Funksjoner med digitale hjelpemidler

Familien betaler 2 000 kroner i etableringsgebyr. I tillegg kommer det kostnader på $$ 210 \mathrm{kr\; +\; 70} \mathrm{kr\; =\; 280 kr}$$ hver måned.

Til sammen blir dette

$$ 2 000 \mathrm{kr}+280 \mathrm{kr}·12=5 360 \mathrm{kr}$$

280 er de månedlige utgiftene, mens 2 000 er engangsbeløpet for etablering av abonnementet. Etter $x$ antall måneder kan vi da finne utgiftene ved å multiplisere 280 kr med antall måneder, $x$. I tillegg må etableringsgebyret på 2 000 kr legges til.

$x$-aksen viser måneder, og når den går til 36, får vi oversikt over tre år. I GeoGebra skriver vi

U(x)=Funksjon(280x+2000,0,36)

Kommandoen etter likhetstegnet kan vi lage kjapt ved å begynne å skrive ordet "Funksjon" og velge alternativet "Funksjon(<Funksjon>, <Start>,< Slutt>)" som dukker opp.

To år er 24 måneder, og $$ x$$-verdien må være 24. Vi skriver inn punktet $$ (24, \text{U}(24\left)\right)$$ i GeoGebra. Se punkt $A$ på grafen i oppgave c). Etter to år har familien hatt utgifter på 8 720 kr.

Antall timer i et døgn er 24. Funksjonen gjelder for et døgn.

Vi skriver T(x)=Funksjon(-0.005x^3+0.12x^2-2,0,24) i algebrafeltet til GeoGebra og får den blå grafen nedenfor.

Siden $$ y$$-aksen viser temperatur, kan vi skrive$y=6$ og få linja fram i koordinatsystemet. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $T$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene $A$ og $B$ på grafen i oppgave b). Temperaturen er 6° C rett etter klokka 11.00 og klokka 20.00.

Vi finner ekstremalpunktene på grafen med verktøyet "Ekstremalpunkt". Den høyeste temperaturen er cirka $$ 8,2° \mathrm{C}$$. Se punktet C på grafen i oppgave b). Grafen har et bunnpunkt for $$ x=0$$ der temperaturen er $-2°\mathrm{C}$, se punktet D. Vi må sjekke det andre endepunktet på grafen og skriver inn punktet $$ \left(24,T\left(24\right)\right)$$. Vi får punktet E der temperaturen også er $-2°\mathrm{C}$. Den laveste temperaturen er derfor $-2°\mathrm{C}$.

Vi tegner grafen med følgende program:

1#importerer nødvendige bibliotek
2import matplotlib.pyplot as plt
3import numpy as np
4
5#definerer funksjonen
6def f(x):
7    return -0.005*x**3 + 0.12*x**2 - 2
8
9#lager verditabell
10X = np.linspace(0,24,100)
11Y = f(X)
12
13#plotter funksjonen med navn
14plt.plot(X,Y,label = "T(x)")
15plt.legend()
16
17#lager x- og y-akse
18plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
19plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
20plt.gca().spines['bottom'].set_position("zero")
21plt.gca().spines['left'].set_position("zero")
22
23#setter navn på aksene på egnede steder
24plt.xlabel("x, timer etter midnatt") #tittel på x-aksen
25plt.ylabel("T(x), temperatur (°C)", rotation=0)
26plt.gca().yaxis.set_label_coords(0.1,1)
27plt.gca().xaxis.set_label_coords(0.85,0.28)
28
29#setter på rutenett
30plt.grid()
31
32plt.show()

Kjør programmet om du vil se resultatet.

For å finne svaret på oppgave c) lager vi et program som sjekker når funksjonsverdien er omtrent 6. Vi bruker formen på grafen og vet at vi først kommer nedenfra og så ovenfra. (Det finnes mer elegante måter å finne dette på, men her velger vi å gjøre det slik):

1#setter en startverdi for x-verdiene jeg skal 
2x=0
3
4#starter ei while-løkke som slutter når temperaturen har steget til 6
5while f(x) < 6:
6    x += 0.1       #vi kunne også ha skrevet x = x + 0.1
7print(f"Temperaturen er ca. seks grader etter ca. {x:.1f} timer.")
8
9#lager ei ny while-løkke som slutter når temperaturen har sunket til 6
10while f(x) > 6:
11    x += 0.1
12print(f"Temperaturen er ca. seks grader etter ca. {x:.1f} timer.")

For å finne svaret på oppgave d) finner vi høyeste og laveste verdi i arrayen Y vi fant i linje 11 i det øverste programmet:

1print(f"Den laveste temperaturen var {Y.min():.1f} grader og den høyeste temperaturen var {Y.max():.1f} grader.")

2 timer og 4 minutter er 124 minutter.

Distanse per minutt: $$ \frac{42 195 \mathrm{m}}{124 \min }=340 \mathrm{m}/\min $$

Når farten er 340 m/min, finner vi tilbakelagt distanse, eller strekningen, ved å multiplisere farten med tida. Dette gir oss funksjonen

$d\left(t\right)=340·t$

Vi velger å tegne funksjonen for t-verdier mellom 0 og 140. Da bruker vi kommandoen "Funksjon" slik: d(t) = Funksjon(340t,0,140). Vi skriver inn punktet $$ (45, d(45\left)\right)$$. Se punktet A på grafen. De har løpt 15 300 meter, det vil si 15,3 km, på 45 minutter.

Forslag til program:

1#importerer nødvendige bibliotek
2import matplotlib.pyplot as plt
3import numpy as np
4
5#definerer funksjonen
6def f(x):
7    return 340*x
8
9#lager verditabell
10X = np.linspace(0,124,100)
11Y = f(X)
12
13#lager punktet
14X_1 = 45
15Y_1 = f(X_1)
16
17#plotter graf og punkt
18plt.plot(X,Y,label = "d(t)=340t")
19plt.scatter(X_1,Y_1, label = (f'(45,{f(45):.0f})'))
20
21plt.legend()
22
23#lager akser
24plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
25plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
26plt.gca().spines['bottom'].set_position("zero")
27plt.gca().spines['left'].set_position("zero")
28
29#navngir akser
30plt.xlabel("t, minutter") #tittel på x-aksen
31plt.ylabel("d(t), meter", rotation=0)
32plt.gca().yaxis.set_label_coords(0,1)
33plt.gca().xaxis.set_label_coords(0.9,0.1)
34
35plt.grid()
36
37plt.show()