i ei liste.

• Repeter de to forrige punktene over helt til brukeren skriver en "s".

• Skriv til skjermen: "Skriv inn en og en av frekvensene og trykk enter for hvert tall. Skriv inn "s" når du er ferdig."

• Skriv til skjermen: "Ny frekvens: "

• Ta imot tallet fra brukeren. Hvis tallet er et tall: Legg til tallet i ei liste.

• Repeter de to forrige punktene over helt til brukeren skriver en "s".

• Multipliser sammen tilhørende verdier for måleverdi og frekvens, summer disse og del på summen av frekvensene i frekvenslista.

• Skriv til skjermen: "Gjennomsnittet er <svaret fra forrige punkt>."

Forslag til kode i Python:

1print("Dette programmet regner ut gjennomsnittet "
2"av tall sortert i en frekvenstabell.")
3print("Skriv inn ett og ett av de ulike forekomstene " 
4"av måleverdier, og trykk enter for hvert tall."
5" Skriv inn 's' når du er ferdig.")
6tall = 0
7talliste = []    # lager ei tom liste
8           # tar imot tall helt til det skrives en "s"
9while tall != "s":
10  tall = input("Nytt tall: ")
11  if tall != "s":             
12    tall = float(tall)
13    talliste.append(tall)  # legger tallet til i tallista
14
15frekvens = 0
16frekvensliste = []    # lager ei tom liste
17           # tar imot tall helt til det skrives en "s"
18while frekvens != "s":
19  frekvens = input("Ny frekvens: ")
20  if frekvens != "s":             
21    frekvens = float(frekvens)
22    frekvensliste.append(frekvens)  # legger tallet til i frekvenslista
23    
24summen = 0
25for i in range(len(frekvensliste)):
26  summen = summen + talliste[i] * frekvensliste[i]  # multipliserer sammen verdi og frekvens
27    
28gsnitt = summen/sum(frekvensliste)    # regner ut gjennomsnittet
29print(f"Gjennomsnittet av tallene er {gsnitt:.2f}.")

Alternativ løsning

Vi tar utgangspunkt i den alternative løsningen i oppgave b). Først skriver vi inn de ulike forekomstene av måleverdier. Så skriver vi inn frekvensene. Algoritmen kan da se slik ut:

• Skriv til skjermen: "Dette programmet regner ut gjennomsnittet av tall sortert i en frekvenstabell."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn de ulike måleverdiene med ett komma mellom hvert tall."

• Ta imot tallene og konverter dem til ei liste.

• Skriv til skjermen: "Skriv inn frekvensene med ett komma mellom hvert tall."

• Ta imot tallene og konverter dem til ei liste.

• Multipliser sammen tilhørende verdier for måleverdi og frekvens, summer disse, og del på summen av frekvensene i frekvenslista.

• Skriv til skjermen: "Gjennomsnittet er <svaret fra forrige punkt>."

Forslag til kode:

1print("Dette programmet regner ut gjennomsnittet "
2    "av tall sortert i en frekvenstabell.")
3              # tar imot alle tallene
4tallstreng = input("Skriv inn måleverdiene med ett komma mellom hvert tall: ")
5frekvensstreng = input("Skriv inn frekvensene med ett komma mellom hvert tall: ")
6        # konverterer strengene til lister med tall (som fortsatt er tekst)
7talliste = tallstreng.split(",")
8frekvensliste = frekvensstreng.split(",")
9        # konverterer alle tallene til ekte tall
10for i in range(len(talliste)):
11    talliste[i] = float(talliste[i])
12for i in range(len(frekvensliste)):
13    frekvensliste[i] = float(frekvensliste[i])
14        # multipliserer sammen måleverdi og frekvens
15summen = 0
16for i in range(len(frekvensliste)):
17    summen = summen + talliste[i] * frekvensliste[i]
18  
19gjsnitt = summen/sum(frekvensliste)    # regner ut gjennomsnittet
20
21print(f"Gjennomsnittet er {gjsnitt:.2f}.")